第二十七章 相似 单元复习归纳(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

第二十七章 相似 单元复习归纳 01-知识网巧构建 相似图形 相似多边形 相似 角形的判定 相似三角形 相似三角形的性质 位似图形 02-微专题妙总结 微专题 相似三角形的判定 例如图,在正方形网格上有两个三角 形ABC 和ABC. 一角对 1】1要 →再找一对等角 找夹这一对等角的两边 应相等 的比相等 两边对应 →可再找夹角相等 成比例 ■判断为直角三角形 例如图,△CDF是等边三角形,且 求证:△AB.C△A。BC 点拨已知条件给的是图形,从中“读出” ACB-120* 两个三角形边之间的联系,通过勾股定理计算 出所有线段长,再利用三组对应边的比相等来 证明两个三角形相似. 证明设网格正方形的边长为1,由勾股定 求证:△ACD△ABC 理可知 点拨图形是一个有公共边、有公共角的 AB=1+2-/AB=1+-/2 “仿射影形”,只需证明 1一 B即可。 AC-BC-1+3-10 证明·△CDF为等边三角形. 又.BC=5,AC-2. AA##. .2-60, '1+A-2-60{。 .△A.BC.△ABC. 又ACB-120* 例B如图,在△ABC '.在△ABC中,A+B=60* 中,A-60{*},BDAC,垂 D .1-B. 足为点D,CEAB,垂足为 又.:A-A, 点E求证:ADEoABC .△ACD△ABC C 57 重难期册九年级数学 下册 2J 点拨 当求证两个三角形相似时,若两个 三角形有公共角,一般运用“两组对应边的比 的值. 相等且相应夹角也相等的两个三角形相似”来 点拨第(1)问过“切点”作半径,证明OD 证明. AC即可,第(2)问解答的关键是要确定⊙O的 证明在Rt△ADB中,A-60{}, # 半径,另外,图中有两对相似三角形,即△ADO . ABD-30, △ACB和△BEFo△BAC 解析(1)连接OD. .DE |DB,O是Rt△BDE的外接圆; 'BE是O的直径,点O是BE的中点 .C=90{}.DBC+ BDC=90} 又:A为公共角,.△ADE△ABC. 又BD为ABC的平分线 微专题2相似三角形与圆 .. ABD- DBC. 有关三角形与圆的综合题目,要充分挖掘 .OB=OD...ABD=/ODB. 圆中角与角之间的等量关系,再寻找相应的相 '. ODB十/BDC=90. 似三角形. ./ODC-90*. 例如图,AD是△ABC的高,AE是 又:OD是O的半径. ABC的外接圆直径,求证:AB·AC一AE· '.AC是O的切线. AD. (2)设⊙O的半径为r. 点拨 选定Rt△ACD为标准三角形,再构 在Rt△ABC中,AB^{}=BC^$}+CA-^{}+$$$ 造一个直角三角形与它相似即可,而圆的直径 12-225. 所对的圆周角为直角,可以构造直角三角形. .AB-15. 证明如图,连接BE .A=A.ADO-C-90 :ADC- ABE-90” .ADOo/ACB. C-乙E. 3 ..△ADCo△ABE 0 4. 即AB·AC-AE·AD 又.BE是⊙O的直径,.BFE-90{} 例D如图,在Rt△ABC A ..△BEFoBAC 中,C-90{*,BC-9,CA .EFBE 3 12. ABC的平分线BD交 O. D AC于点D,DE 1DB交AB 例则(2021·毕节中考)如图,0是 FC 于点E. △ABC的外接圆,点E是△ABC的内心,AE (1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC 的延长线交BC于点F,交O于点D,连接 是O的切线; BD,BE. 58 第二十七章 相似 则DB-4+c-4+2-6. 微专题3与相似有关的探究题 此类问题的设计一般遵循着从特殊到一 D 般的规律,所以先在特殊情形下进行代换,然 (1)求证:DB-DE 后在一般情形中进行证明,解决问题的方法也 (2)若AE=3,DF-4.求DB的长 可以从全等到相似进行思考。 例(2021·武汉中考)【问题提出】如 点拨(1)依据三角形内心的性质可得 图1,在△ABC和△DEC中,ACB= DCE BAD- CAD.ABE= CBE,由圆周角 -9 0{**,BC=AC.FC=DC,点E在△ABC内 定理的推论可得 /CAD= CBD一 BAD 部,直线AD与BE交于点F.线段AF,BF 从而可证 BED一 DBE,根据等角对等边即 CF之间存在怎样的数量关系? 可得出结论. 【问题探究】(1)①先将问题特殊化.如 (2)由D=D.DBF=CAD 图2,当点D,F重合时,直接写出一个等式,表 BD 示AF,BF,CF之间的数量关系 AD ②再探究一般情形,如图1,当点D,F不 4 4+2' 重合时,证明①中的结论仍然成立 2.从而可求DB的长 【问题拓展】(2)如图3,在△ABC和DEC 解析(1).点E是△ABC的内心, 中, ACB=$DCE=90*,B$C=AC,EC=$ ..AE平分 BAC,BE平分 ABC kDC(是常数),点E在\ABC内部,直线AD :. BAD= CAD.ABE= CBE. 与BE交于点F.直接写出一个等式,表示线段 又:CAD与/CBD所对狐为DC, AF.BF,CF之间的数量关系 .. CAD- CBD- BAD * BED=ABE+BAD.DBE DF) /CBE十CBD. E r 即 BED-DBE. C 图1 1图2 故 DB-DE (2):D= D, DBF=CAD=$ /BAD. ..△ABD△BFD. .D 图3 ① 解析(1)①BF-AF-v2CF “DF-4,AE-3,设EF-x ②如图4:过点C作CG作CG CF,交 由(1)可得DB-DE-4+x. BE于点G,则 FCG= ACB-90^{*, 则①式化为4+工7+x. . BCG- ACF. 4{4# ·.ACB- DCE-90*, 解得x1一2,x=一6(不符合题意,舍去), . /BCE-ACD 59 重难里册九年级数学 下册 2J A# 又:AC=BC.DC=FC 'AC*-AD:AB$$$ ..ACD△BCE. ..CAF=CBG. (2)·四边形ABCD是平行四边形, '△ACFBCG '.AD=BC.A=C ..AF-BG.CF-CG. 又.BFE=A..BFE=C ·△CGF是等腰直角三角形 又.FBE=/CBF. .'.GF-2CF. ..△BFEo△BCF. *$BF-AF=BF-BG=GF-$ $CF$ (2)如图5,过点C作CG |CF交BE于点 G.分别证明△ACD△BCE,△ACFC ABCG,可以得到BF-h·AF= 1+CF (3)如图4所示,分别延长EF,DC相交于 点G. D C A G 图4 图5 例(经典·宁波中考) B 【基础巩固】 图4 (1)如图1所示,在△ABC中,D为AB上 ·四边形ABCD是菱形, 一点: ACD= B.求证:AC*-AD·AB 【尝试应用】 “.AC/EF, (2)如图2所示,在口ABCD中,E为BC 上一点,F为CD延长线上一点,BFE '.四边形AEGC为乎行四边形; 乙A.若BF-4.BE-3,求AD的长 '.AC=EG,CG=AE, EAC-G$$ 【拓展提高】 (3)如图3所示,在菱形ABCD中,E是 .. /EDF=/BAC. AB上一点,F是△ABC内一点,EF/AC ' EDF- G. 又. DEF-/GED 5.求菱形ABCD的边长 ..△EDFo△EGD. .DE-EF·FG 又.FG-AC-2EF. .$DE*-2EF* '.DE-/②EF. B 图1 图2 .DG-②DF-5② 解析(1)·:ACD=B.A=A. .△ADC△ACB. .*.DC-DG-CG-5 ②-2. 60 第二十七章 相似 例如图,△ABC和△DEF是两个全等 在△BPE和△CQE中. 的等腰直角三角形, BAC=/EDF=90{ .BP-CQ.B=C,BE=CE ADEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点 ..BPECOE. 重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线 (2)BEF=C+CQE,BEF= 段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射 DEF十 BEP,且DEF=/C=45* 线CA相交于点Q . BEP- /CQE. (1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP 在BPE和△CEQ中, AQ时,求证:BPECQE ":BEP=CQE,B= C (2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上 ..△BPE△CEQ. 时,求证:△BPE△CEQ;并求当BP-a, CQ一 又 BE=CE.'.BE*-BP·CQ 数式表示). ·BE3 3/2a,BBC-3/2d. .△ABC是等腰直角三角形, ..AB-AC-3a 图1 图2 解析(1).△ABC是等腰直角三角形 'AB-AC,B-C-45*。 'P.Q两点间的距离 .AP-AQ..BP-CQ PQ一 (2a)”}十(){}一 .E是BC的中点...BE一CE 2 61