精品解析：2024-2025学年苏科版九年级上册月考数学试卷 （10月份）

2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意； D、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左右同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案. 【详解】原式= 故答案选B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，能够熟练掌握配方法是解题的关键. 3. ☉O的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与☉O的位置关系是(　　) A. 点P在☉O内 B. 点P的☉O上 C. 点P在☉O外 D. 点P在☉O上或☉O外 【答案】A 【解析】 【分析】本题先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系． 【详解】∵圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)， ∴<5， ∴点P在☉O内. 故选A. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 4. 如图，是⊙O直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和图形即可求得的度数，本题得以解决．本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：连接， 是直径，， ，， ， 故选：B． 5. 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可． 【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x． ∵是的直径，垂直于弦于点， ∴ ∴OD是△ABC的中位线 ∴BC=2OD ∵ ∴，解得 ∴BC=2OD=2x=2 故选：C 【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键． 6. 如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接，过D点作于H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小； 【详解】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 一元二次方程的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直接开平方法解方程即可． 【详解】∵x2=2， 两边开平方得：x=±， ∴x1=，x2=-． 故答案为x1=，x2=-． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 8. 若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 【答案】k＜9，且 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可求解 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴， ， ∴k＜9且． 故答案为：k＜9，且 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程无实数根时，，注意本题为一元二次方程，故要注意这一隐含条件，这是易错点． 9. 某菜鸟驿站第一天揽件件，第三天揽件件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为，根据题意所列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据题意，第三天的揽件数量第一天的揽件数量，列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 10. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为 ___________． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；根据勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而即可得到结论． 【详解】解：直角边长分别为6和8， 斜边是10， 这个直角三角形的外接圆的半径为5， 故答案为： 12. 若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的运用，根据圆的一条弦长等于它的半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形，所以这条弦所对的圆心角是，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解，解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数． 【详解】解：根据题意，弦所对的圆心角是， ①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角， ②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于， 故答案为：或． 13. 若三角形的两边长分别是2和4，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及解一元二次方程，因式分解法求出的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，求出周长即可． 【详解】解： 解得或 当时，，不能构成三角形．舍去； 当时，，可以构成三角形，故三角形的周长为． 故答案为：． 14. 平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 【答案】6或4 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论． 分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可． 【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点A在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为6或4． 故答案为：6或4． 15. 已知a，b是关于x的方程的两根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解得到，则，所以原式可化简为，然后利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵a是关于x的方程的根， ∴， ∴，即， ∴， ∵a与b是关于x的方程的两根， ∴， ∴原式． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 16. 如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】解：补全弧所在的圆及圆心，连接，，， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角， 设半圆的半径为，则由对折可得：， ∵， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去） ， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）x2－2x－3＝0 （2）（x﹣3）2＝2x﹣6 【答案】（1）x1＝3，x2＝－1 （2）x1＝3，x2＝5 【解析】 【分析】（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可； （2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：x2－2x－3＝0 移项，得：x2－2x＝3， 配方，得：x2－2x＋1＝3＋1， 即（x－1）2＝4． 两边同时开方，得：x－1＝±2， ∴x1＝3，x2＝－1． 【小问2详解】 解：（x﹣3）2＝2x﹣6 ∵（x﹣3）2＝2（x﹣3）， ∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（x﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 【点睛】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法和步骤是解题的关键． 18. 如图，在⊙O中，点C是的中点，D、E分别是半径和的中点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，构建全等三角形和，即可求证． 【详解】证明：连接，如图所示： ∵，且D、E分别是半径和的中点， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴（SAS）， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形全等的判定等，掌握数形结合思想是解题关键． 19. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1． 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0， x2﹣5x+6﹣p2=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2， ∵无论p取何值时，总有4p2≥0， ∴1+4p2＞0， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2， ∴52=5（6﹣p2）， ∴p=±1． 20. 如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点． （1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） （2）若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径． 【答案】（1）见解析 （2）圆片的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂径定理及勾股定理，熟记相关结论是解题关键． （1）弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心，据此即可完成作图； （2）连接，根据垂径定理可得，再结合勾股定理可得；设圆片的半径为，在中利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示：分别作弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心； 小问2详解】 解：连接交于． ， ， ， ， 设圆片的半径为， 在中，， 解得：， 圆片的半径为． 21. 如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先证明，即可求解； （2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解． 【小问1详解】 如图：连接 是的直径 ，即 又 ． 【小问2详解】 的度数为 又，且 ． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆． （1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润． （2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价． 【答案】（1）98（万元）；（2）20万元 【解析】 【分析】（1）根据售价计算销售量，即可求出利润； （2）设每辆汽车降价x万元，根据已知条件列出方程解答即可. 【详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14， 则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）； （2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得： （25﹣x﹣15）（8+2x）＝90， 解得x1＝1，x2＝5， 当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）； 当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆）， 为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元）， 答：每辆汽车的售价为20万元． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解销售数量与销售价之间的关系是解题的关键. 23. 如图，四边形内接于，连接、相交于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）作直径，连接，如图2，先利用垂直定义得到，再利用圆周角定理得到，，，然后根据等角的余角相等得到结论． 【小问1详解】 ， ， 即， ， ， ； 【小问2详解】 作直径，连接，如图2， ， ， ， ，， ， 为直径， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 24. 已知，在中，设所对的圆周角为．求证： 证明；圆心O可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在的一边上时． ∵， ∴， ∵， ∴，即 请你完成图②、图③的证明． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】图②证明：如图②所示，连接并延长交圆O于D，根据，得到，利用三角形外角的性质得到，由此证明即可； 图③证明：如图③所示，延长交圆O于E，由同弧所对的圆周角相等得到，再由图①的证明等量代换即可证明图③． 【详解】解：图②证明：如图②所示，连接并延长交圆O于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 图③证明：如图③所示，延长交圆O于E， ∴， 由图①的证明可知， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关知识是解题的关键． 25. 如图，是的直径，弦，垂足为E，K为弧上一动点，的延长线相交于点F，连接． （1）求证：； （2）已知 ，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、．根据“圆内接四边形对角互补”以及同角补角相等，推知；然后由垂径定理以及等弧所对的圆周角相等证得；最后根据等量代换证得结论； （2）连接．利用垂径定理知，然后在中根据勾股定理求得，最后在中利用三角函数的定义求得，由等量代换知． 【小问1详解】 证明：连接、， ∵是圆内接四边形的外角， ∴， ∴， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵弦，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵． 【点睛】此题考查了等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键． 26. 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． （1）解方程． （2）解方程 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键． （1）设，则原方程可化为，求出方程的解，再求出即可； （2）原方程可化为，设，原方程可化为，求出方程的解，再求出即可． 【小问1详解】 解：设，原方程可化为， 解得：，． 由，得，． 由，得方程， ，此时方程无解． ∴原方程的解为：，． 【小问2详解】 解：原方程可化为， 设，原方程可化为， 解得，， 由，得，， 由，此时方程无解， ∴原方程的解为，． 27. 问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上． （1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决． （2）如图3，两条高、相交于点O，连接并延长交于点F． 求证：为的边上的高． 拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题： （3）在（2）的条件下连接、、（如图4），设，则的度数为________．（用含α的式子表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的定义结合直角三角形斜边上的中线的性质进行解答即可； （2）证明，由三角形内角和定理可得，从而可得结论； （3）由圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后根据周角可计算出结果． 【详解】证明：（1）点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 连接，， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 连接，取中点N，连接，，如图， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）连接，由点B、C、D、E四点共圆得， 由点A、D、O、E四点共圆得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的边上的高 （3）∵是边上的高， ∴ ∴点B、F、O、E四点共圆 ∴ ∵点A、D、O、E四点共圆 ∴ ∵ ∴ ∵，是的高， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了圆的定义，圆周角定理以及三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，运用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合是圆）是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 3. ☉O的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与☉O的位置关系是(　　) A. 点P在☉O内 B. 点P的☉O上 C. 点P在☉O外 D. 点P在☉O上或☉O外 4. 如图，是⊙O直径，，则（ ） A B. C. D. 5. 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 6. 如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接，过D点作于H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 一元二次方程的根是__________． 8. 若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 9. 某菜鸟驿站第一天揽件件，第三天揽件件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为，根据题意所列方程为____________． 10. 如图，是半圆O直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为 ___________． 11. 已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径_____． 12. 若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是______． 13. 若三角形的两边长分别是2和4，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为________． 14. 平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 15. 已知a，b是关于x的方程的两根，则的值是___________． 16. 如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则______． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）x2－2x－3＝0 （2）（x﹣3）2＝2x﹣6 18. 如图，在⊙O中，点C是的中点，D、E分别是半径和的中点，求证：． 19. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 20. 如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点． （1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） （2）若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径． 21. 如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若度数为，求的度数． 22. 某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆． （1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润． （2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价． 23. 如图，四边形内接于，连接、相交于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 24. 已知，在中，设所对圆周角为．求证： 证明；圆心O可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在的一边上时． ∵， ∴， ∵， ∴，即 请你完成图②、图③的证明． 25. 如图，是的直径，弦，垂足为E，K为弧上一动点，的延长线相交于点F，连接． （1）求证：； （2）已知 ，求的大小． 26. 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． （1）解方程． （2）解方程 27. 问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上． （1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决． （2）如图3，的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F． 求证：为的边上的高． 拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题： （3）在（2）条件下连接、、（如图4），设，则的度数为________．（用含α的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$