精品解析：甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一上学期第一学段考试（10月）数学试题

2024-2025学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考 数学试卷 （10月份）✥ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 分式不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题的否定为真命题的是（　　） A. p:所有四边形的内角和都是 B. q:, C. 是无理数，是无理数 D. s:对所有实数a，都有 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数______ 13. 东莞市东华高级中学某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要乘火车到外地学习．问需要预订火车票______张． 14. 若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合.求. 16. 已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}. （1）若A⊆B，求实数m的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围. 17. 若正数x，y满足，解答下列各题： （1）求的最小值； （2）求的最小值． 18. 已知函数. （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 19. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考 数学试卷 （10月份）✥ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算法则求. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解. 【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 4. 分式不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解. 【详解】由分式不等式可转化为且，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 5. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】，或， 又即，等价于，解得或， 可得或或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 8. 关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题的否定为真命题的是（　　） A. p:所有四边形的内角和都是 B. q:, C. 是无理数，是无理数 D. s:对所有实数a，都有 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，判断出为真命题；B选项，写出，得到其为真命题；C选项，举出反例得到为真命题；D选项，举出反例得到为假命题. 【详解】A选项，所有四边形的内角和都是，故为真命题，则为否命题，A错误； B选项，，，由于，故为真命题，B正确； C选项，当时，也是无理数，故为真命题，则为假命题，C错误； D选项，当时，，故为假命题，故为真命题，D正确. 故选：BD 10. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A；特殊值法判断B，作差法判断C、D. 【详解】由，则，A错； 当时，B错； ，即，C对； ，即，D对. 故选：CD 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解集判断对应二次函数的开口判断A，再根据是方程的根，利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式，再根据1不在解集得不等式判断D. 【详解】关于x的不等式的解集为或， 所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确； 因为是方程的根，所以，解得， 所以也即，解得，故选项B正确； 不等式等价于，也即， 解得或，故选项C错误； 因为或，所以，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，舍去； 当时，或（舍去），此时，满足题意； 综上，. 故答案为：. 13. 东莞市东华高级中学某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要乘火车到外地学习．问需要预订火车票______张． 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，根据已知条件填写数据，由此确定需要预订的火车票数. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，需要预定张. 故答案为： 14. 若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围. 【详解】解：将原不等式参数分离可得，设， 已知存在，有成立，则， 令，则，， 由对勾函数知在 上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合.求. 【答案】，或， 【解析】 【分析】根据交集，并集，补集的定义求解即可 . 【详解】因为全集，集合， 或， ， 或， . 16. 已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}. （1）若A⊆B，求实数m的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围；（2）分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 若A⊆B，则，所以，解得， 所以实数m的取值范围是； 【小问2详解】 当时，，解得：； 当时，需要满足或，解得：或，即； 综上：实数m的取值范围是. 17. 若正数x，y满足，解答下列各题： （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1）36 （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知利用基本不等式即可直接求解. （2）利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 题意可得，，且， 则由基本不等式可得，当且仅当且时取等号， 即当且仅当时取等号，此时， 则，所以， 故的最小值为36. 【小问2详解】 由题意可得，，且， 所以， 则， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 18. 已知函数. （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）对恒成立转化为对恒成立，讨论，并结合二次函数的图象与性质可得解； （2）对a分情况讨论，再解不等式可得答案. 【小问1详解】 由题意得对恒成立，即对恒成立， 若，则不等式恒成立，所以满足； 若，则解得， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，不等式可化为，不等式的解为， 当时，不等式可化为， 所以， 所以， ①当即时，不等式解为或， ②当即时，不等式解为， ③当即时，不等式解为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 19. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】存在，或， 【解析】 【分析】 由题意可得的在，上的最小值大于或等于的最大值．分类讨论的符号，分别求出的最大值和的在，上的最小值，从而求出的范围． 【详解】解：关于的方程的两根为，，△， ，． ，，不等式都成立， 的在，上的最小值，大于或等于的最大值． 的最大值为， 的在，上的最小值，大于或等于4． （1）当时，对于一次函数，当时， 最小值为， 故有，求得． （2）当时，对于一次函数， 当时，的最小值为， 故有，求得． 综上可得，存在或，满足题中条件． 【点评】本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $