精品解析：河南省郑州市第七高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年河南省郑州七中高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合A，即可求出，进而求出. 【详解】, , . 故选：C. 【点睛】本题考查集合的并集补集混合运算，属于基础题. 2. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误； 对于C，函数与的定义域和对应法则都相同， 所以表示相同的函数, 故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误. 故选：C. 3. 已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是真命题列不等式，分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】若是假命题，则是真命题，即恒成立， 则，， 由于，当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D． 4. “”是“关于的方程有实数根”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】当时，方程的实数根为， 当时，方程有实数根，则，解得，则有且， 因此，关于的方程有实数根等价于， 所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件. 故选：A 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即， 又函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 6. 若函数，则在上的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求，再结合二次函数的性质求最值. 【详解】令，则， ∴，即， ∵的开口向下，对称轴为，则在上单调递增，在上单调递减， ∴在上的最大值为，最小值为，则. 故选：B. 7. 函数为偶函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条件，可得函数在上单调递增，再结合偶函数的性质求解不等式即得. 【详解】由任意，都有，得函数在上单调递增， 而函数为偶函数，则， 于是，即，则有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，化简之后利用“1”的代换，结合基本不等式即可求解． 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则 C. 若，．则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特值可判断A错误，C错误；由不等式的性质可判断B正确；作差比较可判断D正确． 【详解】当时，，故A错误； 因为，所以，所以，故B正确； 当，，，时，，故C错误； ， 又，，所以，所以，故D正确． 故选：BD． 10. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中所给定义，只需判断是否有解即可. 【详解】对于A：当，即时，该方程无解，故A不满足； 对于B：当时，解得或，满足定义，故B满足； 对于C：当时，时，解得或， 当时，时，无解，综上C满足； 对于D：当时，解得，故D满足. 故选：BCD 11. 已知函数下列命题正确的是（ ） A. 的值域为 B. C. 若函数在上单调递减，则的取值范围为 D. 若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域可判断AB；由二次函数的性质可判断C；由分段函数的单调性可判断D，则可得出结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以，B正确，A错误． 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确． 若在上单调递减，则，解得的取值范围为，D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则______． 【答案】##4.75 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案． 【详解】函数，则． 故答案为：． 13. 已知集合，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解. 【详解】因为，则或或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或（舍） 当时，，符合题意； 综上所述：或， 故答案为：或 14. 已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为________. 【答案】[0，2] 【解析】 【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣g（x），利用F（x）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2）， 令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]单调递增即可， 当x＝1时，F（x）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x＞1时，F（x）＝x2﹣ax+a， 当x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a， 要使F（x）在[0，2]递增， 则当1＜x≤2时，F（x）＝x2﹣ax+a的对称轴x＝，即a≤2， 当0≤x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a的对称轴x＝，即a≥0， 故a∈[0，2]， 故答案为：[0，2] 【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用集合交、补运算求集合； （2）由题设，讨论、分别求参数范围，即可得答案. 【小问1详解】 由题设或，且， 所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，，即； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为. 16. 2020年11月22日，习近平在二十国集团领导人利雅得峰会“守护地球”主题会议上指出，根据“十四五”规划和2035年远景目标建议，中国将推动能源清洁低碳安全高效利用，加快新能源、绿色环保等产业发展，促进经济社会发展全面绿色转型．淮安某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n（n∈N*）年内的总维修保养费用为（4n2+20n）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年底，该项目的纯利润为f（n）．（纯利润=累计收入-总维修保养费一投资成本） （1）写出的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目； 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由． 【答案】（1）=-4n2+80n-144（n为正整数），从第3年起开始盈利； （2）若选择方案①，设年平均利润为， 则，当且仅当即n=6时，等号成立， 所以当n=6时，取得最大值32， 此时共盈利为32×6+72=264（万元）； 若选择方案②，纯利润=-4n2+80n-144=-4（n-10）2+256， 所以当n=10时，纯利润取得最大值256， 此时共盈利为256+8=264（万元）， 若该公司6年后投资其他项目，确定盈利则选择方案①， 若该公司6年后投资其他项目，确定亏损则选择方案②， 事实上，投资任何一个项目都有风险，并不一定年限少，盈利就多，就更有利于公司的发展． 【解析】 【分析】（1）由纯利润=累计收入-总维修保养费一投资成本可得=-4n2+80n-144，令求出n的取值范围，即可得到第3年起开始盈利； （2）若选择方案①，设年平均利润为，则，利用基本不等式可求出的最大值以及此时的总盈利，若选择方案②，利用二次函数的性质可求出的最大值，以及此时的总盈利，再做比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可知=100n-（4n2+20n）-144=-4n2+80n-144（n为正整数）， 令>0得-4n2+80n-144>0， 解得2<n<18，所以从第3年起开始盈利． 【小问2详解】 略 17. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得. （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 原不等式可化为，因为该不等式的解集为， 可知的两根为和， 则，即，解得； 所以. 【小问2详解】 若对任意的恒成立， 则对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）在上为增函数，证明如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在上是增函数． （3）． 【解析】 【分析】（1）由求的值，由求的值，检验即可. （2）设，证明，即可说明在上是增函数． （3）利用函数为奇函数把不等式变形，利用函数的单调性求不等式的解集. 【小问1详解】 ∵函数是定义在上的奇函数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，经检验，是奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得，在上为单调递增的奇函数， 由可得， ∴， 解得， ∴不等式的解集为． 19. 设，函数． （1）若时，解不等式； （2）若，求的单调区间； （3）若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】（1） （2）单调递减区间为；单调递增区间为． （3）． 【解析】 【分析】（1）写出分段函数形式，结合一元二次不等式的解法求解即可； （2）写出分段函数形式，结合二次函数性质画出图象，数形结合判断单调区间即可； （3）由题意知为奇函数，结合奇函数性质得，进而有，则，将问题化为在恒成立，再由及对勾函数性质求右侧最大值，即可得参数的范围． 【小问1详解】 若时，， 不等式或，解得或， 所以，即不等式的解集为． 【小问2详解】 由题设，图象如下： 由图知：在上递减，在上递增， 所以单调递减区间为；单调递增区间为． 【小问3详解】 由的图象关于点对称，即关于原点对称， 所以为奇函数，则， 所以，即在上恒成立， 所以，故，则，故， 所以，则恒成立， 由，令， 结合对勾函数的单调性，知在上单调递增，有，故， 综上，，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省郑州七中高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“关于的方程有实数根”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则在上的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. 0 D. 7. 函数为偶函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则 C. 若，．则 D. 若，，则 10. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数下列命题正确的是（ ） A. 的值域为 B. C. 若函数在上单调递减，则的取值范围为 D. 若在上单调递减，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则______． 13. 已知集合，若，则实数的值为__________. 14. 已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）； （2）若，求实数的取值范围． 16. 2020年11月22日，习近平在二十国集团领导人利雅得峰会“守护地球”主题会议上指出，根据“十四五”规划和2035年远景目标建议，中国将推动能源清洁低碳安全高效利用，加快新能源、绿色环保等产业发展，促进经济社会发展全面绿色转型．淮安某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n（n∈N*）年内的总维修保养费用为（4n2+20n）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年底，该项目的纯利润为f（n）．（纯利润=累计收入-总维修保养费一投资成本） （1）写出的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目； 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由． 17. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 19. 设，函数． （1）若时，解不等式； （2）若，求的单调区间； （3）若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $