第二十七章 相似 单元学能测评(练习册)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

练习册参考答案与提示 □# (2)如图,延长BP交CD于点N. V2)NE,.'NE//CD. ·△BEP△NCP,△FEP△DCP ·-昂-智 '.CH-(2+1EH,故②正确; C_NV. 易OND. *EF-AF·BE "S'S =NH:BH, NEH= DCH= 第二十七章单元学能测评 ECB. $ABH- BEN- $CBH-45$ BEH- $BEN+ 1.C 2.C 3.D NEH.EHB=CBH+ ECB. 4.C[提示:△CDE△ABE,△ACD△AEF,△ABD .. BEH-/EHB,..BE-BH △FED.] .BE-DN. ..DN-BH. .O ·EN//DC...EH:FC-NH:DN. ### .EH:FC-NH:BH. .OE-oB,$=- '.S.·Sm=EH:EC,故③正确.] 1$A0o, 11. D=乙B(其他答案也可) 12.16或9. [提示:分△ADECo△ACB和△ADEC 6.C 7.D △ABC两种情况.] 8.B [提示:未知边可能是斜边,也可能是直角边,按情 13.3. [提示:相似三角形对应高的比等于相似比,设三 况分别讨论。 角形的高为x cm,则12-1,解得r-3.] 9.C [提示:如图,在PQ上取一点 E.使得PE一QC.连接OE,则 △OPE-△RQC.则Sa-S+B PEQC # .FG-1.2. S =4..B= AOR,OEP=C= ARO$ ..MG-5.2+1.2-6.4. .BOEOAR .1 A-.A-.又:OR/BC .6.40.8 .NM-8.] .O 15.5. [提示:AC=1+3=10.A'C-52. .△AOR△ABC, $-()·S-9. .S(4)- ":△ABCo△A'B'C'. S $.Sro-Su-S-S-S=9-1-3-1-4. :.正方形OPOR的边长为2] 10.B [提示:如图,.CE平分BCD,若BH-DH,则 16.9. [提示:连接CD.则△ACE△ADC,..AC= BC-CD,与事实矛盾,故①错误 AF·AD. ..AD-9.] 17.(1)可证;AB/CE 过点E作EF)CD交CD的延长线于点F,则四边形 (2)由(1)△ABD△CED知CE-CD-1. ENDF是矩形,'.EF=DN=BE.在Rt△BEN中. '.CD=BD-BN+ND-(1+ .CF-AB-3. 19 难册 九年级数学 下册 2J BE AB+AE 一~+()#- ·BE-3/7. 从而有EFBE- 18.(1)图略,点B的坐标为(1.0) A-AP-FB_A], (2)图略,点C。的坐标为(3,3). 19.(1)如图,在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4 乙B- C-90”. -5-1.--. AB AH' (2)点H是线段AB的黄金分割点. 21.(1)连接OC. .AMMN..AMN-90”. .PC是半圆O的切线,.'./OCD-90。 '.CMN+AMB-90”. 又:BDPC..BDP-9o*. 在Rt△ABM中.MAB+AMB-90* . CMN-/MAB. '.OC//BD. ..CBD/OCB '△ABMoMCN .OB=OC...OCB-PBC ./PBC-CBD (2)''ABMo△MCN. (2)连接AC,.AB是半园O的直径 .CN--+4r .ACB-90 y_$)-(-+4)×4 又.: BDC-90,.ACB- BDC 4 又.:/PBC-CBD. 12-8 ..△ABCo△CBD. 1(x-2)+10. .'.BC*-AB·BD ·当x-2时,v取得最大值,最大值为10. 22.(1):AD1BC..DAC+C-90 故当点M运动到BC的中点时,梯形ABCN的面积 “'BAC-90.BAF-C. 最大,最大值为10 “.OEOB..BOA+COE-90 (3)B- AMN-90. : BOA十ABF-90{. ABF=/COE .△ABFo△COE. 由(1)知AM..MC. (2)如图,作OG AC,交AD的延长线于点G '.当点M运动到BC的中点时,△ABMo△AMN,此时 _-2. # 20.(1)如图,在Rt△BAE中. *'AC-2AB.O是AC边的中点 ..AB-OC-OA. ) 由(1)有△ABF△COE. 20 练习册参考答案与提示 '△ABF△COE. ..BF-OE APeos ABC-(10-50)·8-8-41. 10 : BAD+ DAC=90{,DAB+ ABD=90 '.DAC- ABD 又: BAC- AOG-90$,AB-OA$$ ..△ABC△OAG..$OG-AC-2AB .OF06-0fF-2. 又:△ABFC△GOF. 阁2 又:BQ-8-4t. PD=BQ且PD//BQ. 23.(1)由题意知BP=5z.CQ-4t. '.四边形PDOB是平行四边形, *$B-8-4,AB-6+8-10 *M是PO和BD的中点. 过点M作EF//AC交BC,BA干E,F两点 8 同理,F为BA的中点. ..PQ的中点M在△ABC的中位线EF上 8-解得_13 24.(1).'△ABC△ADE. 10 (2)如图1,过点P作PD BC于D ..△ABDo△ACE. (2)连接CE,如图1,设BD-1,则AD-/3BD-/3t 易得△ADEo△ABC, AA C 图1 又BAC-/DAE, 依题意得BP-5t,CQ-47. './BAD-/CAE. 则PD-PBsinB-3t, 图1 '.△ACEo△ABD. *.BD-47.CD-8-4t. ## .'AO I CP.PD I BC *. CAO+ACP-90*,DPC+DCP-90* .CE-D-.# 又·PDBC. ACB-90...PD/AC. . DPC-ACP,..CAQ=DCP. '.tan CAQ-tan DCP D.---. .ADE=ABC.ABC-ACE (3)如图2,过点P作PD 1AC于D,连接DQ “.ACE-ADE-30 BD,BD交PQ于点M. 则 PD=APcos APD= 又?AFD-EFC,'.△ADFCo△ECF. 21 难面册 九年级数学 下册 2 .DF-A3. 9.(1)原式-2×3x1×^}4-3-3# (3)过点D作AD的垂线交AB于 点M.连接CM.如图2 易证△ADBo△MDC AD. 图2 DMC- /DAB-30*. 10.(1)正弦值随锐角角度的增大而增大,余弦值随锐角 .CM-AB4v3 .AMC-AMD+DMC= ③ 角度的增大而减小 (2)sin 18* sin 34' sin50 sin 62'<sin 88* AMD+ DAB-90{. cos 88cos62cos50cos34cos18° .AM-VAC-CMF-215 2 (3)-:;. .AD-5. 111. [提示:a为锐角: .cosa0.分子、分母同 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 12. [提示:过点O作OD]AB,垂足为D. .AD- 1.A 2.B[提示:根据三角函数的定义,得sinB-.cosB= BD-AB-4. .PD-BP+BD=2+4-6.在 RAOD中,OD-OA-AD-6-4-25 3.D[提示:A-30{$B-45”,C=105{ 3.- 4.A[提示:'sinA-,sin B-. .sinA:sinB a:.] [提示:由旋转的性质可得/A一/A'DC'一 $.D[提示:设BC-3,AB-5k,则AC-4, .tanB- ##,# 90. ..AB/A'D,.ABA'- CA'D. 6.C[提示:方程有两个相等的实数根,则(一v2)一 当点A,C',B在同一直线上时,△ABC△DA'C .-60”] 4cosa=0. 7..AB-BC+AC-6+8-10. . sin A-3.cos A-. tan A-3. .+2x-4. ) sin B-co B-0g,an B-.# 解得xr-v5-1,x。=-5-1(舍去). 8.在RtACD中,AC-AD-CD-5-3-16 AD 在Rt△ACB中,AB-AC*+BC*=16+8}-80 15.B [提示:如图,作直径BD,连接CD.由勾股定理得 ..AB-45. BD-②+-20-2v5.在RBDC中.co BDC _ .sin BAC-BC82 AB4 5 ,由圆周角定理得 BAC一/BDC. 22第二十七章相似么 第二十七章单元学能测评 时间：120分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分）》 1.在比例尺为1：500000的地图上，量得甲、乙 两地的距离是25cm,则两地的实际距离是 78 (. A.1.25km B.12.5km 第5题图 第6题图 C.125 km D.1250km 2.下列四组线段中不能成比例的是( 6.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6.将 A.a=3,b=6,c=2,d=4 △ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角 B.a=1,b=5,c=7,d=35 形与原三角形不相似的是(). C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=9,b=9,c=2,d=2 3.下列说法中不正确的是( A.如果两个三角形全等，那么这两个三角形 B 相似 B.如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这 两个三角形必全等 C.如果两个三角形都与另一个三角形相似，那 么这两个三角形相似 7.如果两个等腰直角三角形斜边的比为1：2，那 D.如果两个三角形相似，那么它们一定能互相 么它们的面积比是( 重合 A.1:1 B.1:2 4.如图，AB∥CD∥EF,则图中相似三角形的对 C.1:3 D.1:4 数有( 8.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和 8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别 是3,4和x,那么x的值( A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 A.只有1个 B.可以有2个 5.如图，在△ABC中，中线BE,CD相交于点O, C.有2个以上，但有限 D.有无数个 连接DE.下列结论 9.(2024·武汉江夏区月考)如 图，正方形OPQR内接于 △ABC,已知△AOR,△BOP, B Q.0 o恶-号 31 △CRQ的面积分别为S1=1,S,=3,S=1,那 其中正确的有(). 么正方形OPQR的边长是( A.1个 B.2个C.3个D.4个 A.√2 B.3 C.2 D.3 37 难手册九年级数学下册rs 10.如图，在直角梯形 ABCD 中， AD∥BC， N $$\angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ， B D \bot D C ， B D = D C ， C E$$ 平分 A ∠BCD 交 A AB于点E，交BD于点 H，EN∥ DC 交BD于点N.下列结论： ①BH=DH； B c M E $$\textcircled 2 C H = \left ( \sqrt 2 + 1 \right ) E H ； \textcircled 3 \frac { S _ { \triangle E N H } } { S _ { \triangle E B H } } = \frac { E H } { E C } .$$ 15.如图，由边长为1的25个小正方形组成的正 方形网格上有一个 △ABC， ，现在网格上再画 A D 出一个与 △ABC 相似且面积最大的 △A'B'C'， E H 使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上， N 则 △A'B'C' 的面积是. C C' A 其中正确的是(). C A.①②③ B.只有②③ B B E C.只有② D.只有 ③ A D A' 二、填空题(每小题3分，共18分) 第15题图 第16题图 11.如图，已知 ∠1=∠2， 若再增加一个条件就能 16.如图，在等腰 △ABC 的外接圆中，弦AD与底 使结论“ “AB⋅DE=AD⋅BC” 成立，则这个条 边 BC 交于点 E，AC=6，AE=4， 那么 AD= 件是(填上你认为正确的一种情形 . 即可). 三、解答题(共72分) A A 1 17.(8分)如图， △ABC 是等边三角形，CE是外 D D 角平分线，点D在 A AC上，连接BD并延长与 CE交于点E. B E C B 第11题图 第12题图 (1)求证： ：△ABD∼△CED； (2)若 AB=6，AD=2CD， ，求BE的长. 12.如图，在 △ABC 中， AB=24，AC=18，D 是 A AC 上一点， AD=12， ，在AB上取一点E，使 D E A，D，E三点组成的三角形与 △ABC 相似，则 AE 的长为. B C F 13.梯形的上、下底边分别为1.2cm和1.8 cm， 高为1cm，延长两腰后与下底所成的三角形 的高为cm. 14.如图，小亮同学想利用树影测树高，他在某一 时刻测得直立的标杆高1 m，其影长为 0.8m，当他马上测树影时，因树靠近建筑物， 影子不全落在地上，有部分影子在墙上，他测 得地面部分的影长为5.2m，墙上的影高为 1.5m，则他求得的树高为m. 38 第二十七章相似么 18.(8分)将图中的△ABC作下列运动，请画出 20.(8分)如图，已知线段AB,先按下列步骤画 相应图形： 出图形，然后解答有关问题. (1)沿y轴正方向平移1个单位，得△ABC, a.以已知线段AB为边作正方形ABCD: 并写出点B,的坐标： b.取AD的中点E,连接BE: (2)以点B为位似中心，放大到2倍，得 C延长DA到点F,使EF=EB: △A,B,C2,使△ABC和△AB,C在点B d.以线段AF为边作正方形AFGH. 的同一侧，并写出点C的坐标. (1)在上面画出的图形中，设AB=a,你能证 明品鼎吗？试试看。 (2)从(1)的结果中你能得到点H与线段AB 有怎样的关系？ AL 19.(8分)如图，正方形ABCD的边长为4，M,N 分别是BC,CD上的两个动点，当点M在BC 上运动时，保持AM和MN垂直. (1)求证：△ABM∽△MCN (2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y 与x之间的函数关系式.当点M运动到 什么位置时，梯形ABCV的面积最大？ 求出最大而积， (3)当点M运动到什么位置时，△ABM∽ △AMN?求出此时x的值. 39 国雅食手细九年级数学下册) 21.(10分)如图，AB是半圆O的直径，点P是 22.(10分)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC BA延长线上一点，PC是半圆O的切线，切 90°，AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点， 点为C过点B作BD⊥PC交PC的延长线 连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC于 于点D,连接BC 点E 求证：(1)∠PBC=∠CBD: (1)求证：△ABF∽△COE: (2)BC=AB·BD. (2)如图2，当0为AC边中点且船=2时，求 C 8票的值： 0 (3)当0为AC边中点且 =n时，请直接写 的值 图 图2 40 第二十七章相以么超 23.(10分)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB= 24.(10分)（经典·武汉中考） 90°，AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出 【问题背景】(1)如图1，已知△ABC△ADE, 发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀 求证：△ABD∽△ACE: 速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上 【尝试应用】(2)如图2，在△ABC和△ADE 以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时 中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE 间为t秒(0<1<2)，连接PQ. =30°，AC与DE相交于点F,点D在BC边 上品-，求=的值： 【拓展创新】(3)如图3，D是△ABC内一点， ∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB= 4.AC=2V3,直接写出AD的长. 图1 图2 (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值： (2)如图2连接AQ,CP,若AQCP,求t的值： (3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位 0 线上 41