精品解析：山东省青岛市崂山区实验学校2024-2025学年九年级上学期10月考数学试卷

崂山区实验学校九年级数学第一次月考 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四个角都是直角 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和矩形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；故该选项不符合题意； B、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；故该选项不符合题意； C、四个角都是直角是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故该选项不符合题意； D、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形与矩形的性质，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 4. 已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B． 5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD=AB D. ∠BAD＝∠ADC 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据矩形的判定进行解答. 【详解】根据题意，四边形ABCD是平行四边形， A. 有一个是直角的平行四边形是矩形，不符合题意，该选项错误； B. 对角线相等的平行四边是矩形，不符合题意，该选项错误； C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意，该选项正确； D. 平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90，是矩形，不符合题意，该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形判定的简单应用，解题的关键是掌握矩形的判定定理，明确矩形和平行四边形、菱形、正方形之间区别. 6. 某初中毕业班的每个同学都希望把自己的照片向全班其他同学赠送一张表示留念，按这样预计将互送870张照片，若这个班共有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．由题意得每个人要送出张照片，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：每个人要送出张照片， ∵全班有名同学， ∴可列方程为， 故选：B． 7. 已知是关于x的方程的两个实数根，已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边长，则周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 29 D. 17或29 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，三角形的三边关系，等腰三角形的性质．若等腰的腰长为7，把代入方程得到关于m的一元二次方程，解之，代入原方程求出和的值，根据三角形的三边关系，判断三边是否能组成三角形；若等腰底长为7，根据判别式为0得到关于m的方程，求出和的值，判断三边是否能组成三角形，找出符合题意的三边，求和即可． 【详解】解：若等腰的腰长为7， 把代入方程得： ， 解得：， 若，则原方程为：， 解得：， 三边为7，7，3（能构成三角形，符合题意）， 若，则原方程为：， 解得：， 三边为7，7，15（不能构成三角形，不合题意，舍去）， 若等腰底长为7， 则， 解得：， 原方程为：， 解得：， 三边为3，3，7（不合题意，舍去）， 综上可知：三边为7，7，3，周长为：， 即这个三角形的周长为17． 故选：B． 8. 如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCD═AC×BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OE＝AC＝4.5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9. 若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是， ∴，， ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 10. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有一根等于0 C. 方程两根之和等于0 D. 方程两根之积等于0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可． 解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0， 把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1， ∴1+（﹣1）=0， 即只有选项C正确；选项A、B、D都错误； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程的解为________． 【答案】或 【解析】 【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出答案即可. 【详解】方程变形得， 因式分解得， 解得，. 故答案为4或2. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的因式分解法. 12. 在估算一元二次方程x2＋12x－15＝0的根时，小彬列表如下： x 1 1.1 1.2 1.3 x2＋12x－15 －2 －0.59 0.84 2.29 由此可估算方程x2＋12x－15＝0的一个根x的范围是________． 【答案】1.1＜x＜1.2 【解析】 【分析】根据表格中的数据，可以发现：x=1.1和x=1.2时，x2+12x-15的值都比较接近0；且x=1.1时x2+12x-15<0，x=1.2时, x2+12x-15>0，从而可确定一元二次方程x2+12x-15的一个根x的范围. 【详解】根据表格中的数据，可知： x=1.1时，x2+12x-15=-0.59，x=1.2时，x2+12x-15=0.84. 所以，方程的一个根x的范围是：1.1＜x＜1.2. 故答案为1.1＜x＜1.2 【点睛】本题主要考查的是估算一元二次方程的近似根.解答此类题要细心观察表格中的对应数据，找出与y=0相近的数对，即可找到x的取值范围. 13. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______. 【答案】 ①. 3 ②. -4 【解析】 【详解】试题分析：根据韦达定理可得：·==3，则方程的另一根为3；根据韦达定理可得：+=－=4=－m，则m=－4. 考点：方程的解 14. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】k＜2且k≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 15. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 16. 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足___条件时，四边形EFGH是矩形 【答案】AB⊥CD 【解析】 【详解】解：需添加条件AB⊥DC， ∵、、、分别为四边形中、、、中点， ∴， ∴，． ∴四边形为平行四边形． ∵E、H是AD、AC中点， ∴EH∥CD， ∵AB⊥DC，EF∥HG ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形． 故答案为：AB⊥DC． 17. 如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质，可得到，则，将问题转化为“将军饮马”类型，作点关于的对称点，连接，用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵且四边形为正方形， ∴，即，， 在和中， ∴， ∴； ∴， 以为对称轴，作点关于的对应点连接，与交点即为点， ∵点和点关于对称， ∴， ， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等，最短路径问题，勾股定理．熟练地掌握正方形的性质得出判定三角形全等的条件，将最短路径问题转化为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 18. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的序号为 __． 【答案】①② 【解析】 【分析】由四边形和四边形是正方形，知，，故，判断①正确；由勾股定理可得，从而，判断②正确；过作交延长线于，过作于，过作于，由勾股定理可得，，判断③错误；求出，判断④错误． 【详解】解：四边形和四边形是正方形， ，， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 过作交延长线于，过作于，过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ，故③错误； ， ，故④错误； 正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形性质及勾股定理的应用． 三、作图题：（本小题4分） 19. 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 【答案】 如图，菱形AECF为所作． 【解析】 【分析】连结AC，作AC的垂直平分线交BC于E、交AD于F，利用矩形的性质可得AC垂直平分EF，则四边形AECF为菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 四、解答题（共62分） 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2）； （3）方程没有实数根； （4），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可； （3）方程运用公式法求解即可； （4）移项，提公因式，运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 这里， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 这里， ， ∴方程没有实数根； 【小问4详解】 解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， ∴，． 21. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可； （2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可． 【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x． 根据题意，得2(1＋x)2＝2.88， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%. (2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4， 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 22. 今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）； （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每本书上涨了元，根据题意即可表示出每天的销售量； （2）根据“每本书的利润每天的销售量总利润”列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵每本书上涨了元， ∴每天可售出书本， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每本书上涨了元（）， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， 答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元． 23. 已知：如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点O， E是BO的中点．过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：FB=AO； （2）当平行四边形 ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由． 【答案】 （1）证明：如图，取BC的中点G，连接EG． ∵E是BO的中点， ∴EG是△BFC的中位线， ∴EG=BF． 同理，EG=OC， ∴BF=OC． 又∵点O是▱ABCD的对角线交点， ∴AO=CO， ∴FB=AO； （2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形． 理由：∵BF=AO，BF∥AC， ∴四边形AOBF为平行四边形， ∵平行四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB， ∴平行四边形AFBO是菱形． 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 考点：1．平行四边形的判定与性质；2．菱形的判定． 24. 某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计图如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其他三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带． （1）请你计算出游泳池的长和宽； （2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁(共5个面)都贴上瓷砖，共需要费用多少元？ 【答案】（1）游泳池的长为50米，宽为25米； （2）共需要费用85000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用---几何问题． （1）可先设出游泳池的长和宽，然后根据条件表示出矩形空地的长和宽，然后根据矩形空地的面积是1798平方米来列方程求解． （2）本题的关键是求出5个面的面积，有了（1）的长和宽，告诉了游泳池的高，可以用矩形的面积=长×宽计算出着5个面的面积，也就求出了贴瓷砖的面积，从而得出贴上瓷砖后共需要的费用． 【小问1详解】 设游泳池的宽为x米，则长为2x米． 根据题意，得 ， 整理，得， 解得 (不合题意，舍去)，． ∴． 答：游泳池的长为50米，宽为25米． 【小问2详解】 (元)． 答：共需要费用85000元． 25. 苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2． 【探究】 （1）如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 【应用】 （2）如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）． 【拓展】 （3）如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值． 【答案】（1），证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可证出，即可得证； （2）过作，交于，连接，由（1）得同理可证：，由折叠的性质在中即可求解； （3）过点作，过点作，当、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作，交于，连接， 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边， ，，， ，， 由（1）得同理可证：， ， 设， ， ， ， ， ， 在中 ， ， 整理得：， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作， 当、、三点共线时，的值最小， 四边形是平行四边形， ，， 由（2）可证：， ， 四边形是正方形， ， ， ，， ， ， 当、、三点共线时， ， 的值最小， 的值最小． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，折叠的性质，动点线段最小值问题，掌握相关的判定方法及性质，理解折叠的性质，会根据动点的特征找出线段和最小值的条件是解题的关键． 26. 在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． （1）经过几秒，是等腰三角形？ （2）是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ （3）是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 【答案】（1）经过4秒，是等腰三角形； （2）经过3秒，的面积是矩形的面积的； （3）经过秒或秒，是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由是等腰三角形，则，再列方程求解即可； （2）由的面积是矩形的面积的列方程，解方程可得答案； （3）先分别表示，，，再根据是直角三角形分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故经过4秒，是等腰三角形； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 整理得，，即， ∴， ∴经过3秒，的面积是矩形的面积的； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，则， ∴，（负值舍去）； 当时，即， ∴或（不合题意舍去）， 当时，不存在，舍去， 综上所述，经过秒或秒，是直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崂山区实验学校九年级数学第一次月考 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四个角都是直角 D. 对角线互相垂直 4. 已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD=AB D. ∠BAD＝∠ADC 6. 某初中毕业班的每个同学都希望把自己的照片向全班其他同学赠送一张表示留念，按这样预计将互送870张照片，若这个班共有x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是关于x的方程的两个实数根，已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边长，则周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 29 D. 17或29 8. 如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 8 D. 9 9. 若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有一根等于0 C. 方程两根之和等于0 D. 方程两根之积等于0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程的解为________． 12. 在估算一元二次方程x2＋12x－15＝0的根时，小彬列表如下： x 1 1.1 1.2 1.3 x2＋12x－15 －2 －0.59 0.84 2.29 由此可估算方程x2＋12x－15＝0的一个根x的范围是________． 13. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______. 14. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 15. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 16. 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足___条件时，四边形EFGH是矩形 17. 如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为________ 18. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的序号为 __． 三、作图题：（本小题4分） 19. 已知：矩形ABCD， 求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 四、解答题（共62分） 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 22. 今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）； （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 23. 已知：如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点O， E是BO的中点．过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF． （1）求证：FB=AO； （2）当平行四边形 ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由． 24. 某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计图如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其他三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带． （1）请你计算出游泳池的长和宽； （2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁(共5个面)都贴上瓷砖，共需要费用多少元？ 25. 苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2． 【探究】 （1）如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 【应用】 （2）如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）． 【拓展】 （3）如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值． 26. 在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． （1）经过几秒，是等腰三角形？ （2）是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ （3）是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $