5.1.3基本计数原理的简单应用 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章 计数原理 §1.3基本计数原理的简单应用 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 完成一件事，可以有 类办法， 在第1类办法中有 种方法， 在第2类办法中有 种方法， 在第 n 类办法中有 种不同的方法， 那么，完成这件事共有 种不同的方法. 完成一件事需要经过 个步骤， 缺一不可， 做第1步有 种不同的方法， 做第2步有 种不同的方法， 做第 n 步有 种不同的方法， 那么，完成这件事共有 种方法. 回顾复习 江西省修水县第一中学 例题精讲 例1 在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 说一说 ①能够被5整除的数的特征是什么？ 末位数字是0或5 确定自然数1~200中末位是0或5的数的个数 分末位是0和末位是5两类进行计数 ②该问题中需要完成的“一件事”是什么？ ③如何完成“这件事”？ 江西省修水县第一中学 2024/10/30 3 解 能够被5整除的数，末位数字是0或5， 思考 本题能够顺利求解的关键是什么？ ①准确指出问题中的“一件事”；②按照明确的标准给问题分类． 例1 在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 第1类，末位数字是0的数，共有20个； 第2类，末位数字是5的数，共有20个. 因此，我们把1，2，3.…，200中能够被5整除的数分成2类来计数： 根据分类加法计数原理，在1，2，3.…，200中，能够被5整除的数共有 个． 例题精讲 江西省修水县第一中学 2024/10/30 4 例2 如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？ 说一说 ①本题目要完成的“一件事”是什么？ 分步完成 第一步，从A村到达B村 第二步，从B村到达C村 第三步，从C村到达D村 有3条路可选择； 有2条路可选择； 有3条路可选择； 思考 数的乘法与加法的关系？ 1.两个计数原理本质一致 2.乘法原理是加法原理的简化 由分步乘法计数原理 ②如何完成？ A B C D 例题精讲 江西省修水县第一中学 2024/10/30 5 例3　有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加. （1）若只需1名参加，共有多少种选法？ （2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？ 解（1）只要选出1名就可以完成这件事，而选出的1名有3种不同类型，即教师、男学生或女学生，因此要分3类相加： 第1类，选出的是教师，有3种选法； 第2类，选出的是男学生，有8种选法； 第3类，选出的是女学生，有5种选法； 根据分类加法计数原理，共有 种选法. 例题精讲 江西省修水县第一中学 2024/10/30 6 例3　有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加. （1）若只需1名参加，共有多少种选法？ （2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？ （2）完成这件事，需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生，可以先选教师，再选男学生，最后选女学生，因此要分3步相乘： 第1步，选1名教师，有3种选法； 第2步，选1名男学生，有8种选法； 第3步，选1名女学生，有5种选法. 根据分步乘法计数原理，共有 种选法. 解 例题精讲 江西省修水县第一中学 利用基本计数原理解决问题的一般步骤： （1）认真审题，弄清楚要完成的一件事情是什么. （2）根据要完成的一件事情的特点，确定是分类还是分步才能完成这件事情. （3）确定好分类、分步的标准，弄清楚每一类、每一步中的方法种数. （4）根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列式求解. 例题精讲 江西省修水县第一中学 例4　现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有( 　) A．24种　　　B．30种　　　 C．36种 　　　D．48种 D ① ② ③ ④ 解 对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法， 对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法， 对于区域③，与区域①②相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法， 对于区域④，与区域②③相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法， 则不同的涂色方法有 (种)；故选D. 例题精讲 江西省修水县第一中学 问题2 问题剖析 跟踪训练 1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．20种 　 　B．15种 C．10种 　 　D．4种 解 B 若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法， 若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法， 若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法， 若4本都是数学参考书，则有1种方法， 所以不同的赠送方法共有 (种).故选B. 分类讨论，不重不漏 江西省修水县第一中学 2024/10/30 10 2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是(　　) A． B． C． D． A 解 第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法． 故选A. 跟踪训练 江西省修水县第一中学 3.如图，A ， B ， C ， D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有(　　) C A．8种　　　B．12种 C.16种 D．20种 解 (方法一) 分为以下两类： 第一类，从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路，共有4种方法； 根据分类加法计数原理，共有 (种). 　(方法二) 列举法 第二类，一个村最多修两条路，但是像A-B-C-D，D-C-B-A对应一种修路方法，重复了一次，因此共有 种方法； 跟踪训练 A C B D 江西省修水县第一中学 2024/10/30 12 4.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法? 第二类：含甲，从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有1×2=2(种)选法. 解 由题意知，有1人既会英语又会日语，记为甲，6人只会英语，2人只会日语. (方法一)根据会英语的人中是否含甲，分两类. 第一类：不含甲，从只会英语的6人中选1人有6种选法，从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有6×3=18(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18+2=20(种)选法. 跟踪训练 复杂问题先分类后分步. 江西省修水县第一中学 (乘法原理) 可分两步：第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有62=12(种)不同的选法. (方法二)设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选和不入选两类情形，入选后又分两种情况：(1)教英语，(2)教日语. 第一类：甲入选. (2)甲教日语再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有16=6(种)选法. 第二类：甲不入选. 综上，共有812=20(种)不同的选法. 故甲入选的不同选法共有26=8(种). 跟踪训练 (1)甲教英语再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有12=2(种)选法； 江西省修水县第一中学 1.两个原理的联系 ①两个计数原理本质一致 ②乘法原理是加法原理的简化 2.利用基本计数原理解决问题的一般步骤： （1）弄清楚要完成的一件什么事. （2）确定是分类还是分步. （3）确定好分类、分步的标准，弄清楚每一类、每一步中的方法种数. （4）根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列式求解. 课堂小结 注意：①分类讨论不重不漏 ②复杂问题先分类后分步. 江西省修水县第一中学 ▲必做题： 教材第162页 习题5-1 A组题1、2、3 课后作业 ▲选做题： 教材第162页 习题 5-1 B组题1 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 $$