精品解析：四川省射洪中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

射洪中学高2023级高二上期第一学月考试 数学试题 （时间：150分钟满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 3. 下列是古典概型的是（ ） A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C. 在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的定义，逐项分析判断即可得解. 【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型； B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型； C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型； D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是． 故选：C 4. 经过点的直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. 10 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求得直线的方程，从而求得纵截距. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的方程为， 纵截距为. 故选：A 5. 已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解. 【详解】因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2）， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 所以， 故选：C 6. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 7. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】由可得，， 所以. 因为为钝角，所以，且不共线， 所以，即，且. 当时，有且，所以可取1，3，4，5，6； 当时，有，可取3，4，5，6； 当时，有，可取5，6； 当，，时，，此时无解. 综上所述，满足条件的有11种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种， 所以为钝角的概率 故选：D. 8. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且.若G，B，P，D四点共面，则m为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，表示向量，由可求的值. 【详解】因为. 由G，B，P，D四点共面，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：AB 10. 已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ） A. ，互为互斥事件 B. 与互为互斥事件 C. D. 与互为对立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件和对立事件的性质集合题意逐项分析即可； 【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误； 对于B，与不可能同时发生，故B正确； 对于C，为，的交事件，故C错误； 对于D，对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确. 故选：BD. 11. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A. 直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由转化异面直线所成的角，在等边中分析可知选项A正确；利用等体积法进行转化可得选项B错误；由数量积的定义可判断选项C正确；把和沿展开，即可计算的最小值，得到选项D正确. 【详解】A.如图，连接， 由题意得，，， 直线AP与所成的角等于直线AP与所成的角， 在等边中，当点与两点重合时，直线AP与所成的角为， 当点与中点重合时，，此时直线AP与所成的角为， 故直线AP与所成角的取值范围是，选项A正确. B. 如图所示， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴直线上任意一点到平面的距离均相等， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴，选项B错误. C. 设，则， 当时，有最小值，当或0时，有最大值0， ∴，即， ∴， ∵， ∴，选项C正确. D.把和沿展开，如图所示 当三点共线时，有最小值，最小值为， 由题意得，，， ∴，选项D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的空间向量坐标公式求解即可 【详解】根据题意，得，， ， ； 又 点到直线l的距离为． 故答案为： 13. 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________． 【答案】2.8## 【解析】 【分析】根据方差的概念计算 【详解】去掉一个最高分95和一个最低分89后， 所剩数据90，90，93，94，93的平均数为 （90+90+93+94+93）=92； 方差为[（90-92）2+（90-92）2+（93-92）2+（94-92）2+（93-92）2]=2.8 故答案为：2.8 14. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，易证平面，再由等边三角形可知四边形为等腰梯形，高为，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值. 【详解】 如图所示，设， 取中点，连接，，则， 又， ， 四边形为矩形， ， 又为正三角形，为的中点， ， ，且，平面， 平面， 易知，则， 四边形为等腰梯形，高为， 在平面内，过点作的垂线， 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， ， 即异面直线与的夹角余弦值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，，分别的中点． （1）求证：平面； （2）判断与平面是否垂直，并说明理由． 【答案】（1）证明：在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，     由，，分别的中点，得， ，显然平面的一个法向量， 则，于是，有平面，而平面， 所以平面. （2）不垂直，理由如下： 由（1）知，，则有，而， 于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面， 所以与平面不垂直. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量数量积计算判断即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 与平面不垂直，理由略. 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. 【小问2详解】 因为，所以 解得或. 17. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）试估计这名学生成绩的第百分位数； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的求法求得正确答案. （2）根据分层抽样、列举法以及古典概型概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 成绩小于的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这名学生成绩的第百分位数在内， 所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为 【小问2详解】 因为成绩在，，的学生人数所占比例为, 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取人，人，人． 记抽取成绩在的人为，成绩在为，，． 从这人中随机抽取人的所有可能为： ， ，共种， 抽取的人成绩都在的是，共种， 抽取的人成绩都在的概率为· 18. 如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个， “字母棋”的游戏规则为： ①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回； ②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋； ③相同棋子不分胜负， （1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？ （2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？ （3）已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？ 【答案】（1） （2） （3）小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大 【解析】 【分析】（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解； （3）分别分析小玲摸到不同棋子胜小军的概率，从而得解. 【小问1详解】 依题意，一共有10个棋子，其中C棋3个， 所以小玲摸到棋的概率等于； 【小问2详解】 因为C棋胜D棋，D棋4个， 所以小玲在这一轮中胜小军的概率是； 【小问3详解】 若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是； 若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是； 若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是； 若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是； 由此可见，小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而计算可得结论； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角的余弦值； （3）假设棱棱上是否存在一点，直线与平面所成角的正弦值为，设且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 因为是的中点，所以， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又因为底面，， 所以，所以； 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级高二上期第一学月考试 数学试题 （时间：150分钟满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列是古典概型的是（ ） A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C. 在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 4. 经过点的直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. 10 D. 2 5. 已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且.若G，B，P，D四点共面，则m为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 10. 已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ） A. ，互为互斥事件 B. 与互为互斥事件 C. D. 与互为对立事件 11. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A. 直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______. 13. 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________． 14. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，，分别的中点． （1）求证：平面； （2）判断与平面是否垂直，并说明理由． 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 17. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）试估计这名学生成绩的第百分位数； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 18. 如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个， “字母棋”的游戏规则为： ①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回； ②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋； ③相同棋子不分胜负， （1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？ （2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？ （3）已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？ 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $