山西省长治市壶关县多校2023-2024学年上学期期中测试九年级数学试卷

第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分 .在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是 （　　） A. 65 B. 12 C. 3 D. 2.5 2. 如图 1是杭州第 19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良 渚古城遗址，名字来源于文物玉琮 .琮琮全身以黄色调为主，头部刻 有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神 .文旅部门 将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上， 这体现了数学中的 （　　） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 3. 已知a，b不为零，若3a=4b，则下列比例式中正确的是 （　　） A. ab = 3 4 B. a 4 = b 3 C. a 3 = 4 b D. a 4 = 3 b 4. 在平面直角坐标系中，将点M（2，-1）向左平移2个单位得到点M′，则点M′的坐标为 （　　） A. （0，-1） B. （2，0） C. （4，-1） D. （0，1） 5. 用配方法解方程 x2+8x+7=0，下列变形正确的是 （　　） A. （x+4）2=9 B. （x-4）2=9 C. （x-8）2=57 D. （x+8）2=57 6. 下列运算正确的是 （　　） A. 2 + 3 = 5 B. 48 - 27 = 3 C. ( )-3 2 = ±3 D. 12 ÷ 2 = 6 7. 如图 2，已知 l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A， B，C和点D，E，F.若 ABBC = 5 4，EF=8，则DF的长为 （　　） A. 9 B. 10 C. 725 D. 18 8. 根据下列表格的对应值： x x2-bx-c 0 -15 0.5 -8.75 1 -2 1.5 5.25 2 13 可判断关于 x的方程 x2-bx-c=0必有一个根满足 （　　） A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 9. 山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历 代御膳香醪 .菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵 中药材 .近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年 增长 .已知某代销商 2020年售出菖蒲酒 300瓶，在 2022年实现销量翻一番，若设这 两年菖蒲酒销量的平均年增长率为a%，则可列方程为 （　　） A. 300（1+ a%）=600 B. 300（1+ a2%）=1200 C. 300（1-a%）=600 D. 300（1+ a%）2=600 10. 如图 3，P是△ABC内一点，AP⊥BP，D，E，F，G分别是 AP，BP，BC，AC的中点 . 若四边形 DEFG的周长为 28，BP=12，CP=15，则AP的长为 （　　） A. 13 B. 9 C. 5 D. 4 九年级数学（HS）　第1页（共8页） 九年级数学（HS）　第2页（共8页） 注意事项： 1. 本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟 . 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置 . 3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 . 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 2023—2024学年第一学期期中学业水平质量监测 　九年级数学 姓名　　　　 　　　　　　　 准考证号　　　　　 　　　　　 图1 A D E B F C l2 l3 l1 图2 A D G C P F EB 图3 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算： 3 × 23 =____________． 12. 已知m是方程 x2-2x-2024=0的一个根，则m2-2m的值为____________． 13. 蝴蝶标本通常用于收藏、研究和教育，在制作蝴蝶标本的过程中，首先要选择合适 的采集地点和时间，避免对蝴蝶种群造成过度干扰或损害；其次要使用恰当的固 定工具和脱水剂，确保蝴蝶姿势稳定且身体内的水分和脂肪得到充分去除 . 如 图 4，小颖借助平面直角坐标系固定一个展翅蝴蝶标本，该蝴蝶标本可以近似地看 作轴对称图形，若图4中点A的坐标为（m，3），其关于y轴对称的点B的坐标为（5，n）， 则m+n的值为____________． A B xO y 图4 A D E C F B 图5 14. 已知关于 x的一元二次方程 ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则常数 a的值可 以是____________．（填一个即可） 15. 如图 5，在矩形 ABCD中，AB=2，AD=4 2，E是边CD的中点，F是对角线BD上一动 点 .当△ABF与△DEF相似时，BF的长为____________． 三、解答题（本大题共 8个小题，共 75分 .解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或 推理过程） 16. （每小题5分，共10分）解方程： （1）4x2-9=0； （2）x（x-5）=2x-10． 17. （7 分）下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相 应任务． 计算：( )5 - 2 6 ( )5 + 2 6 - 4 16 ． 解：原式=25 - 12 - 2 16 …………………………………第一步 =13 - 63 …………………………………………第二步 =39 - 63 . …………………………………………第三步 （1）上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； （2）请写出正确的解答过程． 18. （7 分）如图 6，延长平行四边形 ABCD的一边 BC至点 F，连接 AF交 CD于点 E. 若 DE CE = 1 2，求 BC CF的值． A D E FCB 图6 九年级数学（HS）　第3页（共8页） 九年级数学（HS）　第4页（共8页） 19. （9 分）如图 7 所示，已知△ABC各顶点都在正方形网格的格点上，且△ABC与 △A′B′C′的顶点坐标信息如下表： （x，y） （2x，2y） A（2，1） A′（4，2） B（4，3） B′（8，6） C（_____，_____） C′（_____，_____） （1）请你根据表格信息，在网格图中建立适当的平面直角坐标系，并将表格补充 完整； （2）在（1）的条件下，画出△A′B′C′； （3）观察△ABC与△A′B′C′，写出一条有关这两个三角形关系的结论． A C B 图7 20. （8 分）“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播 电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传 播三晋文化 .其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购 买品尝 .某商家抓住商机，以 70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液， 在销售过程中发现，当售价为 110元/盒时，一天可售出 20盒，且该礼盒的单价每降 低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为 x元/盒，则其日销售量可表示为____________盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利 1200元，则该礼盒的售价应 定为多少？ 21. （9分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量学校旗杆高度 问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板， 标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意 图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案： 测量工具 测量 示意图 及说明 测量数据 … 方案一 自制直角三角形硬纸板，皮尺 A E F C D B G 说明：线段AB表示学校旗杆，小亮的 眼睛到地面的距离 CD=1.7 m，点D 与点 B在同一水平直线上，D，B之 间的距离可以直接测得，且A，B，C， D，E，F，G都在同一竖直平面内，A， C，E三点在同一直线上，C，F，G三 点在同一直线上． D，B之间的距离 EF的长度 CE的长度 … 16.8 m 0.50 m 0.75 m 方案二 标杆，皮尺 A E F C D B 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的 眼睛到地面的距离CD=1.7 m，标杆 竖立位置点 F与点 B，D在同一水 平直线上，D，F，B之间的距离都可 以直接测得，且 A，B，C，D，E，F都 在同一竖直平面内，A，C，E三点在 同一直线上． D，B之间的距离 D，F之间的距离 标杆EF的长度 16.8 m 1.35 m 2.60 m … … … 根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度． 九年级数学（HS）　第5页（共8页） 九年级数学（HS）　第6页（共8页） 22. （12分）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 方程及其解法 方程（equation）是含有未知数的等式，是表示两个数学式之间相等关系 的一种等式 .使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”，求方程的解的过程 称为“解方程”. 早在 3600 年前，古埃及人用象形文字写在草纸上的数学问 题中，就涉及了含有未知数的等式 .约公元 825年，中亚细亚数学家阿尔-花 拉子米在《对消与还原》一书中，重点讨论方程的解法． 我们知道，求解一元一次方程，就是根据等式的基本性质，把方程转化为“x=a（已知数）”的形 式；求解二元一次方程组，就是通过消元，转化为一元一次方程来求解；求解一元二次方程，就是 通过降次，转化为两个一元一次方程来求解；求解分式方程，就是通过去分母，转化为整式方程来 求解，但因整式方程的解可能会使原分式方程中的分母为0，故解分式方程必须进行检验． 由此可知，各类方程的解法不尽相同，但它们利用了共同的基本数学思想——转化，即将复 杂问题转化为容易求解的问题 .特别要注意，方程的解要使方程左右两边的式子有意义． 例：一元三次方程 y3-2y2-15y=0，可以通过因式分解把它转化为 y（y2-2y-15）=0，解方程 y=0 和 y2-2y-15=0，即可得到原方程 y3-2y2-15y=0的解． 任务： （1）材料中方程 y3-2y2-15y=0的解是____________； （2）若根号下含有未知数的方程称为无理方程，请用“转化”思想求无理方程 x - 4 = 6 - x的解； （3）如图 8，某小区有一块面积为 60 m2的矩形草坪ABCD（其中BC＞AB），为维护草 坪，对角线 AC处铺有一根 13 m 长的喷雾式浇水管 .若物业管理处计划将这块 矩形草坪用栅栏围起来，则需要多长的栅栏？ A D B C 图8 23. （13分）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角 三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图 9-①，将等边三角 形 ABC沿直线DE折叠，点 A恰好落在边BC上的点F处，折痕分别交 AB，AC于 D，E两点 .求证：ADAE = BD CF； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图 9-②，将正方形ABCD沿 直线 EF折叠，点 A恰好落在边 BC的中点 G处，点 D落在点 H处，折痕分别交 AB，CD于E，F两点，设GH，CD交于点 I.若AB=8，求GI的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如 9-③，△ABC 与△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上，∠BAC=∠DAE=90°，DE交AC于 点F.若BD=1，CD=3，请直接写出图中阴影部分的面积． A E D CFB A D F H I E B G C B D C E F A ① ② ③ 图9 九年级数学（HS）　第7页（共8页） 九年级数学（HS）　第8页（共8页） 2023—2024学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C C B A A B D C D C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 2024 13． ﹣2 14． 1（答案不唯一） 15． 4或或 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（每小题5分，共10分） 解：（1）移项，得4x2＝9． （2分） 方程两边都除以4，得x2＝． （4分） 解得x1＝，x2＝． （5分） （2）移项，得x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0． （7分） 整理，得（x﹣2）（x﹣5）＝0． （9分） 解得x1＝2，x2＝5． （10分） 17.（7分）解：（1）两 （2分） （2）原式＝ （4分） ＝ ＝． （7分） 18.（7分）解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BF，AD＝BC． （2分） 所以△ADE∽△FCE． （4分） 所以＝＝． （6分） 所以＝． （7分） 19.（9分）解：（1）建立平面直角坐标系如图1所示； （2分） 表格中从上至下依次填5，1，10，2． （4分） （2）如图1所示，△A′B′C′即为所求作． （7分） （3）△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为原点．（答案不唯一） （9分） 图1 20.（8分）解：（1）（240﹣2x） （2分） （2）根据题意，得（x﹣70）（240﹣2x）＝1200． （4分） 整理，得x2﹣190x+9000＝0． 解得x1＝90，x2＝100． （7分） 答：该礼盒的售价应定为90元/盒或100元/盒． （8分） 21.（9分）解：方案一：易得四边形CDBG是矩形，所以CG＝DB＝16.8 m，CD＝GB＝1.7 m． （2分） 因为∠ECF＝∠GCA，∠CEF＝∠CGA＝90°，所以△CEF∽△CGA． （5分） 所以，即． （7分） 解得AB＝12.9． 答：学校旗杆AB的高度为12.9 m． （9分） 方案二：如图2，过点C作CH∥DB，交EF于点Q，交AB于点H． 易得四边形CDFQ与四边形CDBH都是矩形，所以CQ＝DF＝1.35 m，CH＝DB＝16.8 m，CD＝QF＝HB＝1.7 m． （2分） 因为EF∥AB，所以△CEQ∽△CAH． （5分） 所以，即． （7分） 解得AB＝12.9． 答：学校旗杆AB的高度为12.9 m． （9分） 图2 22.（12分）解：（1）y1＝0，y2＝5，y3＝﹣3 （3分） （2）方程两边平方，得x﹣4＝（6﹣x）2． 整理，得x2﹣13x+40＝0． 解得x1＝5，x2＝8． （5分） 检验：当x＝5时，方程左边＝＝1，方程右边＝1，左边＝右边，所以x＝5是原方程的解； 当x＝8时，方程左边＝＝2，方程右边＝﹣2，左边≠右边，所以x＝8不是原方程的解． 所以原方程的解是x＝5． （7分） （3）方法一：因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝90°． 设AB＝x m，则BC＝m． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2＝AC2，即x2+＝132． （9分） 整理，得x4﹣169x2+3600＝0． 解得x1＝5，x2＝﹣5，x3＝12，x4＝﹣12． （10分） 经检验，它们都是原方程的解． 又因为BC＞AB，且矩形的边长不能为负，所以x2＝﹣5，x3＝12，x4＝﹣12不合题意，舍去． 所以x＝5． （11分） 所以需要栅栏的长为2＝2×＝34（m）． 答：需要34 m的栅栏． （12分） 方法二：因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝90°． 设AB＝x m，则BC＝m． 根据题意，得x＝60． （9分） 整理，得x4﹣169x2+3600＝0． 解得x1＝5，x2＝﹣5，x3＝12，x4＝﹣12． （10分） 经检验，x2＝-5，x4＝﹣12不是原方程的解． 又因为BC＞AB，所以x3＝12不合题意，舍去． 所以x＝5． （11分） 所以需要栅栏的长为2＝2×＝34（m）． 答：需要34 m的栅栏． （12分） 23.（13分）（1）证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°． 由折叠的性质，得FD＝AD，FE＝AE，∠DFE＝∠A＝60°． 因为∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝120°﹣∠BFD，∠CFE＝180°﹣∠DFE﹣∠BFD＝120°﹣∠BFD，所以∠BDF＝∠CFE． （2分） 又因为∠B＝∠C＝60°，所以△BDF∽△CFE． （3分） 所以． 因为DF＝AD，FE＝AE，所以． （4分） （2）解：因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝8． 由折叠的性质，得GE＝AE，∠EGH＝∠A＝90°． 因为∠BEG＝90°﹣∠BGE，∠CGI＝180°﹣∠EGH﹣∠BGE＝90°﹣∠BGE，所以∠BEG＝∠CGI． 又因为∠B＝∠C＝90°，所以△BEG∽△CGI． （7分） 所以． 因为G是BC的中点，所以BG＝CG＝BC＝4． 设AE＝EG＝x，则BE＝8﹣x． 在Rt△BEG中，由勾股定理，得BE2+BG2＝EG2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5． 所以EG＝5，BE＝3． （9分） 因为，所以． 所以GI＝． （10分） （3）． （13分） 【解析】方法一：因为△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，所以AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠C＝∠ADE＝∠E＝45°． 因为∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∠CDF＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，所以∠BAD＝∠CDF． 又因为∠B＝∠C＝45°，所以△ABD∽△DCF．所以． 因为BD＝1，CD＝3，所以BC＝BD+CD＝4． 设AB＝AC＝x． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2＝BC2，即x2+x2＝42，解得x1＝，x2＝（舍去）． 所以AB＝AC＝． 因为，所以．所以CF＝． 所以AF＝AC﹣CF＝﹣＝． 如图3-①，过点D作DP⊥AC于点P，则∠DPC＝90°＝∠BAC． 又因为∠C＝∠C＝45°，所以△DPC∽△BAC．所以，即．所以DP＝． 所以S△ADF＝AF·DP＝××＝． ① ② 图3 方法二：同方法一，证得△ABD∽△DCF，求得AB＝AC＝．所以． 如图3-②，过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ＝BC＝2．所以AQ＝＝2． 所以S△ABD＝BD·AQ＝×1×2＝1． 因为，所以．所以S△DCF＝． 因为S△ADF＝S△ABC﹣S△ABD﹣S△DCF，所以S△ADF＝AB2﹣1﹣＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$