精品解析：广西壮族自治区贵百河-武鸣高中2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解. 【详解】解：， 阴影部分表示的集合为或． 故选：D． 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的变换规则，即可得出正确答案. 【详解】根据全称量词命题的否定，先将全称量词改写为存在量词，再将原命题的结论否定， 可得命题的否定为. 故选：B. 3. 已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由集合M仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 5. 给出下列结论: ①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可 【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确 ,则,即或,所以②错误 因为,所以,即,即,所以③正确 因为,所以,所以④正确. 即正确结论的个数为3 故选：C 6. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 7. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 8. 已知正实数，记，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解． 【详解】由得，， 所以，即， 因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，，当且仅当，即时，等号成立， 故选：A． 【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求．（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. D. 和 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案. 【详解】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数； C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数； D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数. 故选：AC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一计算即可. 【详解】显然当时，，故A错误； 原式可化为：， 当且仅当即时取得等号，故B正确； 由， 所以， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 由， 则，当且仅当时取得等号， 故D正确. 故选：BCD 11. 通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（ ） A. 族为集合上的一个拓扑 B. 族为集合上的一个拓扑 C. 族为集合上的一个拓扑 D. 若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABC，直接由拓扑的定义验证即可；对于D，不妨设族为集合上的一个拓扑，根据补集的性质可证也是一个拓扑. 【详解】对于A， 首先满足条件（1）， 其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2）， 再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确； 对于B，首先满足条件（1）， 其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2）， 再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确； 对于C，不妨设，则，不在中，故C错误； 对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑， 由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在， 且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在， 则， 下证：也是集合上的一个拓扑. 首先满足条件（1）， 其次，设，则， 而，故， 故，同理可证， 故中的有限个元素取交后得到的集合都在中， 任意多个元素取并后得到的集合都在中， 满足条件（3），故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是首先得到利用补集的性质处理，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，若，则实数的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 13. 某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为______． 【答案】120 【解析】 【分析】根据集合交集、并集的性质进行求解即可. 【详解】解：设参加数学讲座的学生的集合为A, 参加音乐讲座的学生的集合为B， 则， 解得：,又， 所以, 则参加讲座的人数为120, 故答案为：120. 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少? 【答案】当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 【解析】 【分析】 设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，则根据题意可得：，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为，可知池底总造价为：；池壁总造价为：；沼气池盖子的造价为3000元 设沼气池总造价为y元，且，由题可得： ，当且仅当，即时，等号成立. 所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 【点睛】本题考查基本不等式在求函数最值中的应用，解题的关键是认真审题，列出函数式，再利用基本不等式求最值，考查学生的分析审题能力与运算求解能力，属于中档题. 16. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【小问1详解】 若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 17. 函数的图象过点 （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）利用单调性定义证明在区间上是增函数； （3）直接写出函数的单调递减区间 【答案】（1），为奇函数 （2）证明:取任意， 则， 又，，，所以， 所以，即， 即在区间上是增函数. （3）， 【解析】 【分析】（1）代入点，求得，再利用奇函数的定义进行判断即可； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）结合（2）中的结论与的奇偶性即可得解. 【小问1详解】 因为的图象过点， 所以，则. 此时，则为奇函数，理由如下： 易知的定义域为，关于原点对称， 又，则，所以， 所以是奇函数． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）易知，当时，， 所以在上单调递减， 又是奇函数，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的单调递减区间为，. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式可化为.先求解的解集，进而解出时，得出的解集.然后分为与，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （3）不等式转化为，分离参数得出.换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围. 【小问1详解】 ①当，即时，原不等式化为， 解集为，不合题意； ②当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 则应有． 即，解得. 综上，m的取值范围是. 【小问2详解】 由已知可得， 即，即. （i）当，即时，不等式化为，解得； （ⅱ）当时，有， 解可得，或. ①当，又可得，即时，有， 则解可得，或； ②当，有， 解可得，． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 不等式，即， 即． 恒成立，. 设，，． ． ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以m的取值范围是． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可； （2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可； （3）作出的图象，然后利用函数平移求解． 【小问1详解】 是：因为，，； 不是，反例：当时，． 【小问2详解】 由题意得，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数， 要保证对恒成立，则， 即， 解得， 所以满足题意的最小正整数为9． 【小问3详解】 根据题意， 当时，，当时，， 因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示： 所以， 若是R上的增长函数，则对任意的，都有， 因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增的一次函数，即转化为对恒成立，这样求解方便快捷. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 5. 给出下列结论: ①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数，记，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求．（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. D. 和 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 11. 通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（ ） A. 族为集合上的一个拓扑 B. 族为集合上的一个拓扑 C. 族为集合上的一个拓扑 D. 若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，若，则实数的值是________． 13. 某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为______． 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少? 16. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 17. 函数的图象过点 （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）利用单调性定义证明在区间上是增函数； （3）直接写出函数的单调递减区间 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $