精品解析： 浙江省宁波市鄞州第二实验学校2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市鄞州第二实验学校八年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知某直角三角形两条直角边的长度分别为6cm和8cm，则其斜边上的中线的长度为（　　）. A. 10cm B. 5cm C. 4.8cm D. 无法确定 3. 若，不等式两边都除以，得（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 在平面直角坐标系中到轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6. 下列函数中，哪个是一次函数（ ） A. B. C. D. 7. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ） A. 与都是变量，且是自变量，是因变量 B. 所挂物体质量为时，弹簧长度为 C. 弹簧不挂重物时的长度为 D. 物体质量每增加，弹簧长度增加 8. 一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△中，，，，，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 11 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则长度可以是 __．（写出一个符合题意的答案即可） 12. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 __． 13. 如图，在中，，，为的中点，交的延长线于，若，则__． 14. 若是正比例函数，则m的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 __． 16. 如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ___________． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 解不等式（组） （1）； （2）． 18. 已知点，试分别根据下列条件，求出的值： （1）点在轴上； （2）点到轴距离为3，且在第三象限． 19. 如图，在小正三角形组成的网格中，每个小正三角形的顶点叫做格点，各顶点均在格点处的多边形称为格点多边形，按下列要求画图． （1）请在图1中画一个格点矩形，面积是格点四边形面积的一半． （2）请在图2中画一个格点菱形，面积是格点四边形面积的一半． 20. 如图，在△中，，是边上的一点，且，若，，求的长． 21. 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． （1）在中，若，，则为“　　倍角三角形”． （2）如图，在中，，，的角平分线相交于点，若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 22. 某水产品市场管理部门规划建造面积为集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． （1）试确定种类型店面的数量范围； （2）通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 23. 如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为． （1）求证：； （2）求的度数，并写出点的坐标； （3）当为何值时，△为等腰三角形？ （4）探索周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省宁波市鄞州第二实验学校八年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，理解并掌握轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 已知某直角三角形两条直角边的长度分别为6cm和8cm，则其斜边上的中线的长度为（　　）. A. 10cm B. 5cm C. 4.8cm D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】由勾股定理得： ， ∴斜边长为10， ∵直角三角形斜边上中线等于斜边的一半， ∴斜边上的中线等于5. 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握并应用直角三角形中线的性质是解题关键． 3. 若，不等式两边都除以，得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质：不等式两边同时除以负数，不等式的符号改变，据此判断即可． 【详解】解：∵，不等式两边都除以， ∴， 故选项C符合题意． 故选：C． 4. 下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质对①②③进行判断，根据全等三角形的判定方法对④进行判断． 【详解】解：全等三角形的周长相等，故①正确；全等三角形的对应角相等，故②正确；全等三角形的面积相等，故③正确；面积相等的两个三角形不一定全等，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果，那么”的形式，有些命题的正确性用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 5. 在平面直角坐标系中到轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：到轴的距离是． 故选：A． 6. 下列函数中，哪个是一次函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义对每个选项进行分析即可． 【详解】解：A．函数是反比例函数，不是一次函数，不符合题意； B．函数是一次函数，符合题意； C．函数是二次函数，不符合题意； D．函数不是一次函数，不符合题意， 故选：B． 7. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ） A. 与都是变量，且是自变量，是因变量 B. 所挂物体质量为时，弹簧长度为 C. 弹簧不挂重物时的长度为 D. 物体质量每增加，弹簧长度增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【详解】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B．所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C．弹簧不挂重物时的长度为，本选项错误，符合题意； D．物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 8. 一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题． 【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，在△中，，，，，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，交于点，得出，借助于三角形的外角定理及得出，进而得出，据此可求出的长． 【详解】解：作的垂直平分线，交于点，连接， 则， ， ． 又， ， △是等腰三角形． 又，，， ，， ， ． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应先判断出第2023个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解． 【详解】把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，， 第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点， 因而第2023个点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的长度可以是 __．（写出一个符合题意的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据三角形三边关系可以求得的取值范围，然后写出一个符合要求的的值即可． 【详解】解：线段，，首尾顺次相接组成三角形，，， ， 即， ， 的长度可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，为的中点，交的延长线于，若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确的理解题意是解题的关键． 根据勾股定理可求出的长，则，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在中，，，为的中点， ， 在中，，， ∴， ， 在中，， 在中，， 故答案为：． 14. 若是正比例函数，则m的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据正比例定义得到，计算可得． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数是正比例函数． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 设直线的解析式为，代入点，，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由可设直线的解析式为，代入点得： ，即， 直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ∴根据中点坐标公式可得：点E的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考常考题型． 16. 如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P，得到四边形、是矩形，结合勾股定理和等腰三角形性质可分别表示出线段、，进而推出、和的长，再根据建立等式求解，即可解题． 【详解】解：如图，分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P， 四边形、是矩形， ，， ∵，， ，， 又∵点G和点F分别是线段和的中点， ，， ，且， ∴，， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴，， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得，即， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 解不等式（组） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组的方法． （1）根据解一元一次不等式的方法解答即可； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去分母，得：， 移项，合并同类项的，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组解集是． 18. 已知点，试分别根据下列条件，求出的值： （1）点在轴上； （2）点到轴的距离为3，且在第三象限． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标性质，掌握轴上的点的坐标特点以及第三象限的点的坐标特点是解题的关键． （1）利用轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出的值，即可得出答案； （2）利用第三象限的点的横坐标和纵坐标均为负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵点到轴的距离为3， ∴， 又∵点第三象限， ∴， 解得． 19. 如图，在小正三角形组成的网格中，每个小正三角形的顶点叫做格点，各顶点均在格点处的多边形称为格点多边形，按下列要求画图． （1）请在图1中画一个格点矩形，面积是格点四边形面积的一半． （2）请在图2中画一个格点菱形，面积是格点四边形面积的一半． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形面积有两种算法，一种是对角线乘积的一半，一个是平行四边形面积公式底乘高．取AD，DC，CB，BA中点E、F、G、H即可； （2）取AC与BD的交点为O，取AO、OC的中点E、F，连接BE、DE、DF、BF，则四边形BEDF为菱形，且面积为菱形ABCD面积的一半即可． 【详解】（1）∵菱形面积有两种算法，一种是对角线乘积的一半，一个是平行四边形面积公式底乘高，图1中画一个格点矩形，面积是格点四边形面积的一半． 取AC的一半，与BD的一半，即利用三角形中位线画图， 取AD，DC，CB，BA中点E、F、G、H， ∵EF∥AC，且EF=， HG∥AC，且HG=， ∴EF∥HG，且EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD，EH∥BD， ∴FE⊥EH， ∴四边形EFGH为矩形， 取BC、AD中点M、N， 因为三角形ABC与三角形ADC均为等边三角形， ∵AD=BC，AN= ， CM=，AN∥MC， ∴CM=AN，AN∥MC， ∴四边形ANCM为平行四边形， ∵AM⊥BC，CN⊥AD， ∴四边形ANCM为矩形． 参考答案有． （2）取AC与BD的交点为O，取AO、OC的中点E、F，连接BE、DE、DF、BF，则四边形BEDF为菱形，且面积为菱形ABCD面积的一半， ∵OE=OF，OB=OD， ∴四边形BEDF为平行四边形， 又∵EF⊥BD， 所以四边形BEDF为菱形． 参考答案有． 【点睛】本题考查网格作图题，掌握网格的特征，与所作图形的特征是解题关键． 20. 如图，在△中，，是边上的一点，且，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 过点作于点，依题意得△为等腰直角三角形，则，设，则，，，进而得，在中，由勾股定理得，整理得，即，据此可求出，进而可得的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ， △为等腰直角三角形， ， ， 设，则，， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 整理得：， 即， 或， 由，解得：， 由，解得：，不合题意，舍去， ． 21. 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． （1）在中，若，，则为“　　倍角三角形”． （2）如图，在中，，，的角平分线相交于点，若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】（1）5 （2）的度数为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据“倍角三角形”的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，“倍角三角形”的定义分情况讨论计算，得到答案． 【小问1详解】 解：中，，， 则， 最大，最小，且， “5倍角三角形”， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：， ， 、的角平分线相交于点， ，， ， ， 为“4倍角三角形”， 或， 当时，， 当时，，则， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． 22. 某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． （1）试确定种类型的店面的数量范围； （2）通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 【答案】（1）种类型店面的数量为，且为整数 （2）应建造种类型的店面40间，最高租金24960 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．注意本题的不等关系为：建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的；并会根据函数的单调性求最值问题． （1）关键描述语为：全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．关系式为：种类型店面面积种类型店面面积；种类型店面面积种类型店面面积，进而列出不等式组求解即可； （2）店面的月租费种类型店面间数种类型店面间数，然后按取值范围来求解． 【小问1详解】 解：设种类型店面的数量为间，则种类型店面的数量为间， 根据题意得， 解之得， 种类型店面的数量为，且为整数； 【小问2详解】 设应建造种类型的店面间，则店面的月租费为 ， 又， ∴时，W最大为． 为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面40间，最高租金24960． 23. 如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为． （1）求证：； （2）求的度数，并写出点的坐标； （3）当为何值时，△为等腰三角形？ （4）探索的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）详见解析 （2），点坐标为 （3）当为0秒或4秒或秒时，为等腰三角形 （4）不变，定值为8 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后利用可得； （2）由（2）得到，从而可以求出的度数和点的坐标； （3）由于，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到．由于△底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的值； （4）由（3）已证的结论很容易得到周长等于，从而解决问题． 【小问1详解】 证明：如图1， 由题可得：， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ，， ． 在和△中， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ，． ，， ． ， ． 点坐标为； 【小问3详解】 解：①若，则， ②若， 则． ． ． 在△和△中， ， ． ． 点与点重合． 点与点重合． 点， ． 此时． ③若， 在和中， ， ∴． ． ， ． ． ， ． 延长到点，使得，连接，如图2所示． 在和中， ， ． ，． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ． ． ． ． 解得：， 综上所述，当为0秒或4秒或秒时，△为等腰三角形． 【小问4详解】 解：由（3）知， ． 周长是定值，该定值为8． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$