专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．按照这个规定，那么方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或1 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数是1，2或3，有如下定义：为表中第行第列所对应的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以，．请根据以上定义，若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．3 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两名学生根据算式“”在“□”内填一个数字，做填数的游戏． (1)若甲填的数字是，求甲所得的算式P的值． (2)若乙填入数字后，使得算式P的值的相反数等于它本身的值，求出乙填入的数字． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若是方程的解，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）对于非零的两个实数，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若的值与2互为相反数，则x的值为 ． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定：若，则称x与y是一对“相关数”，例如，5与是一对“相关数”． (1)若与是一对“相关数”，求a的值． (2)已知． ①求； ②如果A与B是一对“相关数”，那么___________（直接填写结果）． 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）我们称使成立的一对数a，b为“相伴数对”（a，b），如：当a＝b＝0时，等式成立，记为（0，0）．若（a，3）是“相伴数对”，则a的值为（    ） A．2 B．﹣ C．﹣1 D． 1．（2024·安徽·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）我们知道，含有未知数的等式叫做方程，若规定符号“”的运算意义为，则方程的解是 ． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么就称这两个方程互为“美美与共方程”．例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美美与共方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美美与共方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美美与共方程”，求的值． 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（23-24七年级上·安徽六安·期末）如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 3．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程和为“最美方程”． (1)若关于x的方程中与方程是“最美方程”，求m的值； (2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“最美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 2．（23-24七七年级上·安徽安庆·期末）如果方程的解与方程的解相同，则 ． 3．（23-24七年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值； (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（    ） A．8 B．0 C． D． 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的方程的解是整数，则满足条件的整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 3．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于3的平衡数． (1)4与______是关于3的平衡数，与_____是关于3的平衡数．（填一个含x的代数式） (2)若，，且c与d是关于3的平衡数，若x为正整数，求整数k的值． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（23-24七年级上·安徽六安·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 1．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 2．（23-24七年级上·全国·期中）已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·安徽池州·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级上·安徽六安·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 1．（23-24七年级上·安徽·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 2．（24-25七年级上·安徽·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 2．（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．（22·23七年级上·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．23-24 B．23-24 C．23-24 D．2024 1．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（2019七年级上·全国·专题练习）将方程=1去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在（   ） A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项 C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 3．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·安徽六安·期中）对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上安徽·阶段练习）已知（，，a是各项的系数，c是常数项）： 我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法： ①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，则a的整数值有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若方程与关于x的方程的解相同，则 ． 7．（23-24七年级上·安徽芜湖·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 8．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）已知有理数，，若，且，则所有满足条件的数为 ． 9．（2024·广西钦州·三模）设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为 ． 10．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于任意（，为整数）个数，，，，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值求和，称为这个数的“差绝对值求和运算”，例如：当时，就是，，的“差绝对值求和运算”，，，6的“差绝对值求和运算”结果的最小值是 ；若，，，，的“差绝对值求和运算”结果是32，则的值是 ． 11．（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 12．（23-24·浙江杭州·一模）已知：，求代数式■的值． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了（“■”表示被墨水污染的数字）， (1)如果被污染的数字是4，请求出代数式的值； (2)如果计算结果等于，求被污染的数字． 13．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 14．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．按照这个规定，那么方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是分两种情况列出方程求解．根据题意，当时，；当时，，根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【详解】， 有两种情况： ①当， 即时， 方程变为： ， 解得： ， 此时， 舍去； ②当， 即时， 方程变为， 解得：， 综合上述：． 故选：A． 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数是1，2或3，有如下定义：为表中第行第列所对应的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以，．请根据以上定义，若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意，得出或，即可求解． 【详解】解：由题可得：或， 解得或， 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则 ． 【答案】/ 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，根据“共生数对”的定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为是“共生数对”， 所以， 解得． 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两名学生根据算式“”在“□”内填一个数字，做填数的游戏． (1)若甲填的数字是，求甲所得的算式P的值． (2)若乙填入数字后，使得算式P的值的相反数等于它本身的值，求出乙填入的数字． 【答案】(1) (2)乙填入的数字为0． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）原式先计算乘法和乘方，再进行加减运算即可得到答案； （2）根据“相反数等于它本身的数只能是0”，列出方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：当□填时， ； （2）解：设□填的数为， 相反数等于它本身的数只能是0， ， 解得， 乙填入的数字为0． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若是方程的解，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把方程的解代入求出a的值，再代入另一个方程中解方程即可． 【详解】解：由题意可得， ，解得， 把，代入得， ，解得 ， 故选A． 【点睛】本题考查一元一次方程的解和解方程，解题的关键是知道方程的解满足方程． 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）对于非零的两个实数，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据定得出关于的一元一次方程，求出的值即可，得出关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故选：． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若的值与2互为相反数，则x的值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了相反数的定义和解一元一次方程，直接利用相反数的定义得出，进而得出答案． 【详解】解：∵的值与2互为相反数， ∴， 解得：． 故答案为：0 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定：若，则称x与y是一对“相关数”，例如，5与是一对“相关数”． (1)若与是一对“相关数”，求a的值． (2)已知． ①求； ②如果A与B是一对“相关数”，那么___________（直接填写结果）． 【答案】(1) (2)①②0 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减运算，代数式求值． （1）根据相关数的定义，列出方程，进行求解即可； （2）①根据整式的加减运算法则，进行计算即可； ②根据相关数的定义，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：； （2）①； ②由题意，得：， ∴． 故答案为：0． 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）我们称使成立的一对数a，b为“相伴数对”（a，b），如：当a＝b＝0时，等式成立，记为（0，0）．若（a，3）是“相伴数对”，则a的值为（    ） A．2 B．﹣ C．﹣1 D． 【答案】B 【分析】根据“相伴数对”的定义，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵（a，3）是“相伴数对”， ∴， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次方程，依照“相伴数对”的定义得到关于a的一元一次方程是解题关键． 1．（2024·安徽·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 ∴第二步开始出错， 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）我们知道，含有未知数的等式叫做方程，若规定符号“”的运算意义为，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查对题干中新运算的理解，根据，表示出，再结合一元一次方程的解题方法即可解题． 【详解】解：由题知，可化为， 整理得，解得． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么就称这两个方程互为“美美与共方程”．例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美美与共方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美美与共方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美美与共方程”，求的值． 【答案】(1)不互为“美美与共方程” (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）分别求出两个方程的解，再根据“美美与共方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的解为，根据“美美与共方程”的定义得到方程的解为，代入即可得到，求解即可． 【详解】（1）解方程，得， 解方程，得． ∵，   ∴方程与方程不是互为“美美与共方程”． （2）方程的解为． ∵方程与方程互为“美美与共方程”， ∴方程的解为，所以， 解得． 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（23-24七年级上·安徽六安·期末）如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入方程求解即可． 【详解】解：当时，方程为， 解得， 故选：A． 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴，即的解为 ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 【答案】1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，已知等式利用题中的新定义列出方程，解方程即可求出x值． 【详解】解： ∴可变形为：， ， ， ， 解得，， 故答案为：1． 3．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程和为“最美方程”． (1)若关于x的方程中与方程是“最美方程”，求m的值； (2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“最美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“最美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“最美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“最美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 方程中与方程是“最美方程”， ， 解得： （2）解：“最美方程”的两个解中，一个解为n， 方程的另一个解为， 这两个解的差为7， 或， 解得：或； （3）解：， ， 方程和是“最美方程”， 方程的解为， 关于y的一元一次方程可化为， ， ． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程，同解方程就是解相同的方程，先求出第一个方程的解是解题的关键． 求出两个方程的解，根据两个方程的解相同，得到关于m的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∴， 解得：， 故选：D． 1．（23-24七年级上·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，再将x的值代入方程可得一个关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ， 关于x的方程与的解相同， ，即， 解得：， 故选：D． 2．（23-24七七年级上·安徽安庆·期末）如果方程的解与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程同解问题，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先解出的解，将的值代入即可得到答案． 【详解】解：， 解得， 将代入， 解得． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值； (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可； （2）先求出方程的解为，然后把代入原方程中进行计算即可； （3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得： 且， 且， ， 的值为； （2）解：， ， ， 已知方程与方程的解互为相反数， 把，代入中可得： ， ， 的值为：； （3）解：把代入中可得： ， ， ， ， 已知方程与关于的方程的解相同， ， 解得： 的值为：． 【点睛】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（    ） A．8 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，一元一次方程的特殊解计算，分类计算解答即可．本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键． 【详解】当时，，解得，不是负整数解，不符合题意； 当时，变形得， 若时，方程无解，不符合题意； 当且时，解得， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或， 解得或， ∴整数的所有取值之和为， 故选D． 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的方程的解是整数，则满足条件的整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．解方程即可得到答案． 【详解】解：， 解得， 由于解是整数，故的值可以为， 或或或， 故选B． 2．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于3的平衡数． (1)4与______是关于3的平衡数，与_____是关于3的平衡数．（填一个含x的代数式） (2)若，，且c与d是关于3的平衡数，若x为正整数，求整数k的值． 【答案】(1)； (2)0或1或3 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程，解题的关键在于能够准确读懂平衡数的含义． （1）根据平衡数的定义列式求解即可； （2）根据，，且c与d是关于3的平衡数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴4与是关于3的平衡数； ∵， ∴， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：；； （2）解：∵，．且与是关于3的平衡数， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数，k为非负整数， ∴当时，，即， 当时，，即， 当时，，即（不合题意，舍去）， 当时，，即； 综上，k的值为0或1或3． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（23-24七年级上·安徽六安·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 1．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次程，以及根据一元一次方程的解求参数，先根据求出x的值，再将x的值代入中，求出a的值，能够熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：， 将代入得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·期中）已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程， 首先根据一元一次方程的解法求出方程的解； 然后把x的值代入方程，求解m的值即可,解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 【详解】解： ， ，代入得： ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽池州·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值． 【答案】(1)是“乘解方程”，理由见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可； （）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可； 本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是“乘解方程”，理由： 由解得：， ∵， ∴方程是“乘解方程”； （2）解：由解得：， ∵关于的一元一次方程是“乘解方程”， ∴， 解得：， ∴的值为． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的概念，正确解一元一次方程是关键；由题意知是方程的解，把解代入此方程则可求得a的值；再a的值代入中并解方程即可． 【详解】解：由题意知，是方程的解， 所以， 解得：， 把代入，得， 解得：； 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程和方程的解．可设（ ）内的数为，则错解得方程为，将代入即可． 【详解】解：设（ ）内的数为，则错解的方程为， 依题将代入得： 解得：． 故答案为：9． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 【答案】(1)①； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）根据小明的解题过程进行判断即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：小明在第①步去分母时，1漏乘了12； ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 故答案为：①；． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单． 把方程的解代入方程进行计算即可求解． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得． 故选C． 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法．设被污染的数字为a，将代入，得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】解：设被污染的数字为a． 将代入得：． 解得：． 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 【答案】-7 【分析】设■处的数字为a，把x=2代入方程 得出 ，再求出方程的解即可． 【详解】解：设■处的数字为a， 把x=2代入方程得：， 解得：a=-7， 即■处的数字为-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级上·安徽六安·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意可得，解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得， 系数化为得，， 故选：． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据将定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得出，即可得出关于x的方程，解方程即可得出答案，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，倒数和绝对值的定义，代数式求值，根据绝对值的定义得到，解方程可得或；根据倒数的定义可得，解得，据此代值计算即可． 【详解】解；∵的绝对值是2， ∴， ∴或， ∴或； ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴或 故选：C． 1．（23-24七年级上·安徽·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 【答案】C 【分析】根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或， ∴或， ∴x的相反数是或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据当时，取到最小值为0，据此求解即可． 【详解】解：当时，取到最小值为0．则的最小值是5； 当时，式子取到最大值， ∴， 解得， 故答案为：5；． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【答案】(1)；或 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值； （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据题意对去绝对值即可求解； （3）分数的点位于的左边或的右边两种情况讨论，再分别计算即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：； （3）解：， 数的点位于的左边或的右边， 当数的点位于的左边时，则， 解得； 数的点位于的右边，则， 解得； 综上，或． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴ ∴， ∴， 即 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的整体替换即可解得． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为 ∴关于y的一元一次方程中， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的的解，解题的关键是会用整体替换的思想． 2．（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为：， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 3．（22·23七年级上·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解； 【详解】（1）解：∵方程的解为， 方程的解为， 而方程与是“友好方程”， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为， 依题意得或， 解得或， 故k的值为或； （3）解：方程的解为， ∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”， ∴关于x的方程的解为， ∵关于y的一元一次方程变形得， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．23-24 B．23-24 C．23-24 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母．正确的去分母是解题的关键．根据解一元一次方程——去分母，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A. 由，得，原计算错误； B. 由，得，原计算错误； C. 由，得，原计算错误； D. 由，得，计算正确； 故选：D． 2．（2019七年级上·全国·专题练习）将方程=1去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在（   ） A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项 C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 【答案】C 【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号． 【详解】解：方程去分母得：， 去括号得：， 故选：C． 【点睛】本题考查解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解.需要特别注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号. 3．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，关键在于找出两个式子之间的联系，找出联系即可求解．将关于的一元一次方程变形为，由已知即可求解． 【详解】 解：将关于的一元一次方程变形为， 即， ∵一元一次方程， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（23-24七年级上·安徽六安·期中）对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得： 故选：C． 5．（24-25七年级上安徽·阶段练习）已知（，，a是各项的系数，c是常数项）： 我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法： ①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，则a的整数值有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程，根据新定义运算即可判断①；根据题意得出，解方程即可判断②；根据题意得出，得到，结合题意得出或或或，求解即可，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：已知，则它的伴随多项式，故①正确； ∵， ∴它的伴随多项式， ∵它的伴随多项式， ∴， 解得：，故②正确； ∵二次多项式， ∴它的伴随多项式是， 由题意得：， ∴， ∵关于x的方程有正整数解， ∴或或或， 解得：或或或，即a的整数值有4个，故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D． 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若方程与关于x的方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，先求出的值，再代入方程是解决问题的关键，是一道基础题．先求出方程的解，再把的值代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入方程得： ， 解得：． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·安徽芜湖·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）已知有理数，，若，且，则所有满足条件的数为 ． 【答案】15或30或或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值的意义，利用绝对值的意义求得值，再利用绝对值的意义求得值． 【详解】解：， ， 或． 当时， ， ， 或， 或； 当时， ， ， 或， 或； 综上：满足条件的为：15或30或或． 故答案为：15或30或或． 9．（2024·广西钦州·三模）设，为有理数，定义新运算：．例如：，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于任意（，为整数）个数，，，，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值求和，称为这个数的“差绝对值求和运算”，例如：当时，就是，，的“差绝对值求和运算”，，，6的“差绝对值求和运算”结果的最小值是 ；若，，，，的“差绝对值求和运算”结果是32，则的值是 ． 【答案】 18 或 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据题意列出绝对值方程，再分类去绝对值，即可作答． 【详解】解：由题意得， 当时，， 当时， 当时，， ∴，，6的“差绝对值求和运算”结果的最小值是18； ∵，，，，的“差绝对值求和运算”结果是32， ∴ 化简得 当时，，解得， 当时，，解得（舍）， 当时，，解得（舍）， 当时，，无解，舍去， 当时，，解得（舍）， 当时，，解得， 故答案为18；或 11．（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （3）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （4）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解∶原方程变形为， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（23-24·浙江杭州·一模）已知：，求代数式■的值． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了（“■”表示被墨水污染的数字）， (1)如果被污染的数字是4，请求出代数式的值； (2)如果计算结果等于，求被污染的数字． 【答案】(1) (2)被污染的数字为 【分析】（1）把代入计算即可； （2）设被污染的数字为，把代入后结果为，列方程计算即可． 【详解】（1）∵被污染的数字是4， ∴把代入得； （2）设被污染的数字为， ∵计算结果等于， ∴把代入后结果为， 即， 解得 即被污染的数字为． 【点睛】此题主要考查了代数式求值，准确的代入求值是解题关键． 13．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【详解】（1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 14．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)或； (4)，； (5)运动秒或秒后，． 【分析】本题考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，解题的关键是掌握绝对值的定义． （1）数轴上到原点距离为的点有两个，分别在原点的左右两边，根据数轴上点的特征即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． （3）根据的取值范围取绝对值，分①当时；②当时；③当时，三种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案； （5）设运动秒后，根据题意求得点表示的数为，得到秒后点表示的数为，点表示的数为，则，整理求解即可． 【详解】（1）解：数轴上到原点距离为的点有两个， 当在原点左边时，的值为， 当在原点右边时，的值为， 故答案为：，； （2）解：与之间的距离表示为：， 若则 解得：或 故答案为：，或； （3）解：①当时，原方程可化为：， 解得：， ②当时，原方程可化为：， 此时方程无解， ③当时，原方程可化为：， 解得：， 综上可得的值为或， 故答案为：或； （4）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，即； 当时，，， ∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为， 故答案为：，； （5）解：设运动秒后， ∵点表示的数为，点与点的距离是，且点在点的右侧 ∴点表示的数为：， 由题意可得秒后点表示的数为，点表示的数为， 则， 整理得：， ∴或 解得：或， ∴运动秒或秒后． 学科网（北京）股份有限公司 $$