3.4.1直线的方向向量与平面的法向量 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 一　空间中点的位置向量 新知学习 如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量 来表示.我们把向量 称为点P 的位置向量. 江西省修水县第一中学 二　直线的方向向量 如图，设点是直线上不重合的任意两点，称为直线的方向向量. 与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 思考　直线的方向向量是不是唯一的？ 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量. 解题时，可以选取坐标最简的方向向量. 如图，已知点是直线上的一点，非零向量是直线的一个方向向量.那么对于直线上的任意一点，一定存在实数，使得. 我们把这个式子称为直线的向量表示. 新知学习 江西省修水县第一中学 三　平面的法向量 如果一条直线与一个平面垂直，那么就把直线的方向向量叫作平面的法向量，则 . 思考　平面的法向量是不是唯一的？ 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取. 如图，设点是平面内给定的一点，向量是平面的一个法向量，那么对于平面内任意一点，必有·＝0. 新知学习 江西省修水县第一中学 判断正误 1.若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反.(　　) 2.平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量.(　　) 3.直线的方向向量是唯一的.(　　) √ × × 即时巩固 江西省修水县第一中学 一、直线的方向向量 例1　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线 l 过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（ ） A ∴－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k. ∴y－z＝0. 典例剖析 江西省修水县第一中学 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_____________，直线BC1的一个方向向量为________. (不唯一)(0,0,1) (0,1,1) 直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 典例剖析 江西省修水县第一中学 二、直线的方向向量 例2 求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得　 典例剖析 证明 如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得 又因为 所以 整理，得 O P A B 江西省修水县第一中学 反思感悟 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 江西省修水县第一中学 跟踪训练　(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) AB 故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量. (2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长| |＝34，则B点的坐标为（ ） 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12) ， 所以x＝18，y＝17，z＝－17. A 江西省修水县第一中学 二、求平面的法向量 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 江西省修水县第一中学 反思感悟 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如 ； (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (3)联立方程组 并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 江西省修水县第一中学 跟踪训练　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量. 解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)， 故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1). 江西省修水县第一中学 1.若A( －1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) A 随堂小测 2.若n＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ） A.(0，－3,1) B.(2,0,1) C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1) 解析　求与n共线的一个向量.易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1). D 3.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为______. 即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0. ∵x∈[0，π]， 江西省修水县第一中学 ①②③ ∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确. 随堂小测 江西省修水县第一中学 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 课堂小结 江西省修水县第一中学 ▲必做题： 教材第122、124页 习题 课后作业 ▲选做题： 教材第140页 A组题 ▲课后训练： 高中同步测控优化设计 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 A.0 B.1 C. D.3 解析　∵A(0，y，3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3), ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，故设＝km. 解得 k＝－，y＝z＝. 解析　∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)， BC1∥AD1，＝(0，1,1), 因为||＝34，即＝34，得λ＝2， 解析　∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)， A.(18,17，－17) B. (－14，－19,17) C. D. 解析　设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)， 于是＝.＝(1，，0). 则即 令y＝－1，则x＝z＝. 所以 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，). 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为 x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则D(0，，0)，P(0,0,1)，E，C(1，，0)， ， ∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0). 则有即 解得令z＝1，则x＝y＝3. ∴x＝或x＝. 解析　因为＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量. 解析　由OP⊥OQ，得·＝0， 或 ∴cos x＝0或cos x＝. ∴与不平行，故④错误. 4.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________.(填序号) 解析　∵·＝0，·＝0， 又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确， 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， $$