5.1.3 基本计数原理的简单应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 基本计数原理 1 1.3 基本计数原理的简单应用 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 分配问题 探究点二 数字问题 探究点三 涂色问题 3 【学习目标】 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别. 2.会正确应用这两个计数原理计数. 4 知识点 两个计数原理的联系与区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 都是解决求完成一件事不同的__________问题,都是对复杂事件的 ______ 区别 完成一件事情,共有 类方法,关键 是“分类” 完成一件事情,共有 个步骤,关键 是“分步” 各类方法相互独立 各个步骤中的方法相互依存 任何一类方法__________这件事 各个步骤都完成__________这件 事 可利用“______”电路来理解 可利用“______”电路来理解 方法种数 分解 都可做完 才能做完 并联 串联 课 前 预 习 5 【诊断分析】 如何区分一个问题是“分类”还是“分步”? 解:若完成一件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成这件事,则 是分类;若从其中一种情况中任取一种方法只能完成这件事的一部分,且只有依次 完成各种情况,才能完成这件事,则是分步. 课 前 预 习 6 探究点一 分配问题 例1 若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任 选一处景点旅游，每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的 选择方法有( ) C A.16种 B.18种 C.37种 D.40种 课 中 探 究 7 [解析] 方法一（直接法） 满足题意的不同的选择方法有以下三类: 三个人中只有一个人去丽江，有 （种） 选择方法； 三个人中有两个人去丽江，有 （种） 选择方法； 三个人都去丽江，有1种选择方法. 综上，共有 （种）不同的选择方法. 方法二（排除法）三个人去四个景点，有 （种） 选择方法， 没有人去丽江，有（种） 选择方法. 综上，共有 （种）不同的选择方法.故选C. 课 中 探 究 8 变式 有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担任语文、数学、英语、物理 学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_____种. （用数字作答） [解析] 若某女生必须担任语文课代表， 则再从剩下的10人中选3人分别担任数学、英语、物理学科的课代表， 有 （种）选法， 根据分步乘法计数原理可得，共有 （种）选法. 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 解决抽取（分配）问题的方法 （1）当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法 计算抽取方法数. （2）当涉及对象数目较大时,一般有两种方法: ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算抽取方法数.一般地,若按 顺序抽取,则分步进行;若按对象特征抽取,则分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取 方法数即可. 课 中 探 究 10 拓展 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有____种不同的选法. [解析] 由题意知，有1人既会英语又会日语，有6人只会英语，有2人只会日语， 从9人中选出会英语和日语的各一人，共分三类： 第一类，当选出的会英语的人既会英语又会日语时，再选会日语的人，有2种选法； 第二类，当选出的会日语的人既会英语又会日语时，再选会英语的人，有6种选法； 第三类，当既会英语又会日语的人不参与选择时， 则需从只会日语和只会英语的人中各选一人，有（种）选法. 故共有 （种）选法. 课 中 探 究 11 探究点二 数字问题 例2 已知一个三位数中的数字从0，1，2，3，4中任意选取. （1）如果三位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？ 解：三位数先考虑百位，共4种不同选择，再考虑十位，共4种不同选择， 最后考虑个位，共3种不同选择，故能得到 （个）不同的三位数. （2）如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？ 解：三位数先考虑百位，共4种不同选择，再考虑十位，共5种不同选择， 最后考虑个位，共5种不同选择，故能得到 （个）不同的三位数. 课 中 探 究 12 变式 由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数，则满足题 意的五位数的个数为( ) C A.24 B.48 C.60 D.62 [解析] 由题意，分两种情况： 若个位为0，则共有 （个）五位数； 若个位为2或4，则首位有3种选择，共有 （个）五位数. 则共有 （个）五位数，故选C. 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 解决数字问题的方法 （1）对于组成数字的问题,一般按特殊位置（通常是末位或首位）优先的方法 分类或分步完成.如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解. （2）解决组成数字的问题时,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于 挖掘. ［提醒］ 数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 课 中 探 究 14 探究点三 涂色问题 例3 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如 图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域.现有5种不同的花卉可 供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只 布置一种花卉，则不同的布置方案有( ) C A.120种 B.240种 C.420种 D.720种 课 中 探 究 15 [解析] 如图，先在A中种植，有5种不同的选择， 再在B中种植，有4种不同的选择， 再在C中种植，有3种不同的选择， 再在D中种植，若D与B种植同一种花卉，则有3种不同的选择， 若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择， 有2种不同的选择， 故不同的布置方案有 （种）.故选C. 课 中 探 究 16 变式 如图，用6种不同的颜色给图中，，， 四块区域涂色，若相邻区 域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种. [解析] 从开始涂色，有6种涂色方法，有5种涂色方法， 有4种涂色方法. 由与，不同色，与可以同色也可以不同色，可知 有4种涂色方法. 故共有 （种）涂色方法. 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计数原理,常用思路有: （1）按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理求解; （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类 加法计数原理求解; （3）对于空间中的涂色问题,可将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题求解. 课 中 探 究 18 拓展 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色， 并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有4种颜色可供 使用，则不同的染色方法有____种. [解析] 分两种情况，即，同色与， 不同色来讨论. ，同色：的染色方法有4种，的染色方法有3种，的染色方法有2种， 的染色方法有1种， 的染色方法有2种. 与不同色：的染色方法有4种，的染色方法有3种，的染色方法有2种, 的染色方法有1种， 的染色方法有1种. 综上，共有 （种）染色方法. 课 中 探 究 19 $