精品解析：2024-2025学年人教版九年级上册月考数学试卷 （9月份）

2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到方程是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. ） B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴有唯一交点 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的开口向下 7. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 8. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0其中正确结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____． 12. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是__________． 15. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 17. 如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． （1）指出旋转中心； （2）若，，求出旋转的度数； （3）若，，则的长是多少？为什么？ 18. 小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？ 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 20. 如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 21. 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求y与x函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？ 22. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD周长为为l，求l的最大值 ②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、这个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是正确的； C、这个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的； 故选：B 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是二次函数，故选项B不符合题意； C、 不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. ） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数顶点式求抛物线的顶点坐标等知识，二次函数的顶点坐标为，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键． 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴有唯一交点 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的开口向下 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的个数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的对称轴和开口方向等知识，即可得到答案． 【详解】解：A．对于抛物线， 当时，， ∵， ∴有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个交点，故选项错误，不合题意； B．∵， ∴抛物线的顶点是，故选项错误，不符合题意； C．∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， 故选项错误，不符合题意； D．对于抛物线，，则图象的开口向下，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程根的个数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的对称轴和开口方向等知识，是解题的关键． 7. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 8. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣x2 解得x=±10， 所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即可得水面宽度AB为20m． 故选C. 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数经过的象限判断的符号，再根据二次函数的性质进行判断即可求解． 【详解】解：A.由得对称轴为直线，与图象不符，故不符合题意； B.由的图象得，，抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，顶点在第四象限，与图象相符合，故符合题意； C.由的图象得，，抛物线的开口应向下，与图象不符，故不符合题意； D.由得对称轴为直线，与图象不符，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，掌握二者的性质解题的关键． 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0其中正确结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图项与系数的关系即可求出答案. 【详解】①∵图像开口向下， ， ∵与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间， ， ∵对称轴为x=2， ， ∴b=-4a， ∴b>0， ∴abc<0，故①正确； ②∵图象与x轴交于点A(-1,0)，对称轴为直线x=2， ∴图像与x轴的另一个交点为(5,0)， ∴根据图像可以看出，当x=3时，函数值y=9a+3b+c>0， 故②正确； ③∵点 ， ∴点M到对称轴的距离为 ，点N到对称轴的距离为， ∴点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离， ∴ ，故③正确； ④根据图像与x轴的交点坐标可以设函数的关系式为：y=a（x-5）(x+1)，把x=0代入得y=-5a，∵图像与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间，， 解不等式组得 ，故④正确； ⑤∵对称轴为x=2 ， ∴b=-4a， 当x=1时，y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正确； 综上分析可知，正确的结论有5个， 故D选项正确.故选D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即， 故答案为：． 12. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 【答案】-1 【解析】 【详解】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴|m|=1，m−1≠0， 解得：m=−1. 故答案为−1. 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解． 【详解】解：由方程可知 ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理可简便运算． 14. 已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由m，n是方程x2-x-2=0的两个根知m+n=1，m2-m=2，代入到原式=2（m2-m）-（m+n）计算可得． 【详解】解：∵m，n是方程x2-x-2=0的两个根， ∴m+n=1，m2-m=2， 则原式=2（m2-m）-（m+n） =2×2-1 =4-1 =3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，，x1x2=. 15. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____． 【答案】﹣3＜x＜1 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， 由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】整理后利用因式分解法求解即可． 【详解】原方程整理得：， 因式分解得：， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 17. 如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． （1）指出旋转中心； （2）若，，求出旋转的度数； （3）若，，则的长是多少？为什么？ 【答案】（1）旋转中心为点 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（）结合图形找到旋转中心即可； （）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （）利用旋转的性质得到，即可求得答案； 本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，旋转中心为点； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴旋转的度数为； 【小问3详解】 解：由旋转性质知：，， ． 18. 小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率． （2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）每月盈利的平均增长率为10%；（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元． 【解析】 【分析】（1）设每月盈利的平均增长率为x，根据该商店4月份及6月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据2020年7月份的盈利额=2020年6月份的盈利额×（1+增长率），即可求出结论． 【详解】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x， 依题意，得：6000（1+x）2＝7260， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：每月盈利的平均增长率为10%． （2）7260×（1+10%）＝7986（元）． 答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【答案】（1）且；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可. 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且. 解得且. 的取值范围是且. （2）在且的范围内，最大整数为. 此时，方程化为. 解得，. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 20. 如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】（1）5秒 （2）秒 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形中的动点问题，勾股定理， 对于（1），根据面积相等列出方程，求出解即可； 对于（2），作，再根据勾股定理列出方程，求出解. 【小问1详解】 当运动时间为t秒时，，，依题意，得 ， 解得：． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； 【小问2详解】 过点Q作于点M，如图所示． ∵，， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 21. 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）70；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元． 【解析】 【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式； （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 【详解】（1）设y与x的函数关系式为（），根据题意得：，解得：， 故y与x的函数关系式为； （2）根据题意得：（﹣x+150）（x﹣20）=4000，解得，（不合题意，舍去）， 故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元； （3）w与x的函数关系式为：==， ∵﹣1＜0， ∴当x=85时，w值最大，w最大值4225， ∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元． 22. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD周长为为l，求l的最大值 ②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】（1）y=-0.25（x-5）2+6.25；（2）隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；理由见解析；（3）（Ⅰ）；（Ⅱ）P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）． 【解析】 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点， 代入顶点式得： y=a（x-5）2+6.25， ∴0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25， ∴y=-0.25（x-5）2+6.25； （2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴10-3×2=4， 4÷2=2， ∴x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=4， 4-3.5=0.5， ∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶； （3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25； ∴矩形ABCD的周长为l为： ∴l的最大值为： ． II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q． ∴∠POA=∠OPA=45°， ∴Q点的纵坐标为5， ∴5= −m2+10m 4 ， 解得：， 所以P或 当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴， 当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形， Q点在OM的上方时， P3Q3=2Q3K1，P3Q3=， Q3K1=5-x， Q点在OM的下方时， P4Q4=2Q4K2，P4Q4=， Q4K2=x-5， ∴ ， 解得：x1=4，x2=10， P3（4，4），P4（10，10） ∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式； （2）设出M点的坐标，利用 即可进行解答； （3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合． 【小问1详解】 解：设此抛物线的函数解析式为：， 将，，三点代入函数解析式得： ， 解得， 所以此函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上， ∴点坐标为：， ∴ ∵， 当时，有最大值为：． 答：时，有最大值． 【小问3详解】 解：设． 当为边时，根据平行四边形的性质知，且， ∴的横坐标等于的横坐标． 又∵直线的解析式为，则． 由，得， 解得，，．（不合题意，舍去） 如图，当为对角线时，知与应该重合，． 四边形为平行四边形则，横坐标为4， 代入得出为． 由此可得或或或． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，理解相关知识是解答关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$