精品解析：江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷

扬大附中东部分校2023-2024学年第一学期第一次模块学习效果调查 高二年级 数学试题 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若过两点的直线的倾斜角为，则y等于（ ） A. B. C. D. 1 2. 两直线与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合 3. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 已知圆上到直线的距离等于的点有个，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若圆上存在点，使得线段中点也在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 若直线过点，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线的斜率k的值可为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11. 若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 在曲线上存在点，使得到点的距离为 C. 在曲线上存在点，使得 D. 曲线上的点到直线的最小距离为 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 已知直线的倾斜角，直线，则的斜率为__． 14. 若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 15. 已知直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是______. 16. 1765年，数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知的顶点，则的欧拉线方程为______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知直线过点，且其倾斜角是直线倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 18. 已知直线. （1）当直线在x轴上的截距是它在上的截距3倍时，求实数的值； （2）求直线所过定点的坐标. 19. 已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． （1）求直线的方程； （2）求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 已知圆M经过点，，． （1）求圆M的方程； （2）过点直线l与圆M交于PQ两点，若，求直线l的方程． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）． （1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程； （2）圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 22. 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0． （1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程； （2）在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2023-2024学年第一学期第一次模块学习效果调查 高二年级 数学试题 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若过两点的直线的倾斜角为，则y等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 分析】由倾斜角与斜率关系有，即可求结果. 【详解】由题设，可得. 故选：C 2. 两直线与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程及直线平行的判定判断两直线的位置关系. 【详解】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行. 故选：D 3. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线倾斜角的取值范围是． 故选：A. 4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据已知得到所求为，化简即可得解. 【详解】过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：A. 5. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故选:C 7. 已知圆上到直线的距离等于的点有个，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 转化条件为圆心到直线的距离为2，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为3， 因为圆上到直线的距离等于的点有个， 所以点到直线的距离，所以. 故选：A. 8. 已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知用相关点法，求出中点的轨迹方程，又有点在圆上，可得点轨迹与圆有公共点，求出的范围. 【详解】设，的中点， 由已知有解得， 即的中点的轨迹为圆， 又线段的中点也在圆上，∴两圆有公共点， ∴，解得. 故选:B. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，以及圆与圆的位置关系，属于中档题. 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 若直线过点，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线的斜率k的值可为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分直线过原点与直线不过原点，结合待定系数法分别设该直线方程为、，将点代入计算即可得. 【详解】当直线过原点时，设该直线方程为，即有，即，故B正确； 当直线不过原点时，设该直线方程为，即有，即， 即，此时直线的斜率为，故C正确. 故选：BC. 10. 已知直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离、，设到直线的距离为，则，最后根据求出范围，即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 直线分别与轴，轴交于两点， 所以， 所以， 设点到直线的距离为，则， 所以的面积. 故选：. 11. 若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点， 则有，． 故（当且仅当时取“” 故选：． 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题． 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 在曲线上存在点，使得到点的距离为 C. 在曲线上存在点，使得 D. 曲线上的点到直线的最小距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知求曲线的方程，由已知点到圆心距离判断点的存在性，两点距离求的轨迹，点线距离判断圆上点到直线距离的最值判断各项正误. 【详解】令，则， 整理得，所以，A对； 由上，曲线是以为圆心，4为半径的圆， 则点到的距离， 所以该圆上点到距离范围为， 显然3在上述范围内，B对； 令，由，则， 所以，显然轨迹为为圆心，为半径的圆， 而，即轨迹M在曲线C内，即两圆内含关系，C错； 由到直线的距离， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，D对. 故选：ABD 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 已知直线的倾斜角，直线，则的斜率为__． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线的倾斜角，直线，求出的倾斜角，再根据倾斜角与斜率的关系求出的斜率． 【详解】解：∵直线的倾斜角，直线， ∴倾斜角为， ∴的斜率为， 故答案为:． 14. 若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 15. 已知直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离，解得 解得或（舍去）， 当直线过点时，直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 1765年，数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知的顶点，则的欧拉线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可求出的欧拉线方程． 【详解】解： 因为，所以，，即， 为等腰三角形，的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上， 因为的中点的坐标为，线段所在直线的斜率， 线段垂直平分线的方程为，即， 的欧拉线方程为． 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程； （2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程． 【详解】解（1）直线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为，斜率为， 又直线过点， ∴直线的方程为，即； （2）设直线的方程为，则点到直线的距离 ， 解得或 ∴直线的方程为或 18. 已知直线. （1）当直线在x轴上的截距是它在上的截距3倍时，求实数的值； （2）求直线所过定点的坐标. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值； （2）由直线过定点的求法，列出关于的方程组即可求解. 【小问1详解】 由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得， ∴，解得：，或， 经检验，，均符合要求. 【小问2详解】 ， 所以直线所过定点的坐标为. 19. 已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． （1）求直线的方程； （2）求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程. （2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程. 【小问1详解】 选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线． 因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 ，解得，故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则，解得， 直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 20. 已知圆M经过点，，． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于PQ两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆M的一般方程，利用待定系数法求解作答. （2）求出圆M的圆心、半径，根据给定条件求出点M到直线l的距离，再分情况讨论求解作答. 【小问1详解】 设圆M的方程为：， 依题意，，解得，满足， 所以圆M的方程为. 【小问2详解】 圆M：的圆心，半径，显然点在圆M内， 依题意，点M到直线l的距离， 当直线l垂直于x轴时，方程为，点M到直线l的距离为3，则直线l的方程为， 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为：，于是得，解得， 此时直线l的方程为，即， 所以直线l的方程为或. 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）． （1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l方程； （2）圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x-y=0或x-y-4=0 （2）存在，点P的个数为2 【解析】 【分析】（1）根据l∥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为x-y+m=0，根据圆的弦长公式，结合题意，即可求得m值，即可得答案. （2）设P（x，y），则，根据题意，化简可得x2+（y-1）2=4，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案. 【小问1详解】 圆C的标准方程为，所以圆心C（2，0），半径为2． 因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2）， 所以直线l的斜率为． 设直线l的方程为x-y+m=0， 则圆心C到直线l的距离为． 因为， 而，所以， 解得m=0或m=-4， 所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0． 【小问2详解】 假设圆C上存在点P，设P（x，y），则， 所以PA2+PB2=， 整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4． 因为， 所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交， 所以点P的个数为2． 22. 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0． （1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程； （2）在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求与直线垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果． （2）先设存在，利用都有为一常数这一条件，以及在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果． 【小问1详解】 设所求直线方程为，即，直线与圆相切， ，得， 所求直线方程为； 【小问2详解】 解：方法1：假设存在这样的点， 当为圆与轴左交点时，； 当为圆与轴右交点时，， 依题意，，解得，（舍去），或． 下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数， 设，则， ， 从而为常数， 即存在点对于圆上任一点，都有为常数． 方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则， ，将代入得， ， 即对，恒成立， ，解得或（舍去）， 所以存在点对于圆上任一点，都有为常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $