专题08 解题技巧专题：整式的运算及化简求值（6大考点）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版2024）

专题08 解题技巧专题：整式的运算及化简求值 目录 【考点一 整式的加减运算】 1 【考点二 整式运算之先化简再求值】 4 【考点三 整式运算中无关型与不含型的问题】 8 【考点四 整式运算中与数轴结合的问题】 14 【考点五 整式运算中整体代入求值问题】 18 【考点六 整式运算中新定义型问题】 25 【典型例题】 【考点一 整式的加减运算】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）化简 (1) (2) 4．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）化简： (1) (2) 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 6．（22-23七年级上·宁夏中卫·期末）化简 (1) (2) 【考点二 整式运算之先化简再求值】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）化简并求值： (1)，其中． (2)，其中． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值： (1)其中； (2)，其中． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 6．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知两个整式A和B，，． (1)请化简； (2)若，，则的值为多少？ 【考点三 整式运算中无关型与不含型的问题】 1．（23-24七年级上·天津·期中）已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 2．（23-24七年级上·河南周口·期末）已知关于x的多项式A，B，其中，（m为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含项，求m的值． 3．（23-24七年级上·山西长治·期末）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n均为有理数）． (1)化简． (2)若的结果不含x项和项，求m，n的值． 4．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)已知式子中不存在项，求a的值． 5．（23-24七年级上·湖南湘潭·期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小涵观察后提出：“已知是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请说明理由． （2）已知整式，整式与整式之差是． ①求整式； ②若是常数，且的值与无关，求的值 6．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 【考点四 整式运算中与数轴结合的问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且； (1)求：与的值 (2)化简：． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 3．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)的值为________． (2)化简 5．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“＞”或“＜”填空： 0，____0， 0； (2)化简：． 6．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． (1)用“”“ ”或“”填空：b______0，______0，______0，______0； (2)若，则______，______； (3)化简：（写出过程，用字母表示） 【考点五 整式运算中整体代入求值问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一道题“如果式子的值为，那么式子的值是多少？”爱动脑筋的佳佳同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，则原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照佳佳的解题方法，完成下面问题： (1)已知 ，则___________； (2)已知 ，求的值； (3)已知 ，求的值． 2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并___________； (2)运用“整体思想”合并； (3)，则___________． 4．（24-25七年级上·全国·期中）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） (3)【拓展应用】 在完成上面的问题有基础上，解答下面的问题： 已知，求代数式的值． 5．（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知．求的值． 6．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【考点六 整式运算中新定义型问题】 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）定义：若，则称与是关于4的幸运数． (1)3与______是关于4的幸运数；代数式______与是关于4的幸运数； (2)若，，判断与是否是关于4的幸运数，说明理由； (3)若与是关于4的幸运数，且，求的值． 2．（23-24七年级上·江西九江·期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的和； (3)若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的差的结果为，求的值． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：，A经过处理器得到． 【应用】 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，求关于x的方程的解； 【延伸】 （3）已知，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，求关于x的方程的解． 4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 5．（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解题技巧专题：整式的运算及化简求值 目录 【考点一 整式的加减运算】 1 【考点二 整式运算之先化简再求值】 4 【考点三 整式运算中无关型与不含型的问题】 8 【考点四 整式运算中与数轴结合的问题】 14 【考点五 整式运算中整体代入求值问题】 18 【考点六 整式运算中新定义型问题】 25 【典型例题】 【考点一 整式的加减运算】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，掌握去括号法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可解答； （2）按照整式的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再根据整式的加减运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并即可得到结果； （2）原式去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 4．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】去括号、整式的加减运算、合并同类项 【分析】本题主要考查整式的加减，去括号和合并同类项等知识点，解答的关键是掌握相应的运算法则． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、去括号、合并同类项 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（22-23七年级上·宁夏中卫·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． 【考点二 整式运算之先化简再求值】 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，先将括号去掉，再合并同类项，最后将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）化简并求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)，1 (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值． （1）先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可． （2）先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，原式． （2） ， 当时，原式． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，再把给定字母的值代入计算，是解决问题的关键． （1）原式去括号后合并同类项得到最简结果，再将x的值代入计算即可求出值． （2）原式先去小括号合并同类项，接着去中括号合并同类项，再去大括号合并同类项，得到最简结果，最后将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值： (1)其中； (2)，其中． 【答案】(1)，10； (2)，4 【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性 【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值； （2）原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 本题考查了整式的加减化简求值以及非负数的性质，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： ∵ ∴， ∴， ∴原式． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 【答案】(1)； (2)54 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值： （1）根据整式的加减运算法则，进行计算即可； （2）把，，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，时，上式， 的值为54． 6．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知两个整式A和B，，． (1)请化简； (2)若，，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)17 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的加减运算 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值；熟记去括号，合并同类项的法则是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可得到答案； （2）把，代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）∵，， ∴． 【考点三 整式运算中无关型与不含型的问题】 1．（23-24七年级上·天津·期中）已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】此题主要考查整式的加减，属于基础的代数计算题，难度不大．解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则即可求解； （2）把化为，根据值与x的取值无关得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·河南周口·期末）已知关于x的多项式A，B，其中，（m为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含项，求m的值． 【答案】(1)； (2)2． 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】（1）本题考查整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则，即可解题． （2）本题考查整式不含某项，根据不含某项，即该项系数为零，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题可知，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， 的结果不含项， ， ． 3．（23-24七年级上·山西长治·期末）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n均为有理数）． (1)化简． (2)若的结果不含x项和项，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，熟练掌握运算法则并正确求解即可． （1）根据整式的减法运算法则求解即可； （2）令x项和项的系数为零列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1） ． （2）解：由（1）可知． 的结果不含x项和项， ，， 解得，． 4．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)已知式子中不存在项，求a的值． 【答案】(1)18 (2) 【知识点】绝对值非负性、整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值及无关类题目， （1）先将进行化简，再根据绝对值及偶次方的非负性求出x、y的值，代入求解即可； （2）将原式化简后根据题意得出关于a的方程，求解即可； 熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ， ∵，， ∴， ∴， ∴原式； （2）原式 ， ∵原式的值中不存在xy项， ∴， ∴． 5．（23-24七年级上·湖南湘潭·期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小涵观察后提出：“已知是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请说明理由． （2）已知整式，整式与整式之差是． ①求整式； ②若是常数，且的值与无关，求的值 【答案】（1）小涵的说法对，理由见解析；（2）①；② 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算及求代数式的值，整式加减运算中与字母无关的问题；正确运算是关键． （1）去括号、合并同类项即可； （2）①利用整式A减差，即可求得整式B； ②计算出，根据题意，含x的项系数为0，即可求得k的值． 【详解】解：（1）小涵的说法对，理由如下： ； 此整式的值与的取值无关，所以小涵的说法对； （2）① ； ② ， ⸪的值与无关， ⸫，解得． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1）原式的化简结果与b的取值无关，结果为29；（2）①；②1 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先把所求式子去括号，然后合并同类项化简得到，据此可得化简的结果与b的取值无关，在代入a的值计算即可； （2）①先根式整式的加减计算法则求出的结果，再代值计算即可； ②先根式整式的加减计算法则求出的结果，再根据的值与y的取值无关，即化简结果含y的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； ∴无论b取何值，的化简结果都与b的值结果无关； （2）①∵ ∴ ， 当时，原式； ②∵， ∴ ， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 【考点四 整式运算中与数轴结合的问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且； (1)求：与的值 (2)化简：． 【答案】(1)0， (2) 【知识点】有理数的除法运算、化简绝对值、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由题意得到与互为相反数，利用相反数性质计算即可得到结果； （2）由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）由数轴上点的位置得：与互为相反数， 则，； （2）由数轴得：， ，，， 则原式． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值 【分析】本题考查了利用数轴比较式子的正负，有理数的加法和减法法则，化简绝对值，以及整式的加减，数形结合是解答本题的关键． （1）利用a、b、c在数轴上的位置和加法法则解答即可； （2）先判断绝对值里面代数式的正负，再化简绝对值即可． 【详解】（1）由数轴可得：，且最大 ∴ （2）由（1）得： ∴ 3．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 【答案】(1)<，<，< (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、有理数加法运算、整式的加减运算 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． （1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）由数轴得：， ∴， ∴原式 ． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示： (1)的值为________． (2)化简 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号： （1）根据题意可得，则，据此化简绝对值即可； （2）先推出，据此化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴ ； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴ ． 5．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“＞”或“＜”填空： 0，____0， 0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算、化简绝对值 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算： （1）由数轴可得，由此可解； （2）根据（1）中结论去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， 因此，，， 故答案为： ；；． （2）解：由（1）得，，，， ． 6．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． (1)用“”“ ”或“”填空：b______0，______0，______0，______0； (2)若，则______，______； (3)化简：（写出过程，用字母表示） 【答案】(1)，，， (2)， (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、绝对值非负性、整式的加减运算 【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，从而可得判断出的符号，再根据表示数的点、数的点与原点的距离相等可得，从而可得； （2）根据绝对值的非负性求解即可得； （3）根据的符号化简绝对值，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，， ∵表示数的点、数的点与原点的距离相等， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，，． （2）解：∵，， ∴， ∴，， 故答案为：，． （3）解：由（1）可知，，，， 则 ． 【考点五 整式运算中整体代入求值问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一道题“如果式子的值为，那么式子的值是多少？”爱动脑筋的佳佳同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，则原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照佳佳的解题方法，完成下面问题： (1)已知 ，则___________； (2)已知 ，求的值； (3)已知 ，求的值． 【答案】(1)3； (2)； (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，把化为，整体代入计算； （3）根据，运用得结果． 本题考查了整式的加减-化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时， ； 故答案为：3； （2）解：当时， ； （3）解：∵， ， 得 ． 2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并___________； (2)运用“整体思想”合并； (3)，则___________． 【答案】(1)2； (2)； (3)2 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值、合并同类项，掌握整体代入法求解代数式的值是解题关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可； （3）把写成即可得出结果． 【详解】（1）解： ， 故答案为：2； （2）解： ； （3）解：∵， ∴． 故答案为：2． 4．（24-25七年级上·全国·期中）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） (3)【拓展应用】 在完成上面的问题有基础上，解答下面的问题： 已知，求代数式的值． 【答案】(1)17 (2) (3)2024 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式加减化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． （1）将原式化简为，再整体代入即可求解； （2）当时，代数式整理得，当时，原式整理得，再整体代入即可求解； （3）由已知可得到和，再将原式变形，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）解：∵， ∴， ∴即， ∴ ． 5．（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】整式的加减中的化简求值、合并同类项、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． （1）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，把整体代入求解即可； （3）根据，把所给的条件式整体代入求解即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 6．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）【阅读理解】 根据合并同类项法则，得；类似地，如果把看成一个整体，那么；这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项，求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用合并同类项计算即可． （2）变形，代入计算即可． （3）把已知左右分别相加，计算出，化简被求代数式，计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）∵， ∴． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴． 【考点六 整式运算中新定义型问题】 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）定义：若，则称与是关于4的幸运数． (1)3与______是关于4的幸运数；代数式______与是关于4的幸运数； (2)若，，判断与是否是关于4的幸运数，说明理由； (3)若与是关于4的幸运数，且，求的值． 【答案】(1)1； (2)a与b是关于4的幸运数，理由见解析 (3) 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，理解幸运数的定义是解题的关键． （1）根据幸运数的定义，即可求解； （2）计算出的值，即可求解； （3）根据幸运数的定义，可得，再计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3与1是关于4的幸运数； ∵， ∴与是关于4的幸运数； 故答案为：1；； （2）解：a与b是关于4的幸运数，理由如下： ， ∴a与b是关于4的幸运数； （3）解：∵与是关于4的幸运数，且， ， ∴， ． 2．（23-24七年级上·江西九江·期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的和； (3)若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的差的结果为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、整式的加减运算 【分析】（1）由特征数对的定义可得，，，即可求解； （2）由特征数对的定义分别得到对应的二次多项式，即可求解； （3）由特征数对的定义分别得到对应的二次多项式，对照差的结果，可求出、的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ，，， 特征系数对为； 故答案：． （2）解：有序数对的特征多项式为： ， 有序实数对的特征多项式为： ； ． （3）解：由题意得 有序实数对的特征多项式为： ， 有序实数对的特征多项式为： ， ， 两个特征多项式差的结果为， ， 解得：， ； 故的值为． 【点睛】本题考查了新定义，整式加减运算，求代数式的值，理解新定义，能根据特征数对写出对应的二次多项式是解题的关键． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：，A经过处理器得到． 【应用】 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，求关于x的方程的解； 【延伸】 （3）已知，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，求关于x的方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减、解一元一次不方程等知识点，读懂题意、理解“整式处理器”的处理方法是解题关键． （1）根据“整式处理器”的处理方法计算即可解答； （2）先将A按x降幂排列，利用“整式处理器”的处理方法得出B，然后得到方程求解即可； （3）由题意易得，再结合可得，即；再说明，即可确定该方程的解为0． 【详解】解：（1）由题意得，． 故答案为：． （2）∵且关于x的二次多项式A经过处理器得到， ∴，解得：． （3）∵，且N是M经过处理器得到的一次多项式， ∴， ∵关于x的方程， ∴， ∴， ∵是二次多项式， ∴，即， ∴的解为0． 4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【答案】(1)1 (2) (3)4 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）由题意得，据此即可求解； （3）计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 5．（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)；（答案不唯一） (3)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减中的化简求值 【分析】（）根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）令，再根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）由“特异数对”的定义可得，再化简代数式，把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减化简求值，理解“特异数对”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：令， ∴， ∴， ∴是一对“特异数对”； （3）解：∵是成立的“特异数对”， ∴， ∴原式 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