精品解析：四川省泸州市天立学校2023-2024学年高一上学期第一次跟踪训练数学试题

高2023级高一上期第一次月考数学跟踪训练 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若a>b，则 < B. 若a>b，则ac>bc C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D. 若a>b，则 < 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断，也可举特例说明． 【详解】选项A中，若满足，但仍然有，A错； 选项B中，若，则，B错； 选项C中，则得，，∴，C正确； 选项D中，若，则，甚至中有一个为0时，或无意义，D错． 故选：C． 3. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A 4. 已知集合M={│}， N={│}，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分以不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合，的含义判断即可. 【详解】集合表示所有奇数构成的集合，而集合中的元素为奇数，但不是所有的奇数，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可转化为，根据二次不等式的解法结合图像即可求解 【详解】由得，即， 也即，解得或， 所以原不等式的解集为或， 故选：B 6. 下列结论表述正确的是（ ） A. 若，则恒成立 B. 若，则恒成立 C. 若，，则成立 D. 函数的最小值为3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据基本不等式成立的条件可判断ABC的正误，根据双勾函数的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，若，则恒成立，错； 对于B，若，则恒成立，若，则，错； 对于D，函数，， 令，则且， 因为在上为增函数，故， 对于C，因为， 而，，故成立. 故选：C． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据“一正二定三相等”来检验，另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求. 7. 命题“， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】由， 因为，所以，要想该命题为真命题，只需， 由选项AB推出不出，由不一定能推出， 因此四个选项中只有C符合充分不必要的性质， 故选：C 8. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可转化为，使成立，求的最大值即可. 【详解】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为， 所以， 所以， 故选：C 【点睛】本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举法写出集合，根据元素与集合的关系，子集的概念判断即可． 【详解】因为 所以，，正确，不正确. 故选：ACD 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. 设全集为，若，则 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，举例判断即可；对B，由补集的概念即可判断；对C，分别判断必要性与充分性；对D，分别判断必要性与充分性. 【详解】对A，当时，成立，A正确； 对B，全集为，，如图所示， 由补集的定义可知，成立，故B正确； 对C，“”可得“”成立，“”不能推倒得“”成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，C正确； 对D，当时，不是无理数，不满足充分性， 当时，，不都是无理数，不满足必要性，D错误. 故选：ABC 11. 下列关于基本不等式的说法正确的是（　　） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为2 C. 已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为 D. 若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，利用基本不等式求得最大值为，故该选项正确； 对于选项B，，再利用基本不等式求得函数最小值为3，故该选项错误； 对于选项C，，再利用基本不等式求得最小值为3+2，故该选项正确； 对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，则3x+y＝2x，再利用基本不等式求得最小值是4，故该选项错误． 【详解】解：对于选项A，若0＜x，则，所以，当且仅当3x＝1﹣3x，即x时等号成立，所以最大值为，故该选项正确； 对于选项B，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以y21＝3，当且仅当x+1，即x＝0等号成立，故函数最小值为3，故该选项错误； 对于选项C，因为x+y＝1，x＞0，y＞0，所以3≥23＝23，当且仅当，即x，y＝2等号成立，故最小值为3+2，故该选项正确； 对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，因为x＞0，y＞0，可得0＜x， 则3x+y＝2x2，当且仅当2x，即x＝1等号成立，所以最小值是4，故该选项错误． 故选：AC． 12. 对非空有限数集，定义运算“”：表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为．则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 对于任意有限数集A，B，C，均有 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中条件可得AC正确，通过举反例可得BD错误. 【详解】对于A，若，则A，B中最小的元素相同，则，故A为真命题； 对于B，取集合，，满足，而，故B为假命题； 对于C，若，则A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故C为真命题； 对于D，取集合，，，可知，，，则不成立，故D为假命题． 故选：AC. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，，若，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得，得. 【详解】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以. 故答案为：5. 【点睛】（1）集合的充要条件是，且； （2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性. 14. 已知，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】运用不等式的性质进行求解即可． 【详解】∵，∴， 又∵，∴． 故答案为． 15. 命题“对任意，恒成立”是真命题，则实数的取值集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①时，不合题意；②时利用判别式不大于0、抛物线开口向上列不等式求解即可. 【详解】由命题“对任意恒成立”是真命题， 则①时，不等式可变为，显然不满足题意， ②时，由已知有，解得， 综合①②得，实数的取值集合是，故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想方法，属简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题. 16. 若大于1的正数满足，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化得，再利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因为，所以，故， 又因为，所以， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，，求： （1），； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】先求出，再用交并补概念计算即可. 【小问1详解】 根据题意，解，得到，则 又， 则，. 【小问2详解】 因为，则或． 则． 18. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）当为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出集合后由并集定义可得，再由补集定义即可得解； （2）由题意可得非空集合是集合的真子集，即有，解出即可得. 【小问1详解】 ∵， 当时，， ∴， 所以，或； 【小问2详解】 ∵为非空集合，是的充分不必要条件， 则集合是集合的真子集， ∴ ，解得：， ∴m的取值范围是. 19. 已知关于的不等式的解集为. （1）求的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解集可得该二次不等式对应的一元二次方程的两个根，再利用韦达定理即可解出的值. （2）恒成立等价于，结合（1）的结论再利用均值不等“”的代换即可求出，最后解出不等式即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以为方程的两个根，由韦达定理可得， 解得. 故： 【小问2详解】 因为，时，有， 所以，当且仅当，即时等号成立. 又因为恒成立，所以，即， 解得. 故：k的取值范围为. 20. 集合，． （1）若，，求实数a的值； （2）从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）1 （2）选择条件①或者条件②或者条件③， 【解析】 【分析】（1）由可知、，即可求出答案. （2）三个条件中选择一个都可得，由此即可列出不等式组，即可求出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，得或． 当时，，不满足，故舍去； 当时，，满足题意． 故实数a的值为1． 【小问2详解】 方案一 选择条件①． 由，得， 所以，解得． 故实数a的取值范围是． 方案二 选择条件②． 由，得， 所以，解得． 故实数a的取值范围是． 方案三 选择条件③． 由，得， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 21. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元 【解析】 【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）根据（1）中结论，再结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得，∴， 所以每件产品的销售价格为（元）， ∴2020年的利润； 【小问2详解】 ∵当时，， ∴， 当且仅当即时等号成立． ∴， 即万元时，（万元）， 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 22. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若存在，，使关于的方程有两个不同的正根，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过，，讨论即可求解； （2）结合判别式，韦达定理构造不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，即， 解方程得，. ①当时，即当时，解不等式，得或， 此时的解集为； ②当时，即时，解不等式，得， 此时的解集为； ③当时，即当时，解不等式，得或， 此时的解集为； 综上，当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 【小问2详解】 当时，令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为有两个不同正根， 则， 由②③式可得， 由①知：存在使不等式成立， 故， 即，解得或. 故实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高一上期第一次月考数学跟踪训练 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若a>b，则 < B. 若a>b，则ac>bc C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D. 若a>b，则 < 3. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 4. 已知集合M={│}， N={│}，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分以不必要条件 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 下列结论表述正确的是（ ） A. 若，则恒成立 B. 若，则恒成立 C. 若，，则成立 D. 函数的最小值为3 7. 命题“， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. 设全集为，若，则 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件 11. 下列关于基本不等式的说法正确的是（　　） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为2 C. 已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为 D. 若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3 12. 对非空有限数集，定义运算“”：表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为．则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 对于任意有限数集A，B，C，均有 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，，若，则_______． 14. 已知，，则的取值范围是______． 15. 命题“对任意，恒成立”是真命题，则实数的取值集合是______． 16. 若大于1的正数满足，则的最小值是_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，，求： （1），； （2）． 18. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）当为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 已知关于的不等式的解集为. （1）求的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围. 20. 集合，． （1）若，，求实数a的值； （2）从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 21. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若存在，，使关于的方程有两个不同的正根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $