精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

兆麟中学2024—2025学年度上学期期中考试 高三学年 数学 学科试题 考试用时：120分钟 总分：150分 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，，，则数列的公比为 A. 3 B. C. 2 D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 7. 在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的一个周期为； B. 函数的值域是； C. 函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； D. 当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 函数的最小值为 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列 B. 若为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大 D. 若 ，则数列的前2020项和为4040 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的对称中心 D. 若方程在上有且只有6个根，则 三、填空题 12. 已知i是虚数单位，复数满足，则______. 13. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________． 14. 若，则的最小值为___________. 四、解答题 15. 已知向量． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求的值． 16. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意不同的，，都有，求实数的取值范围. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，，求边上的角平分线长； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 19. 一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的. （1）判断向量组，，是否线性相关. （2）已知函数，，且恒成立. ①求的值； ②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兆麟中学2024—2025学年度上学期期中考试 高三学年 数学 学科试题 考试用时：120分钟 总分：150分 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】解不等式可得； 又可知，可知A错误，B正确； ，即可得C错误，D错误. 故选：B 2. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由复数的乘法运算法则化简复数,根据共轭复数的定义即可求解. 【详解】因为复数, 由复数的乘法运算法则可得,, 利用共轭复数的定义可得,=, 故选:B 【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数的定义;属于基础题. 3. 平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值是（　　） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用M为CD的中点，点N满足，得到，再将等式转化成的关系，从而得到，的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 因为， 所以 ， 所以， 由平面向量基本定理可得，解得， 所以 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及了平面向量的数乘和线性运算，用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，，，则数列的公比为 A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设正项等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，进而得出公比的方程，即可求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由，可得，因为，所以， 又因为，所以， 即，解得或， 又由，可得，所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式的应用，着重考查推理与计算能力. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，利用诱导公式结合倍角公式求，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可得， 则， ， 所以， 故选：A. 6. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示， 由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 7. 在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 8. 设函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的一个周期为； B. 函数的值域是； C. 函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； D. 当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用，结合两点间距离公式可判断C；结合解，根据解的情况判断D，即得答案. 【详解】对于A，，， 故不是函数的一个周期，A错误； 对于B，， 需满足，即， 令，，则即为， 当时，在上单调递增，则； 当时，， （，故） 此时在上单调递减，则， 综上，的值域是，B错误； 对于C，由B知，， 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离； 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离， 当且仅当且时等号成立， 而时，或， 满足此条件的x与矛盾，即等号取不到， 故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，C错误； 对于D，由B的分析可知，则，即， 又，故当且仅当时，， 即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，D正确． 故选：D 【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 函数的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A举反例即可；对B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，当，则，则，故B正确； 对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：BC. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列 B. 若为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大 D. 若 ，则数列的前2020项和为4040 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断. 【详解】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误； B. 为等比数列，且，则，所以，故正确； C. 因为，则，，则，所以，， 所以数列前项的和最大，故正确； D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确. 故选：BCD 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的对称中心 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求解判断C，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D. 【详解】由，得，即，又，所以， 又的图象过点，则，即， 所以，即得，又，所以， 所以，故A正确； 向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确； 对于C，， 令得， 所以对称中心，故C正确； 对于D，由，得，解得或， 方程即，因为，所以， 又在上有6个根，则根从小到大为，而第7个根为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知i是虚数单位，复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算的除法法则和模的计算公式，即可化简得到答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故． 故答案为： 14. 若，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，可得，求导求得最小值即可. 【详解】令，则， 所以，所以， 令，则， 所以在上为增函数，即在上为增函数，又， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以函数. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用换元法，通过二次求导，求函数的最小值是一种常用方法，在平时的学习中应多体会. 四、解答题 15. 已知向量． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的夹角公式计算即得. （2）利用平面向量共线的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得. （3）利用向量相等构造方程求得，再利用坐标求模即得结果. 【小问1详解】 由向量，得， 于是，而， 所以. 【小问2详解】 由向量，得，， 由，得，解得， 所以实数的值是. 【小问3详解】 依题意，即， 于是，解得，所以. 16. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解； （2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令, 则， 所以的单调递减区间为; 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意不同的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的性质，结合函数极值的定义进行求解即可； （2）对已知不等式进行变形，构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质分类讨论求解即可. 【小问1详解】 ）因为，所以 令，解得或（舍去）. 当变化时，，的变化情况如表所示. 2 0 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值，且极小值为，无极大值 【小问2详解】 不妨令，则等价于，即 令函数，可知在上单调递减， 若，即，则在上恒成立，故在上恒成立， 则在上单调递减，符合题意 若，即，则在上不恒成立，故在上不恒成立，则在上不可能单调递减，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：由已知不等式构造函数，得到函数的单调性是解题的关键. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，，求边上的角平分线长； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得答案； （2）延长交于，延长交于，设，分别求出、，再根据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 又因为，，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则 ，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； 【小问2详解】 延长交于，延长交于，设， 所以，在中， 在中，，，所以， 在中， 同理可得在中，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为. 19. 一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的. （1）判断向量组，，是否线性相关. （2）已知函数，，且恒成立. ①求的值； ②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，. 【答案】（1），，是线性无关的 （2）①； ②证明：由①可知：，则，， 则， 可得， 又因为， 则， 即，，则， 可得， 因为，且为递增数列，则， 可得为递增数列，则， 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）假设，，线性相关，根据题意列方程解得，即可得出矛盾； （2）①令，分析可知原题意等价于对任意恒成立，结合定点法求得；②利用放缩法结合裂项相消法可得，，进而可得，结合数列单调性可得. 【小问1详解】 若，，线性相关，则存在不全为零的3个实数，使得， 因为，，，则， 可得，解得， 故假设不成立，所以，，是线性无关的. 【小问2详解】 ①令，则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，可得，解得； 若，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，符合题意； 综上所述：； ②略 【点睛】关键点点睛：对于②：利用放缩结合裂项相消法可得，，进而分析证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $