精品解析：广东省汕尾市城区汕尾中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学

汕尾中学2024~2025学年度第一学期初三年级第一阶段质量监测 数学·试题 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与一次函数定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用二次函数以及一次函数的定义分别判断得出答案． 【详解】解：A、，是一次函数，不符合题意； B、，当时，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2. 世界文化遗产长城总长约为，若将6700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 用配方法将方程变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】配方的步骤：①把常数项移到方程的右边，②把二次项的系数化“”，③方程两边都加上一次项系数一半的平方，从而可得答案. 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】∵a=1，b=－3，c=－1 ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因此掌握判别式是关键. 5. 如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可． 【详解】抛物线y=x2+2的顶点坐标为（0，2）， 先向左平移1个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，1）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2+1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式． 6. 已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、代数式求值，将代入得，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：将代入得： ，即：， 将代入原式得：， 故选：A． 7. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 8. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x=-=3．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数y=x2-6x+c， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=-=3． ∵点（-1，y1）、（2，y2）、（5，y3）都在二次函数y=x2-6x+c的图象上， 且， ∴三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为： （-1，y1）、（5，y3）、（2，y2）， ∴y1>y3>y2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴． 9. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 10. 已知二次函数的图像如图所示，在下列个结论中：①；②；③；④． 正确的个数是（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象判断2所对应的y的值，根据对称轴和与x轴交点个数，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x＝﹣ ＞﹣1，故 ＜1， ∵a＜0， ∴b＞2a， ∴2a﹣b＜0，①正确； ②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确； ③∵图象与x轴无交点， ∴b2﹣4ac＜0，③正确； ④由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，④错误； 故正确的有①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是准确从图象获得信息，利用数形结合思想解决问题． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 13. 已知方程x2﹣4x+1＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解答该题需要熟记公式：． 14. 二次函数的解析式为，顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知和抛物线的顶点式，直接判断顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数图象的顶点坐标为：（-1，3）． 故答案为（-1，3）． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k）． 15. 虽然今年的“新冠”疫情严重，在我们举国上下众志成城，万众一心下，抗疫取得了非常大的胜利．假如有一人患了“新冠”，经过两轮传染后共有64人患了“新冠”，那么每轮传染中平均一个人传染给______________ 个人． 【答案】7 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人， 根据题意得：1+x+x（1+x）=64， 解得：，（不合题意，舍去） 故答案为：7． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】解：当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当时，是二次函数， ∵函数与x轴有两个公共点， ∴， ∴． 故答案为：且． 三、解答题（一）（共3题30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得：，． 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）指出它的开口方向，并求它的对称轴； （3）写出随怎样变化； （4）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）抛物线的开口向上，它的对称轴为直线 （3）当时，随增大而减小，当时，随增大而增大 （4）抛物线与轴的交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，及二次函数的性质，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）根据的性质即可求解； （3）根据的性质即可求解； （4）当时，即，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴交点的纵坐标为 ∴抛物线与轴交点的坐标为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为，化为一般式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴抛物线的开口向上，它的对称轴为直线； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而增大； 【小问4详解】 当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为4，求的值； （3）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明： ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练的运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）将方程有一个根为4代入原方程，可得关于的方程，求解即可； （3）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵该方程有一个根为4， ∴， 解得：； 【小问3详解】 根据题意得，， ∵，即：， ， 解得，， 的值为或． 四、解答题（三）（共2题18分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次． 【答案】（1）20%（2）8640万人次 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解． （2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次． 【详解】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得 5000（1+x）2 =7200． 解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%． （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次． 答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施.经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件.设每件童装降价元. （1）降价后，每件盈利______元，每天可销售______件；（用含的代数式填空）； （2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元； （3）每件童装降价多少元时，每天可获得最大盈利，最大盈利是多少元？ 【答案】（1），；（2）降价20元；（3）每件童装降价15元时，每天可获得最大盈利，最大盈利是1250元 【解析】 【分析】(1)根据降价1元多售出2件可得：降价x元多售出2x件，从而得出答案；(2)根据总利润=单件利润×数量列出方程方程，从而求出方程的解得出答案；(3) 设每天总利润为元，则，配方后即可求出最大盈利. 【详解】（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40﹣x元， 故答案为，； （2）根据题意，得：， 解得：，， ∵要减少库存，销量越大越好， ∴ ∴每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元； （3）设每天总利润为元， 则， ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值是1250， ∴每件童装降价15元时，每天可获得最大盈利，最大盈利是1250元. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目中蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 五、解答题（三）（共2题24分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 23. 如图，已知抛物线经过点和点，点C为抛物线与y轴的交点． 求抛物线的解析式； 若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值． 在条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）．（2）当时，面积取最大值，最大值为．（3）点D的坐标为、、、或 【解析】 【详解】分析：根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 过点E作轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点E的坐标为，则点F的坐标为，进而可得出EF的长度，利用三角形的面积公式可得出，配方后利用二次函数的性质即可求出面积的最大值； 分、、三种情况考虑，根据等腰三角形的性质结合两点间的距离公式，即可得出关于m的一元二次或一元一次方程，解之即可得出结论． 详解：将、代入， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 过点E作轴，交BC于点F，如图1所示． 当时，， 点C的坐标为． 设直线BC的解析式为， 将、代入，得： ，解得：， 直线BC的解析式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为， ， ， 当时，面积取最大值，最大值为． 由可知点E的坐标为 为等腰三角形分三种情况如图： 当时，有， 解得：，， 点D的坐标为或； 当时，有， 解得：， 点D的坐标为； 当时，有， 解得：，， 点D的坐标为或 综上所述：当点D的坐标为、、、或时，为等腰三角形． 点睛：本题考查了待定系数法求一次二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；利用三角形的面积找出关于n的函数关系式；分、、三种情况考虑． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕尾中学2024~2025学年度第一学期初三年级第一阶段质量监测 数学·试题 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 世界文化遗产长城总长约为，若将6700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法将方程变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 7. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 9. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 已知二次函数的图像如图所示，在下列个结论中：①；②；③；④． 正确的个数是（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 13. 已知方程x2﹣4x+1＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝_____． 14. 二次函数的解析式为，顶点坐标是__________． 15. 虽然今年的“新冠”疫情严重，在我们举国上下众志成城，万众一心下，抗疫取得了非常大的胜利．假如有一人患了“新冠”，经过两轮传染后共有64人患了“新冠”，那么每轮传染中平均一个人传染给______________ 个人． 16. 若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______． 三、解答题（一）（共3题30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）指出它的开口方向，并求它的对称轴； （3）写出随怎样变化； （4）求抛物线与轴的交点坐标． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为4，求的值； （3）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 四、解答题（三）（共2题18分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施.经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件.设每件童装降价元. （1）降价后，每件盈利______元，每天可销售______件；（用含的代数式填空）； （2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元； （3）每件童装降价多少元时，每天可获得最大盈利，最大盈利是多少元？ 五、解答题（三）（共2题24分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，已知抛物线经过点和点，点C为抛物线与y轴的交点． 求抛物线的解析式； 若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值． 在条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $