精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

内江六中2024—2025学年度上学期高2027届第一次月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 6. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分． 9. 设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. 不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的定义域为_______ 13. 已知不等式的解集为，则的解集为______． 14. 已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记全集，集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. （1）已知：，．若，求的最大值； （2）已知，，且，若恒成立，求m的最大值． 17. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）. （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 18. 已知函数，. （1）若，当时，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）当时，已知，，若，求的取值范围. 19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2024—2025学年度上学期高2027届第一次月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解． 【详解】由题意， 阴影部分为. 故选：D． 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断. 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：D. 3. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 4. 集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由题意知，是的真子集，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 5. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：C. 6. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 7. 若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值． 【详解】∵正实数x，y满足，， ∴，当且仅当取等， 设 ，∴， ∴，即，，∴， 故的最小值为2. 故选：A． 8. 对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，且集合B至少有2个元素，分类讨论集合B的元素个数，结合题意分析求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，由题意可知：集合B至少有2个元素， 若集合B有2个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有3个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有4个元素，则集合B可以为，共1个； 若集合B有5个元素，则集合B可以为，共1个； 综上所述：集合的“稳定子集”有个. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分． 9. 设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用韦恩图结合集合运算可判断ABD，举反例可判断C. 【详解】对于A，由韦恩图可知，当时，，故A错误； 对于B，由韦恩图可知，等价于，故B正确； 对于C，当时，取，，， 此时，，满足条件，但不成立，故C错误； 对于D，由韦恩图可知，等价于，故D正确. 故选：BD. 10. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. 不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，考虑时，，满足要求，可知A不正确； 对于B选项，分和两种情况讨论可得充要条件为，可判断B正确； 对于C选项，由可求的定义域，即可判断C不正确； 对于D选项，根据不等式的解集得到且和3为方程的两个根，由韦达定理得到之间的关系，代入化简可判断D不正确. 【详解】对于A选项：，又， 当时，，满足； 当时，， 当时，，满足，当时，，满足. 综上，m组成集合为，故A不正确； 对于B选项：当时，不等式恒成立，即对一切实数x恒成立； 当时，由对一切实数x恒成立，可得，解得. 综上所述：不等式对一切实数x恒成立的充要条件是， 所以不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是，故B正确； 对于C选项，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，故C不正确； 对于D选项，不等式解集为， 则且和3为方程的两个根，故，， 则，，，故D不正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则 ，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为， 即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 故， 解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， 解得：， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的定义域为_______ 【答案】且 【解析】 【分析】利用函数有意义列不等式求解. 【详解】由题意得 ， 则函数定义域为 且. 故答案为且. 13. 已知不等式的解集为，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得是方程的两根，且，利用韦达定理可得，所以等价于，解出不等式的解集即可. 【详解】由题意得是方程的两根，且， 则，可得， 所以，即， 又，所以，即， 即，解得. 所以的解集为. 故答案为：. 14. 已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______． 【答案】31 【解析】 【分析】由题意，先得到，再由可得或3，分别分析和的解的个数，得到判别式的条件，从而解出的取值，最后得到的非空子集个数. 【详解】对于，有， 所以集合中有两个元素，即， 因为，所以或3， 对于，易知必是方程中的唯一解，且不是方程的根； 当时，，所以有唯一解，且无解， 则，解得； 当时，若有两个相等的实数解，由上述分析可知， 无解，不满足题意； 若有两个不相等的实数解，此时，则有两个相等的实数解或有两个不相等的实数解且一解为， 当有两个相等的实数解时，则， 解得或1； 当有两个不相等的实数解且一解为时， 则，解得，符合题意； 综上，实数的所有可能取值为：，则. 所以的非空子集的个数. 故答案为：31. 【点睛】本题以这一新定义为背景，考查对集合中的元素个数分析的问题，主要考查分类讨论的数学思想. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记全集，集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用并集的结果，列式求解即可. （2）利用交集的结果，结合包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 全集，集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 由，得， 当，即时，，满足，因此； 当，即时，，而，则或， 解得或，因此或，从而或， 所以的取值范围为或． 16. （1）已知：，．若，求的最大值； （2）已知，，且，若恒成立，求m的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）依题意利用基本不等式可得，令，再解关于的一元二次不等式，即可求出的最大值，即可得解； （2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即，解得， 又，所以，即，从而， 由及，，解得，， 故当，时，的最大值为，所以的最大值为． （2）因为（）恒成立，且， 所以恒成立， 所以恒成立， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以，所以的最大值为. 17. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）. （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】（1）（），第3年开始全年盈利 （2）按方案②处理较合理，理由如下： 方案①：（当且仅当时取“＝”）, 所以到2029年，年平均盈利达到最大值，该设备可获利万元. 方案②：，所以当时，， 故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获利万元. 所以按方案②可获利更多，故按方案②处理较合理. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得与之间的函数关系式，解一元二次不等式即可求解； （2）分别求出方案①②下该设备的获利额最大值，比较大小即可求解. 【小问1详解】 根据题意：（）， 由解得：，， 所以，所以该机床从第3年开始全年盈利. 【小问2详解】 略 18. 已知函数，. （1）若，当时，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）当时，已知，，若，求的取值范围. 【答案】（1）7 （2） 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值； （2）因式分解，得到，分，和三种情况，得到不等式的解集； （3）化为，根据，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7. 【小问2详解】 由题知， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得. 综上， 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. 【小问3详解】 不等式可化为， 因为，所以不等式在时恒成立， 又，结合二次函数图象知，，解得. 故的取值范围是. 19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合. 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性. （2） （3），，，或. 【解析】 【分析】（1）根据“包容”性的定义判断集合的“包容”性. （2）根据集合的“包容”性求的值. （3）根据集合具有“包容”性，且，再根据，可分析集合中的元素. 【小问1详解】 集合中的， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性. 【小问2详解】 若集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知无解， 故. 综上，. 【小问3详解】 因为集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数， 不妨设， 其中， 根据题意， 且， 所以，或. ①当时，， 并且由，得， 由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个， 分别是，或. 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证.此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $