精品解析：福建省长乐第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年福建省福州市长乐一中高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 5. 已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确是（ ） A. 若且，，至少有一个大于1 B. 命题“若，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 11. 已知关于一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的取值范围是______. 13. 已知集合，集合，若，则实数的取值集合为_____. 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若时，，求的最小值. 17. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求取值范围； （3）若，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若，解关于的不等式； （3）若不等式在上有解，求实数的取值范围． 19. 甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）． （1）写出，，，四个长方体容器的体积、、、； （2）列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）； （3）在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省福州市长乐一中高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】解：因为不等式即为， 解得， 所以原不等式的解集为：. 故选：B. 3. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可. 【详解】解：由题设，， 当且仅当时等号成立， ∴要使恒成立，只需， ∴， ∴. 故选：B. 4. 用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如不能得到， 由，又，所以一定能得到. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【详解】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当 时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 6. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 7. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再解不等式即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 不等式，即为， 即，解得， 则不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. 若且，，至少有一个大于1 B. 命题“若，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可． 【详解】A选项：该命题的否定为：若且，则，都不大于1， 即，，则，所以该命题的否定为假命题，原命题为真命题，故A正确； B选项：命题“若，则”的否定为“存在，则”，故B正确； C选项：则，，则，，则成立，满足充分性， 故C错； D选项：当时，不一定不等于零，当时，一定不等于零， 所以“”是”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合不等式的性质及作差法判断各选项即可． 【详解】对于A，由，则，两边同时除以， 可得，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由于， 因为，所以， 则，即，故C正确； 对于D，由，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以. 故答案为：. 13. 已知集合，集合，若，则实数取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若时，，求的最小值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出，从而解不等式求出解集； （2）先得到，利用基本不等式“1”妙用求出最小值. 【小问1详解】 由题知的两个根分别是，3， 则，解得 故， ，解得. 所求解集为. 【小问2详解】 时，，即，所以有， 那么 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为9. 17. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或， （3） 【解析】 【分析】（1）化简两个集合，即可根据交并补的定义求解， （2）将问题转化为，对讨论即可求解， （3）根据交集的定义，列不等式即可求解. 【小问1详解】 由， ， 故， 或，故或 【小问2详解】 由得， 当时，，则满足题意， 当时，则，解得， 综上可得或， 【小问3详解】 由得，解得， 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若，解关于的不等式； （3）若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）把代入，结合二次不等式的求法即可求解； （2）结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合存在性问题与最值关系的转化及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 当时，， 解得，故不等式的解集为； 【小问2详解】 由可得，，， 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 小问3详解】 若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 故， 令，则， ， 当且仅当时取等号，所以． 19. 甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）． （1）写出，，，四个长方体容器的体积、、、； （2）列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）； （3）在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由． 【答案】（1），，， （2），，，，， （3）甲必胜的方案：甲选AD，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用长方体体积公式求解即可； （2）直接写出各种可能情况即可； （3）按照，的大小关系，分情况结合不等式的性质以及作差法分析判断，比较大小即可． 【小问1详解】 ，，，的体积分别为，，，， 因为容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为， 则，，，． 【小问2详解】 甲从，，，中任选2个，有，，，，，，共6种可能． 【小问3详解】 当时，则，即． 则，，即甲取，均不能够稳操胜券； 当时，则， 即， 则，， 即甲取，均不能稳操胜券； 若甲先取，则：， 即， 即甲先取能够稳操胜券，选不能够稳操胜券， 综上所述：甲必胜的方案：甲选AD． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$