6.5 正态分布 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第六章 概率 5 .1 正态分布 2023级高二数学集体备课组 修水县第一中学 修水县第一中学 学习目标 问题提出 前面讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一一列举的.但在实际问题中，还有许多随机变量可以取某一区间中的所有值.变量取值是连续的，即连续型随机变量，例如： 1.某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取区间内的所有值. 2.某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变量，它可以取区间或内的所有值. 新知学习 思考 怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？ 修水县第一中学 修水县第一中学 分析理解 我们来看一个产品寿命的例子.设表示某产品的寿命（单位：h）.人们对该产品有如下的了解：寿命小于500 h的概率为0.71，寿命在500 h~800 h的概率为0.22，寿命在800 h~1 000 h的概率为0.07，由此我们可以画出右图. 尝试与发现 但此图是比较粗糙的，例如，它没有告诉我们产品寿命在200 h~400 h的概率到底是多少.如果需了解得更多，图中的区间应分得更细，如图. 修水县第一中学 修水县第一中学 如果知道了随机变量的分布密度曲线，则取值于区间的概率是该曲线下相应“曲边梯形”（如图中的阴影部分）的面积. 人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的.一般地，误差在0附近的概率大，远离0的概率小，误差大于0的概率与小于0的概率相同，即误差的分布具有对称性.因此，这一类连续型随机变量X的分布密度曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线（如右图）. 为了完全了解产品寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最终得到一条曲线，如图.这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数，记为. 修水县第一中学 修水县第一中学 抽象概括 由误差引起的连续型随机变量的分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为 ， 其中实数为参数， 这一类随机变量X的分布密度（函数）称为正态分布密度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. 修水县第一中学 修水县第一中学 正态分布的特点： 如果一个随机变量X服从正态正态曲线分布，那么对于任何实数，随机变量X在区间的概率可以用来表示. 它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间对应的曲边梯形面积的值（如图）. 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数 确定，记为.其中. 修水县第一中学 修水县第一中学 正态曲线的性质： （1）曲线在轴的上方，与轴不相交. （2）曲线是单峰的，关于直线对称. （3）曲线的最高点位于处. （4）当时，曲线上升；当时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线（如图）. 修水县第一中学 修水县第一中学 例1　根据正态曲线的函数解析式，找出其均值和标准差.  （1），； （2），. 【解】将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得 （1）； （2）.   典例剖析 修水县第一中学 修水县第一中学 因为正态分布完全由和确定，所以正态曲线还具有下列特点： （1）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移. （2）当一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中. 修水县第一中学 修水县第一中学 如图，正态分布随机变量在区间上取值的概率为阴影部分的面积.特别地， 因此，随机变量在区间上取值的概率分别约为68.3%，95.4%，99.7%. 而随机变量X在区间外取值的概率只有0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件. 因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取区间之间的值，并称之为原则. 修水县第一中学 修水县第一中学 典例解析 例2 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积（精确到0.001） （1）[μ，+∞]； （2）[μ -σ ，μ+σ] ; （3）[μ-2σ，μ+2σ]; （4）[μ-3σ，μ+3σ]. 【解】 （1）因为正态曲线关于x=μ对称，且它与x轴所围成的面积为1，所以所求面积为0.5. （2）利用对称性可知，所求面积为[μ，μ+σ] 内面积的2倍，即约为 0.3413×2=0.6826≈0.683. （3）利用对称性可知，所求面积为 (0.3413+0.1359)×2=0.9544≈0.954. （4）利用对称性可知，所求面积为 (0.3413+0.1359+0.0215)×2=0.9974≈0.997. 典例剖析 修水县第一中学 修水县第一中学 例3　某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理？ 【解】检查员的决定是有道理的，理由如下： 当该设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为， 所以根据正态分布的性质可知产品质量在区间，即之间的概率约为99.7%，而产品的质量超出这个范围的概率只有0.3%，这是一个几乎不可能发生的事件. 但是，检查员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行可能不正常， 因此 小概率事件发生，拒绝统计假设.检查员的决定是有道理的. 典例剖析 修水县第一中学 修水县第一中学 反思感悟 服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间面积为1. (2)注意概率值的求解转化: ①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);③若b<μ,则P(X<b)=. (3)熟记 P(μ-σ≤X≤μ+σ), P(μ-2σ≤X≤μ+2σ), P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) 的值. 归纳总结 修水县第一中学 修水县第一中学 跟踪训练 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数. 跟踪训练 【解】 μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ), ∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1, ∴P(X-μ<-σ)=0.158 5.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 5=0.841 5. ∴54×0.841 5≈45(人),即及格人数约为45人. ∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ), ∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1, ∴P(X-μ>σ)=0.158 5,即P(X>130)=0.158 5. ∴54×0.158 5≈9(人),即130分以上的人数约为9人. 【点评】（1）本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出. （2）解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ], [μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 修水县第一中学 修水县第一中学 1.下列函数是正态分布密度函数的是(　　) 当堂达标 【解析】对照正态分布密度函数:f(x)=(x∈R),注意指数中的σ和系数的分母中的σ要一致,以及指数部分是一个负数. B 【解析】 ∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0. ∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B. 2.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为(　　) A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1 B 随堂小测 修水县第一中学 修水县第一中学 【解析】因为月收入服从正态分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520. 所以月均收入在[480,520]范围内的概率为0.683. 由图像的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比约为34.15%. 3.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为　 　.  34.15% 【解析】零件尺寸属于区间[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]内取值的概率约为95.4%, 故零件尺寸不属于区间[1,5]内的概率为1-95.4%=4.6%. 4.某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围的零件数约占总数的　 　.  4.6% 修水县第一中学 修水县第一中学 【解】如图,易得P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2),故P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8. 5.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,求ξ在(0,2)内取值的概率. 【解】(1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示), 又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2. (2)P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)≈0.954. 6.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1). (1)求c的值; (2)求P(-4≤X≤8). 修水县第一中学 修水县第一中学 修水县第一中学 18 修水县第一中学 19 1.正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计． 2.因为P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.3%，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 课堂小结 修水县第一中学 修水县第一中学 ▲必做题： 教材第224页 A组题1、2 课后作业 ▲选做题： 教材第224页 A组题3、4 修水县第一中学 修水县第一中学 谢 谢 观 看 修水县第一中学 修水县第一中学 A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是实数 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 7.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征之一．考试作为一种公平、公正选拔人才的有效途径，已被广泛采用．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分．本次招聘考试的成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的考生有30名． (1)求最低录取分数(结果保留整数)． (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由． 参考数据：(1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝eq \f(X－μ,σ)，则Y～N(0，1)．(2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 【解】(1)设考生的成绩为X，由题意可得X服从正态分布，即X～N(180，σ2)，令Y＝eq \f(X－180,σ)，则Y～N(0，1)．由360分及以上的考生有30名，可得P(X≥360)＝eq \f(30,2 000)，则P(X<360)＝1－eq \f(30,2 000)＝0.985， 即有P(Y<eq \f(360－180,σ))＝0.985，则eq \f(360－180,σ)≈2.17，可得σ≈82.9，则X～N(180，82.92)． 设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P(Y≥eq \f(x0－180,82.9))＝eq \f(300,2 000)， 即有P(Y<eq \f(x0－180,82.9))＝1－eq \f(300,2 000)＝0.85，即有eq \f(x0－180,82.9)≈1.04，可得x0≈266，即最低录取分数约为266. (2)P(X<286)＝P(Y<eq \f(286－180,82.9))≈P(Y<1.28)≈0.900， 表明不低于考生甲的成绩的人数大约占总人数的1－0.900＝0.100， 即考生甲大约排在第2 000×0.100＝200(名)，所以能获得高薪职位． $$