专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）解方程：． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）解方程：． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 4．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）解方程 (1) (2) 5．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 6．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）解下列方程： (1)； (2)． 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程 (1) (2) 8．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（23-24七年级上·江西赣州·期末）解方程：． 12．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）解方程． (1)； (2) 14．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）解下列方程： (1) (2) 15．（23-24七年级上·四川达州·期末）解方程： (1)； (2) 16．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）解方程． (1)． (2)； (3)． 17．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 19．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 20．（23-24七年级上·辽宁本溪·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 22．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）若 (1)求x、y、z的值． (2)求的值． 23．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，若，求x的值． 24．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 25．（23-24七年级上·海南海口·阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求和的值； (2)若满足关系式，求的值． 26．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若满足关系式，求的值． 27．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)当时， ． (2)若都为有理数，则 0， 0．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） (3)已知．求的值． 28．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若规定，如． (1)计算：的值； (2)当，求x的值 29．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 30．（23-24七年级上·全国·期中）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为： 或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或， (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形有______颗黑色棋子，第6个图形有______颗黑色棋子； (2)第n个图形有______颗黑色棋子（用含n的式子表示）； (3)第n个图形可能有23-24颗棋子吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由． 32．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图是按照一定规律摆放棋子组成的图案，照这样的规律摆下去，请解答下列问题： (1)第4个图案上共有______个棋子； (2)求第60个图案上棋子的个数； (3)若其中某个图案上共有299个棋子，求这是这几个图案？ 33．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，用同样大小的黑色和白色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图案有1个黑子、4个白子，第2个图案有2个黑子、7个白子，……，按此规律排列下去． (1)第3个图案有________个黑子，________个白子； (2)第（为正整数）个图案中有________个黑子，________个白子；（用含的代数式表示） (3)若第个图案有黑子、白子共101个，请求出的值． 34．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)图5有多少颗黑色棋子？ (2)若第个图形比第n个图形中多23-24颗棋子，试求n的值． 35．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 观察图形发现： 第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有：个黑点； 第四个图形有个黑点； 第五个图形有个黑点； 36．（23-24·安徽阜阳·一模）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示． 【观察思考】 第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推 【规律总结】 (1)第5个图案有______个正三角形 (2)第个图案中有______个正三角形，（用含的代数式表示） 【问题解决】 (3)现有23-24个正三角形，若按此规律拼第个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？ 37．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）可以通过调节扣调节，经测量，得到下列数据． 双层部分长度（cm） 2 8 14 20 b 单层部分长度（cm） 148 136 124 a 88 (1)根据数据规律，将表格补充完整：______；______； (2)设双层部分的长度为xcm，请用x的代数式表示单层部分的长度． (3)当背带的长度调为130cm时，此时双层部分的长度为多少cm？ (4)试求背带长度的最大值与最小值． 38．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． （1）摆成图1需要 　 　枚棋子，摆成图2需要 　 　枚棋子，摆成图3需要 　 　枚棋子； （2）摆成图n需要 　 　枚棋子； （3）七（1）班有46名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 39．（23-24七年级上·河北保定·期中）按如下规律摆放五角星： (1)填写表格： 图案序号 1 2 3 4 … n 五角星个数 4 7 … (2)直接写出第20个图案的五角星个数，个数为___________； (3)若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含23-24个五角星？ 40．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … a … … 2 5 8 … … 9 7 5 3 1 … … b 2 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知，     ， ； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加3；的值的变化规律是；x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ． 【问题解决】 （3）若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就都增加5，且当时，的值为8，求这个含x的代数式． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）若式子的值比的值大1，求y的值． 42．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）若关于的方程和的解的和为5，求的值． 43．（23-24七年级上·福建·期末）已知是关于x的方程的解，求m的值． 44．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）求为何值时，代数式的值与代数式的值互为相反数？ 45．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）关于的方程与的解互为相反数．求的值； 46．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 47．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某同学在解关于的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，求的值和方程正确的解． 48．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）已知是方程的解，求m的值； （2）已知是方程，的解，求a的值． 49．（23-24七年级上·全国·假期作业）已知是关于y的一元一次方程． (1)求a，b的值； (2)若是方程的解，求的值． 50．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程与有相同的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 52．（2024七年级·全国·竞赛）若是整数，且，求的值． 53．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 54．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 55．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 56．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 57．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 58．（23-24七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 59．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 60．（23-24七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 62．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 63．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：若，则称与是关于3的平衡数， (1)3与______是关于3的平衡数，与______是关于3的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断a与b是否是关于3的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平衡数，同时满足一元一次方程，求的值． 64．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 65．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数， (1)与_____是关于的平衡数，与_____是关于的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于的平衡数，同时满足一元一次方程求的值． 66．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称与是关于3的平安数． (1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值． 67．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 68．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列两个等式，，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为，如：数对，都是“金桥有理数对”． (1)数对，中是“金桥有理数对”的是______； (2)若是“金桥有理数对”，求a的值； (3)若是“金桥有理数对”，则______“金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 69．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 70．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 72．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 73．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 74．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 75．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 76．（23-24七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 77．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 78．（23-24七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 79．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 80．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，从而可得答案． 【详解】解：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 先通过去分母，然后检验即可解答即可． 【详解】解：， 去分母得:， 去括号得:， 移项得:， 合并同类项，得． 4．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 5．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得出答案； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得出答案． 【详解】解：（1）， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 6．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1可解方程求解； （2）去分母，括号，移项，合并同类项，系数化为1可解方程求解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）变形合并，系数化为“1”，解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 整理得：， ∴， ∴， 解得： 8．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）按照移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可； （2）按照去分母，化系数为1的步骤进行解答即可； （3）按照去分母，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． （2）解：， 去分母，得， 化系数为1，得； （3）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（23-24七年级上·江西赣州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，按照去分母、去括号、移项合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，． 12．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 13．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）解方程． (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． （2）解：去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 14．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 15．（23-24七年级上·四川达州·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）解方程． (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）移项、合并同类项、化系数为即可求解； （2）去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． 【详解】（1）解：移项：， 合并同类项：， 化系数为：； （2）解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为：； （3）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为：； 17．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元一次方程，步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）移项合并同类项，把系数化为1即可求出解； （2）去括号，移项合并同类项，把系数化为1即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把系数化为1即可求出解． 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解：去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得； （3）解：去分母，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得； （4）解：原方程可化为 去分母，得 移项合并，得 系数化为1，得. 18．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程： （1）移项，合并同类项，化系数为1，即可求解． （2）去括号，移项，合并同类项，化系数为1，即可求解． （3）去括号，移项，合并同类项，化系数为1，即可求解． （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （2）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， （2） （3） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 20．（23-24七年级上·辽宁本溪·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减混合运算，解一元一次方程， （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可； （3）先去括号，再合并同类项求解即可； （4）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则，先算乘方，绝对值，然后再算乘除，最后算加减即可； （2）根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可． 本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则，整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） （2） ； （3）， 去分母，得 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 22．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）若 (1)求x、y、z的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、解一元一次方程和已知字母的值求代数式的值， （1）根据绝对值的非负性列一元一次方程求解即可， （2）根据（1）字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 所以 即； （2）解：由（1）得： ． 23．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，若，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是理解题意，列出关于x的方程，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 24．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 25．（23-24七年级上·海南海口·阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求和的值； (2)若满足关系式，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程以及绝对值的意义． （1）根据一元一次方程的定义求出m的值，把m的值代入一元一次方程，解一元一次方程即可求出x的值． （2）由（1）代入绝对值，根据绝对值得意义即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵是关于  x 的一元一次方程 ∴且， 解得：， 把代入， 得：， 整理得：， 解得：． （2）由（1）， ∵ ∴ ∴或， 解得：或． 26．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）将代入，即可求解． 【详解】（1）因为方程是关于的一元一次方程， 所以且． 解得． （2）将代入， 得， 所以或， 所以或． 27．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)当时， ． (2)若都为有理数，则 0， 0．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） (3)已知．求的值． 【答案】(1)3 (2)， (3) 【分析】本题考查绝对值的非负性，涉及解一元一次方程等知识，熟记绝对值非负性是解决问题的关键． （1）由即可得到，解方程从而得到答案； （2）由是非负数，且非负数中最小的数是0，解方程从而得到答案； （3）根据绝对值的非负性，当两个非负式和为零时得到，且，解方程从而得到答案． 【详解】（1）解：， ，解得， 故答案为：； （2）解：是非负数，且非负数中最小的数是0， ，， 故答案为：，； （3）解：， 当时，，且， ，． 28．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若规定，如． (1)计算：的值； (2)当，求x的值 【答案】(1)22 (2)． 【分析】（1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 去括号得， 解得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． 29．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程与有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，将所给式子转换为正常运算． （1）首先根据题意可得，则可求得答案； （2）由，根据题意可得一元一次方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 30．（23-24七年级上·全国·期中）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为： 或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或， (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形有______颗黑色棋子，第6个图形有______颗黑色棋子； (2)第n个图形有______颗黑色棋子（用含n的式子表示）； (3)第n个图形可能有23-24颗棋子吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)18，21 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）结合图形分析可知，后一个图形总比相邻的前一个图形多3颗黑色棋子，据此解答； （2）根据（1）所找出的规律，用含n的代数式表示即可求出答案； （3）结合（2）中所得，，求出结果即可． 【详解】（1）解：第1个图形有个黑色棋子； 第2个图形有个黑色棋子； 第3个图形有个黑色棋子； 第4个图形有个黑色棋子； 第5个图形有个黑色棋子； 第6个图形有个黑色棋子； 故答案为：18；21； （2）解：根据（1）类推可知，第n个图形有个黑色棋子． 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴， ∵n为正整数， ∴不符合题意， ∴不存在某个图形有23-24颗黑色棋子． 【点睛】本题是对图形类变化规律的考查，观察出后一个图形总比相邻的前一个图形多3颗黑色棋子是解题的关键． 32．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图是按照一定规律摆放棋子组成的图案，照这样的规律摆下去，请解答下列问题： (1)第4个图案上共有______个棋子； (2)求第60个图案上棋子的个数； (3)若其中某个图案上共有299个棋子，求这是这几个图案？ 【答案】(1)14 (2)第60个图形上棋子的个数是182个； (3)这是第99个图形． 【分析】（1）观察各图可知，后一个图案比前一个多3枚棋子，第3个图案有11枚棋子，即可求出第4个图案的棋子个数． （2）观察各图可知，后一个图案比前一个多3枚棋子，由此可得第n个图形的通式为，当时即可求出第60个图案棋子的个数． （3）第n个图形的通式为，再取即可求解． 【详解】（1）解：第1个图案：， 第2个图案：， 第3个图案：， ∴第4个图案：， ∴第4个图案有14枚棋子； 故答案为：14； （2）解：由（1）知，第n个图形上棋子的个数是个， 当时，， 所有第60个图形上棋子的个数是182个； （3）解：由题意列方程，， 解这个方程，得， 所以这是第99个图形． 【点睛】本题考查图形的变化规律，由所给的图形分析出规律是解题的关键． 33．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，用同样大小的黑色和白色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图案有1个黑子、4个白子，第2个图案有2个黑子、7个白子，……，按此规律排列下去． (1)第3个图案有________个黑子，________个白子； (2)第（为正整数）个图案中有________个黑子，________个白子；（用含的代数式表示） (3)若第个图案有黑子、白子共101个，请求出的值． 【答案】(1)3，10 (2)n， (3)． 【分析】（1）根据题目出示的图形即可得到答案； （2）根据图形求出第n个图案中黑色和白色棋子； （3）根据题意得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 第1个图案中有1个黑子、白色棋子的个数是：， 第2个图案中有2个黑子、白色棋子的个数是：， 第3个图案中有3个黑子、白色棋子的个数是：， 故答案为：3，10； （2）解：根据（1）的规律， 第n个图案中有n个黑子、白色棋子的个数是：， 故答案为：n，； （3）解：由题意得， 解得． 【点睛】本题考查探索图形的变化规律列代数式、解一元一次方程，解答的关键是发现图形的规律列出代数式． 34．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)图5有多少颗黑色棋子？ (2)若第个图形比第n个图形中多23-24颗棋子，试求n的值． 【答案】(1)19颗 (2)1008 【分析】（1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可； （2）根据（1）中的规律，列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1中有1个黑色棋子； 图2中有颗黑色棋子，比图1多3个； 图3中有颗黑色棋子，比图2多4个； 图4中有颗黑色棋子，比图3多5； 图5中有颗黑色棋子，比图4多6个； ∴图5有19颗黑色棋子； （2）解：由（1）得：第个图形比第n个图形中多颗棋子， ， 解得：， 所以n是值为：1008． 【点睛】本题考查了图形规律的探究，找到变化规律是解题的关键． 35．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可． （1）根据所给的图形进行类比得到答案； （2）根据（1）中的结果类比得到公式即可； （3）利用公式得到方程解题即可． 【详解】（1） 观察图形发现： 第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有：个黑点； 第四个图形有个黑点； 第五个图形有个黑点； 故答案为：； （2）依据上边各式得到：第个图形有个黑点， 故答案为：； （3）解： ， 解得：， 答：n的值为． 36．（23-24·安徽阜阳·一模）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示． 【观察思考】 第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推 【规律总结】 (1)第5个图案有______个正三角形 (2)第个图案中有______个正三角形，（用含的代数式表示） 【问题解决】 (3)现有23-24个正三角形，若按此规律拼第个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？ 【答案】(1)16 (2) (3)该图案需要正方形674个 【分析】（1）利用正三角形的数量依次增加3的规律即可求解． （2）根据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，即可求解． （3）先求出n的值，再确定正方形的个数． 【详解】（1）解：第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，发现正三角形的数量依次增加3， ∴第5个图案有16个正三角形． （2）依据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3， 可得第个图案中有个正三角形． （3）令， 解得， 由图形可以发现第n个图形中有n个正方形， ∴该图案需要正方形674个． 【点睛】本题考查了整式——图形规律问题，涉及到了列一元一次方程并求解，解题关键是发现规律并能利用整式正确表示． 37．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）可以通过调节扣调节，经测量，得到下列数据． 双层部分长度（cm） 2 8 14 20 b 单层部分长度（cm） 148 136 124 a 88 (1)根据数据规律，将表格补充完整：______；______； (2)设双层部分的长度为xcm，请用x的代数式表示单层部分的长度． (3)当背带的长度调为130cm时，此时双层部分的长度为多少cm？ (4)试求背带长度的最大值与最小值． 【答案】(1)112；32 (2) (3)cm (4)最大值为152cm，最小值为76cm 【分析】（1）根据数据，易得规律； （2）找出双层部分长度与单层部分长度的变量关系，表示单层部分的长度； （3）根据数量关系，列方程，解方程即可； （4）令；即可求解； 【详解】（1）根据数据，136=148-12；124 =136-12；则a=112=124-12； 8=2+6；14=8+6；20=14+6；26=20+6；则b=32=26+6 （2）根据（1）得到规律：152-2×双层部分的长度=单层部分的长度 即单层部分的长度为： （3）由题意可得方程： 解得： （4）因为背带长为：当时，背带长的最大值为152cm， 当时，背带长的最小值为76cm． 【点睛】本题主要考查代数式、一元一次方程，正确解读题意，找出双层部分长度与单层部分长度的变量关系是解题的关键． 38．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． （1）摆成图1需要 　 　枚棋子，摆成图2需要 　 　枚棋子，摆成图3需要 　 　枚棋子； （2）摆成图n需要 　 　枚棋子； （3）七（1）班有46名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）6；10；14；（2）4n＋2；（3）能，图11，最下面一横23人 【分析】（1）根据题目所给图形进行求解即可； （2）根据图1需要1×4+2=6枚棋子，图2需要2×4+2=10枚棋子，图3需要3×4+2=14枚棋子，图4需要4×4+2=18枚棋子，可以推出图n需要n×4+2=（4n＋2）枚棋子，由此求解即可； （3）令4n＋2＝46，解得n＝11；再根据图1下面的一需要3枚棋子，图2下面的一需要5枚棋子，图3下面的一需要7枚棋子，图4下面的一需要9枚棋子，可以推出图n下面的一需要3+2（n-1）=（2n+1）枚棋子，由此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：图1需要6枚棋子，图2需要10枚棋子，图3需要14枚棋子， 故答案为：6；10；14 ；   （2）∵图1需要1×4+2=6枚棋子，图2需要2×4+2=10枚棋子，图3需要3×4+2=14枚棋子，图4需要4×4+2=18枚棋子， ∴可以推出图n需要n×4+2=（4n＋2）枚棋子， 故答案为：4n＋2； （3）令4n＋2＝46， 解得n＝11； 图1下面的一需要3枚棋子，图2下面的一需要5枚棋子，图3下面的一需要7枚棋子，图4下面的一需要9枚棋子， ∴可以推出图n下面的一需要3+2（n-1）=（2n+1）枚棋子 ∴当n=11时，2n+1=23， ∴这46枚“棋子”可以按照以上规律恰好站成一“上”字，能站成图11，最下面一横学生数是23人； 答：这46枚“棋子”可以按照以上规律恰好站成一“上”字，能站成图11，最下面一横学生数是23人． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律性问题和解一元一次方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解． 39．（23-24七年级上·河北保定·期中）按如下规律摆放五角星： (1)填写表格： 图案序号 1 2 3 4 … n 五角星个数 4 7 … (2)直接写出第20个图案的五角星个数，个数为___________； (3)若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含23-24个五角星？ 【答案】(1)填表见解析 (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】（1）把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式为； （2）将代入解答即可； （3）令，能求得整数解就是存在，否则不存在； 【详解】（1）解：观察图形规律： 第一个图形有个五角星， 第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有个五角星， 第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有个五角星， 第四个图形比第三个图形多3个五角星，即有个五角星， ………… 以此类推， 第n个图形中的五角星有个五角星， 填表如下： 图案序号 1 2 3 4 … n 五角星个数 4 7 10 13 … （2）将代入中，得（个）； （3）假设存在第n个图案，恰好含有23-24个五角星． 依题意可得， 解得， ∵n为正整数才符合题意， ∴不存在恰好含有23-24个五角星的图案． 【点睛】本题考查了图形变化规律的问题，一元一次方程的应用，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键． 40．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … a … … 2 5 8 … … 9 7 5 3 1 … … b 2 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知，     ， ； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加3；的值的变化规律是；x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ． 【问题解决】 （3）若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就都增加5，且当时，的值为8，求这个含x的代数式． 【答案】（1）、5；（2）增加2、减少3；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式和求代数式的值，有理数的混合运算，解一元一次方程．准确计算是解题的关键． （1）分别将代入两个代数式．计算可得a、b的值即可； （2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论； （3）选根据（2）中的规律即可求解． 【详解】解：（1）根据表中信息可知， ， 故答案为：，5； （2）观察表格可以看出， 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加2； 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少3． 故答案为：增加2，减少3； （3）根据（2）中的规律可知，当x的值每增加1，的值就都都增加5，x的系数， 又因为时，的值为8， ，解得， 故这个含x的代数式为：． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）若式子的值比的值大1，求y的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴， 解得． 42．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）若关于的方程和的解的和为5，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的扩展问题，先解方程，求得x的值，进而得出的解，根据题意列方程即可求出m． 【详解】解：解方程， 解得：， 方程的解是， 由题意可知：，解得：． 43．（23-24七年级上·福建·期末）已知是关于x的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 由是方程的解，将代入计算即可求出m的值． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：． 44．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）求为何值时，代数式的值与代数式的值互为相反数？ 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值与代数式的值互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 45．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）关于的方程与的解互为相反数．求的值； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，先解方程得，解方程得，再根据相反数的定义得到，据此解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与的解互为相反数 ∴， 解得． 46．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，相反数的含义等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先求出第一个方程的解是，把代入第二个方程得出，求出k的值即可． 【详解】解：解方程，得． ∵方程的解与关于x的方程的解互为相反数， ∴方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴． 47．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某同学在解关于的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，求的值和方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照该同学的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，解得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：该同学的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵该同学解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 48．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）已知是方程的解，求m的值； （2）已知是方程，的解，求a的值． 【答案】（1）  （2） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，准确计算是解题的关键． （1）把代入方程即可求出结果； （2）把代入方程即可求出结果 【详解】∵是方程的解 ∴ ∴ ∴； （2）∵是方程，的解 ∴ ∴ ∴． 49．（23-24七年级上·全国·假期作业）已知是关于y的一元一次方程． (1)求a，b的值； (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值等知识，理解一元一次方程中的“一元”和“一次”的意义是解答本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义列出关于a，b的方程，解出a、b； （2）将（1）中a的值代入关于x的方程求出m的值，再将a、b、m的值代入所求等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）把代入方程，得， 解得， 原式． 50．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程与有相同的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）先求出方程的解，得到，再把这个解代入到方程中得到关于m的方程，据此求解即可； （2）把，代入方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 把代入到方程中得：， 去括号得： ， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （2）解：∵，， ∴关于的方程为， 整理得， 解得． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 52．（2024七年级·全国·竞赛）若是整数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据题意得出或是解题关键． 【详解】解：是整数， 也为整数， ， 或， ,即：； ,即：； ,即：； ,即：； 综上所述： 故答案为：． 53．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 54．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为1或3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程．理解新定义的运算方式是解题的关键． （1）由题意知，，然后作答即可； （2）由题意知，，则，可得，计算求解即可； （3）由，可得，解得，，由解为整数，为正整数求值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴正整数的值为1或3． 55．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 56．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、解一元一次方程等知识，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将、代入，化简后根据无关项，得到，即可求出p的值； （2）先解一元一次方程，进而得出的值，即可计算求值． 【详解】（1）解：，， ， 的值与x无关， ， ； （2）解：， ， q为整数，是正整数，且， ，或,， 或 57．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 58．（23-24七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 【答案】当时，；时，；时，；时， 【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k． 【详解】解：移项合并得：， ∴， ∵在整数范围内有解， ∴或， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义． 59．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 60．（23-24七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解得；解得，由，可知方程与方程互为“美好方程”； （2）解得，；解得；由若关于x的方程与方程是“美好方程”，可得，计算求解即可； （3）解得，，由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可知是关于x的一元一次方程的解，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 解得，； ， 解得，， ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”； （2）解：， 解得，； ， 解得，； ∵若关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，， ∴m的值为9； （3）解：， 解得，， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得，， ∴若求关于y的一次方程：的解为． 62．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)或． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解步骤，进行正确的计算是解题关键. （1）分别求解方程，再进行判断即可； （2）由题意得另一个方程的解为：，推出或，即可求解； 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得． ∵， ∴方程与方程是“美好方程”．. （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：， ∵两个解的差为8， ∴或， ∴或． 63．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：若，则称与是关于3的平衡数， (1)3与______是关于3的平衡数，与______是关于3的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断a与b是否是关于3的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平衡数，同时满足一元一次方程，求的值． 【答案】(1)0， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的加减、新定义、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和的平衡数； （2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的平衡数，可以得到k和x的关系即可求解． 【详解】（1）解：， 3与0是关于3的平衡数， ， 与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）a与b是是关于3的平衡数，理由如下： ，， ， ， ， ， ； a与b是是关于3的平衡数． （3），，且与是关于3的平衡数， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， 由题意知的解是， ， ． 64．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为8， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得 65．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数， (1)与_____是关于的平衡数，与_____是关于的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于的平衡数，同时满足一元一次方程求的值． 【答案】(1)， (2)与是关于的平衡数，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的加减、新定义、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义，可以计算出的平衡数和的平衡数； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为即可； （3）根据，，且与是关于的平衡数，可以得到和的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平衡数， ∵ ∴与是关于的平衡数． （2）解：与是关于的平衡数， ∵， ∴ ， ∴与是关于的平衡数． （3）解：∵， ， 且与是关于的平衡数， ∴， ∴， ∴， 由整理得： ， 解得：， 由题意得的解为， ∴， ∴． 66．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称与是关于3的平安数． (1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1)， (2)与是关于3的平安数，理由见解析 (3)非负整数的值为0或1或3 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程： （1）根据平安数的定义列式求解即可； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的平安数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值． 【详解】（1）解：， 4与是关于3的平安数， ， 与是关于3的平安数， 故答案为：，； （2）解：与是关于3的平安数， 理由：，， ， 与是关于3的平安数； （3）解：，，且与是关于3的平安数， ， ， ， 为非负整数， 为正整数， 又为正整数， 可能是1，2，4， 当时，，得； 当时，，得， 当时，，得， 非负整数的值为0或1或3． 67．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即． 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， ∴，即 ∴原式= ． 68．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列两个等式，，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为，如：数对，都是“金桥有理数对”． (1)数对，中是“金桥有理数对”的是______； (2)若是“金桥有理数对”，求a的值； (3)若是“金桥有理数对”，则______“金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 【答案】(1) (2) (3)一定不是 【分析】本题考查有理数的混合运算、“金桥有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“金桥有理数对”的定义即可判断； （2）根据“金桥有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“金桥有理数对”的定义即可判断． 【详解】（1）解：， ∴不是“金桥有理数对”； ， ， 中是“金桥有理数对”； 故答案为：； （2）由题意得:， 解得 ； （3）一定不是. 理由：， ， ∵是“金桥有理数对”， ， ， 一定不是“金桥有理数对”； 69．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用， 首先解得x的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”； 首先求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：由，解得， 由，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 方程的解是或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）方程的解是或． 当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 70．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义运算以及一元一次方程的解法，正确理解“中点方程”的定义是解题关键． （1）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义判断，即可得到答案； （2）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由方程，解得：， ， 方程是“中点方程”； （2）解：由方程，解得， 方程为是“中点方程”， ， 解得： 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将4移项到方程左边变成，每项都，然后通分，利用乘法分配律，把写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得，求出x即可，每项都减1进行通分是解题的关键． 【详解】解：原方程化为： ， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴， ∴． 72．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 【详解】 根据题意可知： 73．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 74．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）利用绝对值的意义讨论：当或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数． 【详解】（1）， 当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得； 所以原方程的解是或． （2）∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解． 75．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 【答案】(1)1；；； (2)存在； (3)方程的“美美与共”方程的解为 【分析】（1）根据题干信息得出，，先方程的解为，求出，即可得出答案； （2）先求出方程的解为：，在求出方程的“美美与共”方程的解为，根据和都为整数，求出结果即可； （3）先求出方程的解为：，得出方程的解为，再求出方程的“美美与共”方程为，求出方程的解为：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵方程的解为， ∴， 解得：， ∴方程与互为“美美与共”方程， ∴，， ∴， 故答案为：1；；； （2）解：存在； 方程的解为：， 方程的“美美与共”方程为：，且其解为， ∵关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数， ∴和都为整数， ∴； （3）解：方程的解为：， ∵方程的解也是方程的解， ∴方程的解为， ∵方程的“美美与共”方程为， ∴方程的解为：． 即方程的“美美与共”方程的解为． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤准确计算． 76．（23-24七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）仿照材料可知，即可求解； （2）仿照材料可知或，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：， 故答案为：，； （2）∵关于x的方程的解是或， ∴方程中或， 当时，， 当时，； 故方程的解为或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，利用换元的思想是解决问题的关键． 77．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出b的值； （2）由是“缘解方程”得出，将代入方程可得，然后把，代入可求出n的值，进而可得m的值； （3）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出，求得，再把原式化简成含的式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵是“缘解方程”， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵（即）是“缘解方程”， ∴， ∵解为， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， ∵方程是“缘解方程”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值，理解“缘解方程”的定义是解题的关键． 78．（23-24七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 79．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求的值即可； （2）先利用运算法则化简，再将，代入求解即可； （3）先利用运算法则得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解： ， ， ，， 原式 ． （3）解：∵ ∴， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查整式的加减——化简求值、有理数的混合运算和解一元一次方程，正确理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 80．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可； （2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可； （3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程：的解是， ∴将代入一元一次方程：得： ，解得：． 故答案为：． （2）解：当时，代入方程得， 整理得：， 把代入得， ， ∵m是整数，k为正整数， ∴、3， ∴或2 ． （3）解：整理方程得：， ∵无解， ∴，即， 把代入得， 整理方程得， 把代入得，解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$