吉林省友好学校2024-2025学年高二上学期10月期中联考（第78届）数学试题

一、 单选题 (40分) 二、 多选题 (18分) 三、 填空题 (15分) 四、 解答题 (77分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第1页（共4页） 缺考填涂标记 2024-2025学年度友好学校高二期中考试数学试卷 正确填涂 错误填涂 注 意 事 项 姓名：　　　　　　　　　　　　　    考号：　　　　　　　　　　　　　 学校：　　　　　　　　　　　　　 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 贴条形码区 1 A B C D E F G H 2 A B C D E F G H 3 A B C D E F G H 4 A B C D E F G H 5 A B C D E F G H 6 A B C D E F G H 7 A B C D E F G H 8 A B C D E F G H 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 12.(5分) 　 (5分) 　 (5分) 　　　　　　　　　 13. 　　　　　　　　 14. 　　　　　　　　（2分） 　　　　　　　　　　　　（3分） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第2页（共4页） 16.(15分) 17.(15分)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第3页（共4页） 18.(17分) 19.(17分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第4页（共4页） 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 高二（数学）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 7.已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，当异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为(　　) A. 0 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 11．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ） A． B．当时，的面积为 C． D．的周长的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，14题，第一空2分，第二空3分，共15分。 12．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 13．已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 ． 14. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为______；的最小值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. (13分)已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16．（15分）已知三角形ABC的三个顶点是，，. (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 17. （15分） 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 19.（17分）图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 高二（数学）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 一、单选题 1．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 2.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】向量是不共面的三个向量， 对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底； 对于C，，则向量共面，C不能构成空间基底； 对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底； 对于A，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得， 整理得，而向量不共面，则有，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，A能构成空间基底.故选：A 3．过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 4．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 5.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 6.已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得. 故选：B 7.已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆C上存在点P，使得， 所以，以为直径的圆与圆有交点， 又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2， 所以，即，即. 故选：A 8.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，当异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为(　　) 0 C　[以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体的棱长为2， 则D(0，0，0)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)， ＝(－2，0，－2)，设F(m，0，0)(0≤m≤2)，＝(m－2，－1，0)， 设异面直线B1C与EF所成的角为θ， 则cos θ＝ ＝＝， 当异面直线B1C与EF所成角最小时，cos θ最大，即当m＝0时，cos θ＝＝＝. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 10．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【答案】BC 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 11．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ） A． B．当时，的面积为 C． D．的周长的最大值为 【答案】AC 【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解. 【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确； 当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误； 因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点， ∵，则直线， 联立方程，得到 ∴， ∵在椭圆上，则，即 ∴ 同理， 于是 ， 故C项正确； 设椭圆的右焦点为， 当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为， 如果不经过右焦点，则连接，， 可知的周长小于， 所以的周长的最大值为，故D项错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，14题，第一空2分，第二空3分，共15分。 12．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 答案：0或 解析：由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 13．已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 ． 答案：1 【解析】13.【解析】由题意知，点，，，可得, ，则，,， 所以，可得， 所以点到直线的距离为． 14. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为______；的最小值为______ 答案：①. ②. 解析：由，， 可得，即， 所以，解得， 所以点， 又，， 则， 所以当时，取最小值为， 经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.（13分）已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 解：（1），， ，， ..........................4分 ∴；............. 6分 （2）设与的夹角为，则，.....8分 ，，，，......10分 ...........................................12分 ∴向量与夹角的余弦值为......................................13分 16．(15分)已知三角形ABC的三个顶点是，，. (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 解析：（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为，...................................2分 所以BC边上的高所在直线的方程，即............6分 （2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点， ①当直线与AB平行， 因为，且过点C， 所以方程为，即........................................10分 ②当直线通过AB的中点， 所以，......................................................12分 所以的方程为，即.......................14分 综上：直线的方程为或...................................15分 17. (15分)如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 解析：（1）连接、，因为平面， 以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系.........................................2分 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，又，， 所以，解得， 则，， ，，，，， 所以，，，...............4分 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，所以，...................................6分 又因为平面，所以平面；..................7分 （2）因为，，.......................8分 设平面的一个法向量为， 则，令，则，..............11分 设直线与平面所成角为， 则，...................14分 即直线与平面所成角的正弦值为......................................15分 18．(17分)已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 【解析】（1）由椭圆的离心率为，可得，...............2分 可得，设椭圆的方程为：，， 又因为椭圆经过点，所以， 解得，..............................................................................................5分 所以椭圆的方程为：；.....................................................7分 （2）设与直线平行的直线的方程为，...................9分 联立，整理可得：，................11分 ，可得，则，......................14分 所以直线到直线的距离．............................16分 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．.....................17分 19.(17分)图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 解析：（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴，................................................................................2分 在图2中，，∵，∴，................3分 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面，................................................4分 ∴平面平面ABED；.........................................5分 （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为......................................7分 ，，，，，， 所以，，，......................9分 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以......................................................11分 ，，记直线与平面所成角为， 则．......................................12分 （3）假设存在，设， 所以，...................................................................13分 ， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取，..................................................................15份 则， 解得，此时．................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $$