6.1.2乘法公式与事件的独立性课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第六章 概 率 2023级高二数学集体备课组 1.2 乘法公式与事件的独立性 §1 随机事件的条件概率 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 新知学习 1.条件概率乘法公式 推广   推广到三个事件： .   一般地，与次序无关.   由条件概率的定义，则有 　　　　　　　　　（其中）. ① 同理，　　　　　 （其中）. ② 称公式①②为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率.   江西省修水县第一中学 例1　 已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同.   （1）先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率；   （2）从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率.   典例剖析 【解】设事件 表示“第次摸到的是黑球” ，则事件表示“两次摸到的均为黑球”. （1）由题意知，.于是，根据乘法公式，有 . 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑前两次摸到白球.球的概率为. 江西省修水县第一中学 【解】设事件 表示“第次摸到的是黑球” ，则事件表示“两次摸到的均为黑球”. （2）设事件表示“第三次才摸到黑球”，则. 由题意知，|，|. 于是，根据乘法公式，有P（）＝P||×=. 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为. 例1　 已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同.   （1）先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率；   （2）从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率.   江西省修水县第一中学 新知学习 2.事件的独立性 回顾事件独立性的概念我们知道，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件. 例如，在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次出现的点数”中，若事件A表示“第一次掷出1点”，事件B表示“第二次掷出1点”，则事件A与B即为相互独立事件. 不仅如此，结合古典概型，我们还得出两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即 下面我们从条件概率的角度进行分析. 江西省修水县第一中学 反之，若，且，则， 再由可知 因此事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，即事件A与事件B相互独立.因此， 事件A与事件B相互独立. 这也就同时说明,当P(A|B)≠P(A)时,事件B的发生会影响事件A发生的概率,此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等. 由条件概率的定义，得. 若事件A与事件B相互独立，即事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则从而； 江西省修水县第一中学 反思感悟 相互独立事件是针对两个（或两个以上）事件而言的，如果两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，那么它们就是相互独立事件，即 如果或 那么相互独立. 若A与B是相互独立事件，则必有. 推广：若事件相互独立， 则这n个事件同时发生的概率 江西省修水县第一中学 例 2 口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同，连摸两次，每次摸一球.记事件A表示“第一次摸得黑球”，事件B表示“第二次摸得黑球”.在放回摸球和不放回摸球两种情况下，事件A与事件B是否独立？ 【解】①放回摸球：依题意有，，. 因此，即放回摸球时事件A与事件B独立. ②不放回摸球：依题意有，， . 因此，即不放回摸球时事件A与事件B不独立. 典例剖析 【分析】放回摸球和不放回摸球这两种情况均可从以下两个方面来判断事件A与事件B是否独立. （1） 是否成立； （2）是否成立. 江西省修水县第一中学 反思感悟 两个事件是否独立的判断 (1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)定义法:当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B独立. (3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 江西省修水县第一中学 跟踪训练1 把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否独立? (1)A={掷出偶数点},B={掷出奇数点}; (2)A={掷出偶数点},B={掷出3的倍数点}; (3)A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于4}. 解:(1)∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,∴A与B不独立. (2)∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=,∴P(AB)=P(A)P(B),∴A与B独立. (3)∵P(A)=,P(B)=,P(AB)=,∴P(AB)≠P(A)P(B),∴A与B不独立. 江西省修水县第一中学 例3　如图，用三类不同的元件连接成两个系统.当元件都正常工作时，系统正常工作；当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90. （1）求系统正常工作的概率； （2）求系统正常工作的概率. 典例剖析 【解】设事件表示“元件正常工作”，事件表示“元件正常工作”，事件表示“元件正常工作”. （1）依题意知. 故系统N1正常工作的概率为0.648. 江西省修水县第一中学 例3　如图，用三类不同的元件连接成两个系统.当元件都正常工作时，系统正常工作；当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90. （1）求系统正常工作的概率； （2）求系统正常工作的概率. 典例剖析 【解】设事件表示“元件正常工作”，事件表示“元件正常工作”，事件表示“元件正常工作”. （2）依题意知    .   故系统正常工作的概率为0.792.   江西省修水县第一中学 反思感悟 与相互独立事件有关的概率问题求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB. (3)A,B都不发生为事件. (4)A,B恰有一个发生为事件AB. (5)A,B中至多有一个发生为事件AB+. 江西省修水县第一中学 跟踪训练2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 【分析】 (1)这三列火车之间是否正点到达互不影响,因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题,注意两列正点到达所包含的情况. 【解】用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, 所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1. (1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P() =0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. 江西省修水县第一中学 【分析】 (2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达,这种情况比正面列举简单些,因此利用对立事件的概率公式求解. 【解】用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, 所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994. 跟踪训练2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 江西省修水县第一中学 1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,则有(　　) A.A与B相互独立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B) C.A与B互斥 D.P(AB)= 随堂小测 A 2.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是(　　) A. B. C. D.1 解析:记甲、乙两人通过听力测试分别为事件A,B,则可得P(A)=,P(B)=,两人中有且只有一人能通过为事件B+A,故所求概率为P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=. C 江西省修水县第一中学 3.在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出1颗棋子,则第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率是　　　.  解析:第1次摸出红棋子的概率是,第2次摸出绿棋子的概率是,根据相互独立事件的概率公式可得所求概率为P=. 4.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为,则此射手的命中率是　　　.　　 解析:设此射手每次射击命中的概率为P,分析可得,至少命中一次的对立事件为射四次全都没有命中,由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-,则(1-P)4=,解得P=. 江西省修水县第一中学 课堂小结 1.条件概率乘法公式 （其中）. （其中）. 2.事件的独立性 事件A与事件B相互独立. 江西省修水县第一中学 ▲必做题： 教材第183页 练习题1、2、3、4 课后作业 ▲选做题： 教材第188页 习题 6-1 A组题6、8 习题 6-1 B组题1 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 $$