精品解析：江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试卷

扬大附中东部分校2023-2024学年第一学期第一次模块学习效果调查 高一年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】解：因为，所以，又， 所以. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 3. 不等式的解集是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将“不等式≤0”转化为“不等式组”，由一元二次不等式的解法求解． 【详解】依题意，不等式化为， 解得﹣1＜x≤2， 故选D． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 4. 设命题：，，则以下描述正确的是（ ） A. 为假命题，是“，” B. 为假命题，是“，” C. 为真命题，是“，” D. 为真命题，是“，” 【答案】B 【解析】 【分析】通过取特殊值，使得是有理数，所以为假命题 【详解】当时，，与，矛盾，所以，，所以为假命题 而是， 故选：B 5. 已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，解得，根据不等式性质求出. 【详解】设， 则，解得， 因为，， 所以， 所以，即. 故选：B 6. 已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以． 因为x，y都是正数，由基本不等式有：， 所以，当且仅当 即时取“＝”．故A，C，D错误. 故选：B． 7. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C. 8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 【详解】由得 ， 若，则不等式无解． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 综上，满足条件的的取值范围是 故选：C． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列表述正确的是（    ）． A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系即可逐项判断. 【详解】对于A，两个集合之间是包含关系，故A错误； 对于B，，是相等的集合，所以，故B正确； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，空集与一个非空集合不相等，故D错误． 故选：BC． 10. 下列命题正确的有（ ） A. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：利用根的判别式与根与系数的关系，结合充要条件定义判断即可得；对B：配方即可得；对C：解出该一元二次不等式后结合充分不必要条件定义即可得；对D：举出反例即可得. 【详解】对A：若一元二次方程有一正一负根，则有， 故“”是“一元二次方程有一正一负根”的充分条件， 当时，对一元二次方程，有， 故一元二次方程有一正一负根， 即“”是“一元二次方程有一正一负根”的必要条件， 故“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故A正确； 对B：，故不等式的解集为，故B正确； 对C：若，则或， 故是的充分不必要条件，故C正确； 对D：当时，有，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确的结论是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. . 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的解集，即可判断A项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B、C、D项. 【详解】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确； 对于B项，由已知可得，3，4即为的两个解. 由韦达定理可得，，解得， 代入可得. 又，所以，所以解集为，故B项错误； 对于C项，由B知，，，， 代入不等式可得， 化简可得， 解得， 所以，不等式的解集为，故C项正确； 对于D项，由已知可得，，故D项正确. 故选：ACD. 12. 德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，满足戴德金分割 B. 没有最大元素，有一个最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】根据即可判断A；可举出例子判断BD；C选项，推理出，即可判断C. 【详解】A选项，，， 故，A错误； B选项，设，，满足， 此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确； C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，C错误； D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 集合的非空真子集个数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出集合后，结合中元素个数，及元素个数与非空真子集个数间的关系即可得解. 【详解】由，故，共个元素， 故其非空真子集个数为. 故答案为：. 14. “”是“”的___________条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】化简，然后应用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为由可得或， 所以即且. 因为由“”不能推出“且”； 由“且”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 15. 已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】由题意可得，即， ，， 由可得， 即，化简得， 解得或，又，故. 故答案为：. 16. 已知，，且，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用表示，然后利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由可得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设，已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若B不是空集，设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空集的概念计算即可； （2）根据充分、必要条件的定义转化为集合间的基本关系计算即可. 【小问1详解】 若，由题意可知，即； 【小问2详解】 结合（1）知，若B不是空集，则， 而是的必要不充分条件等价于B是A的真子集， 即（且等号不能同时取得），解之得， 经验证时符合题意，综上. 18. 已知命题，，命题，. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为对恒成立，即可求的取值范围； （2）求命题q为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集. 【小问1详解】 若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. 【小问2详解】 若命题q为真命题，则，即，解得或. 因此，实数m的取值范围是或； 若命题p，q至少有一个为真命题， 可得或或. 所以实数的取值范围或. 19. 已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】 先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 【解析】 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论． 【详解】略 20. （1）已知，求的最大值； （2）已知正实数、满足，求的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将代数式变形为，利用基本不等式可求得的最大值； （2）对等式直接利用基本不等式，可求得的最大值. 【详解】（1）因为，则，即， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为； （2）因为正实数、满足， 由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 21. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园.学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园.为了方便施工，建造时要求点在上，点在上，且对角线过点，如图所示.已知.设（单位：），矩形的面积为. （1）写出关于的表达式，并求出为多少米时，有最小值； （2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由比例求得，然后由矩形面积公式求解，并由基本不等式求得最小值； （2）解不等式可得． 【小问1详解】 ，，， ， 由基本不等式得：，当且仅当时，取“=”， 当时，； 【小问2详解】 由（1）得，即， ∴，， ∴或， 的范围在． 22. 符号[x]表示不大于x的最大整数（xR），例如：[1.3]=1，[2]=2，[-1.2]=-2. （1）已知[x]=2，[x]=-2，分别求两方程的解集M、N； （2）设方程[|x-1|]=3的解集为A，集合，若，求k的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解方程即可； （2）根据题意列方程，解方程得到集合，然后分，，三种情况讨论求集合B即可. 【小问1详解】 因为表示不大于的最大整数，时，解得：， 所以 ， 时，解得：，所以 . 【小问2详解】 因为，所以，根据绝对值不等式的几何意义解得： ， 又； 当时，，所以成立； 当时， ，若，则有：， 解得； 当时，，若，则有：， 解得； 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2023-2024学年第一学期第一次模块学习效果调查 高一年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集是 （ ） A. B. C. D. 4. 设命题：，，则以下描述正确的是（ ） A. 为假命题，是“，” B. 为假命题，是“，” C. 为真命题，是“，” D. 为真命题，是“，” 5. 已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列表述正确的是（    ）． A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确的结论是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. . 12. 德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，满足戴德金分割 B. 没有最大元素，有一个最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 没有最大元素，也没有最小元素 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 集合的非空真子集个数为___________. 14. “”是“”的___________条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空） 15. 已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为______. 16. 已知，，且，则的最小值是________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设，已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若B不是空集，设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 18. 已知命题，，命题，. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 19. 已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 20. （1）已知，求的最大值； （2）已知正实数、满足，求的最大值． 21. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园.学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园.为了方便施工，建造时要求点在上，点在上，且对角线过点，如图所示.已知.设（单位：），矩形的面积为. （1）写出关于的表达式，并求出为多少米时，有最小值； （2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 22. 符号[x]表示不大于x的最大整数（xR），例如：[1.3]=1，[2]=2，[-1.2]=-2. （1）已知[x]=2，[x]=-2，分别求两方程的解集M、N； （2）设方程[|x-1|]=3的解集为A，集合，若，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $