精品解析：山东省泰安市宁阳县第三中学（五四制）2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

九上月考一数学试题 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列函数中不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点时反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 4. 若点在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 5. 如图，水库大坝截面是梯形，迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（　　） A. 55m B. 60m C. 65m D. 70m 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 11. 如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为( ) A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4 12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 二、单选题（每小题4分，共24分） 13. 为锐角，且，则_________． 14. 如图,点在反比例函数的图象上,过点作轴,垂足为点,点在轴上,则的面积为_______. 15. 双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连y接、，则的面积为___________． 16. 如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上．若反比例函数的图像经过点C，则k的值为______． 17. 如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为______． 18. 观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m. 三、解答题（共5小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出满足时的x的取值范围； （3）P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y与反比例函数y的表达式； （2）点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上月考一数学试题 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列函数中不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可． 【详解】解： A．是反比例函数； B．是反比例函数； C．可得是反比例函数； D．中是正比例函数，不是反比例函数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的表达式，形如是y关于x的反比例函数，也可表示为或是反比例函数． 2. 如图，点时反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的图象在第二象限可知，，再根据矩形面积是4可知，故可得出解析式． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，函数的图象在第二象限， ， ∵矩形面积是4可知， ∴反比例函数的解析式为：． 故选：D． 3. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出的值即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 若点在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，列式计算即可． 【详解】解：∵点在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于，是解题的关键． 5. 如图，水库大坝截面是梯形，迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（　　） A. 55m B. 60m C. 65m D. 70m 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据迎水坡坡比以及DE长度求解AE，根据背水坡坡比以及CF长度求解BF，最后将AE、EF、BF长度相加即可求得AB． 【详解】解：由题已知：四边形CDEF为矩形， ∵DE＝20m，DE：AE＝4：3， ∴AE＝15m， ∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2， ∴BF＝40m， 又∵EF=CD=10m， ∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，即坡度坡角问题，解题关键是确定坡度比的比例关系，其次注意计算要仔细． 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 7. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握等腰直角三角形性质，正弦定义，是解题的关键． 取格点C、D，连接交于点E，得，，，即得． 【详解】如图，取格点C、D，连接，交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，过点C作，交的延长线于点D，在中，可求得和，利用勾股定理求得，根据正弦定义即可求得答案． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点D， ∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：D． 9. 如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设与轴的交点为，由点在上， 则四边形的面积为，的面积为，再通过反比例函数的几何意义即可求解，正确理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设与轴的交点为， ∵点在上， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积为， ∴的面积为， ∴， 故选：． 10. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于D，由题意得，，利用三角形内角和定理求出，再求出，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图所示，过点B作于D， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴千米，， ∴千米， ∴千米， 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11. 如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为( ) A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】∵点E为OC的中点， ∴， ∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点， ∴S△ABO＝S△CDO， ∴S四边形CDBE＝S△AEO＝， ∵EB∥CD， ∴△OEB∽△OCD， ∴， ∴S△OCD＝1， 则xy＝﹣1， ∴k＝xy＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 二、单选题（每小题4分，共24分） 13. 为锐角，且，则_________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了特殊的三角函数值，根据条件，可以推出，再根据特殊的三角函数值即可解出． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 如图,点在反比例函数的图象上,过点作轴,垂足为点,点在轴上,则的面积为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB＝|k|，便可求得结果． 【详解】连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△CAB， 而S△OAB＝|k|＝1， ∴S△CAB＝1， 故填：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 15. 双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连y接、，则的面积为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积，的面积，从而求出结果． 【详解】解：设直线与x轴交于点C， ∵轴， ∴轴，轴， ∵点A在双曲线的图象上， ∴的面积， 点在双曲线的图象上， ∴的面积， ∴的面积的面积的面积． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 16. 如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上．若反比例函数的图像经过点C，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及锐角三角函数的定义，根据矩形的对角线互相平分，可将对角线一半的长度求出，根据的长，可求出，再根据勾股定理求的长，根据正切的定义即可得出结论，求出三边长是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 18. 观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m. 【答案】135 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=m，所以在Rt△ACD中，CD= AD=×=135m． 考点：解直角三角形的应用． 三、解答题（共5小题，满分78分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）先把特殊角三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则，负整数指数幂计算即可； （）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，特殊角三角函数值，再由二次根式运算法则计算即可； （）把特殊角三角函数值代入，然后通过二次根式性质化简，化简绝对值，最后合并即可； （）把特殊角三角函数值代入，然后通过负整数指数幂，二次根式性质化简，最后合并即可； 本题考查了二次根式的运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则及熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2）飞船从处到处的平均速度约为 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 【小问2详解】 在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出满足时的x的取值范围； （3）P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值； （3）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标． 【小问1详解】 解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得： ， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 如图，由图象得：时的取值范围是：或； 【小问3详解】 当是等腰三角形时，存在以下三种情况： 当时，如图， ， ， 或； 当时，如图， 设， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ； 当时，如图，过作轴于， 设，则，， ， ， ， ； 综上，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图像与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y与反比例函数y的表达式； （2）点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积的计算、轴对称的性质、最短路径问题等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式及数形结合是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q，然后运用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求得点Q的坐标； （3）先求得D的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到可求得，即可求得P的坐标． 【小问1详解】 解：将代入可得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴一次函数为． 【小问2详解】 解：如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴， 当时，，即． 【小问3详解】 解：如图：由题意可知：， ∴， 把代入得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $