精品解析：重庆市第二十九中学2024-2025学年高二上学期第1次月考数学试题

重庆二十九中2024-2025学年度上期 高二年级数学月考测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8题小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则a的值为（ ） A. 或1或2 B. 或1 C. 或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故选：D 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】跟根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】由 得， 所以的虚部为. 故选：B. 3. 已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可. 【详解】由，得. 根据定义可知：在方向上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 5. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作出正三棱柱，设其外接球的半径为，找出球心的位置，根据正三棱柱的几何特征求出，进而可求得该正三棱柱外接球的表面积. 【详解】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为. 设、分别为下、上底面的中心，且球心为的中点， 又，，， 设球的半径为，则， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱外接球表面积的计算，解题的关键就是列等式求出外接球的半径长，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 7. 已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可. 【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式， 代入点的坐标，可得关于的方程， 圆，的半径，是该方程的两个不同实根， 所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得． 当点在轴上时，， 此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切， 且，满足． 同理，当点在轴上时，，同样满足． 故选：C. 【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为. 8. 已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D两点，若，则m为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得两点的坐标，利用求得的值. 【详解】直线，即， 不妨设直线过定点，直线的斜率为. 满足圆的方程，所以在圆上， ，所以过的圆的切线的斜率为，故（同时依题意）， 由消去并化简得， ， 所以， ，两边平方并化简得， ， ①， 对于，， 所以方程①的解为. 故选：C 【点睛】本题研究直线和圆的位置关系，联立直线的方程和圆的方程后，列出根与系数关系，利用方程的思想建立与的关系式，对次方程因式分解，考虑分组分解法，也可以用代入选项法确定的值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线过定点及曲线为半圆，作出图象，求出切线、割线对应斜率，数形结合即可得解. 【详解】直线恒过定点， 由可得，如图， 由解得或（舍去），即, 由，可得, 由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点. 故选：BD 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误.      故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可. 【详解】如图建系，设正方体的棱长为3， 则，，，， ，， 故直线与直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解. 【详解】设，因为点，，， 所以，即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； 【小问2详解】 因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 16. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点． （1）求证：； （2）当时，求直线与平面成角的大小． 【答案】（1）证明：如图所示：连接， 因为平面，平面,所以，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以. （2）； 【解析】 【分析】（1）连接，通过证明平面，则可证明. （2）建立空间直角坐标系，根据的值，计算平面的法向量，结合点到面的距离公式即可得出答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示： 设平面一个法向量为， 又， 所以， 因为，所以取，所以法向量 所以，所以向量夹角为，所以线面夹角为. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为 ①求 ②求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式即可求解； （2）①由已知根据面积公式可求得，，由余弦定理即可求；②由正弦定理可得，由同角三角函数的平方关系可得，由二倍角公式可得和，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ①因为，所以， 又，所以，， 所以， 所以， ②由正弦定理可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， ， 所以. 18. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为，则为锐角， 故， ， 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 19. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2）过定点， 【解析】 【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知直线的方程为， 则联立与可求出点坐标为， 又因点P为线段的中点，所以可得， 即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得， 所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. 【小问2详解】 由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆二十九中2024-2025学年度上期 高二年级数学月考测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8题小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则a的值为（ ） A. 或1或2 B. 或1 C. 或2 D. 2 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D两点，若，则m为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 13. 在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为________． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 16. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点． （1）求证：； （2）当时，求直线与平面成角的大小． 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为 ①求 ②求. 18. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $