3.3.1空间向量基本定理 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 3.3.1 空间向量基本定理 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 数学 在平面内，任意给定两个不共线的向量，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量，存在唯一的有序实数对，使得.特别地，当为直角坐标平面内的向量时，向量就与坐标建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便.那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图，设是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，是否可以用向量来表示向量？ 情境导入 江西省修水县第一中学 数学 情境导入 江西省修水县第一中学 数学 3 知识要点2 情境导入 江西省修水县第一中学 数学 4 知识要点2 一、空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个 的向量， p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝ . 我们把{a，b，c}叫作空间的一组 ，a，b，c都叫作基向量. 注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基. 不共面 xa＋yb＋zc 基 思考：零向量能否作为基向量？ 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面. 新知讲解 江西省修水县第一中学 数学 判断正误： 1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一组基.(　　) 2.若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量.(　　) 3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基，则一定有a与b共线.(　　) 4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(　　) × √ × √ 新知讲解 江西省修水县第一中学 数学 ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， 例题讲解 江西省修水县第一中学 数学 反思感悟 基的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面， 若不共面，就可以作为一组基. (2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体， 用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其 他向量进行相关的判断. 江西省修水县第一中学 数学 跟踪训练　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 B 解析　因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面. 如图， 可知向量b，c，z 和 x，y，a＋b＋c不共面，故选 B. 江西省修水县第一中学 数学 (2) 已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线， 则x＋y＝_____. 0 解析　因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c). 所以 x＋y＝0. 江西省修水县第一中学 数学 例2 在平行六面体ABCD-A‘B’C‘D’中，点M是 A'B'C'D'的对角线的交点，点N是棱BC的中点.如果, ,试用,表示. 解 因为点M是 A'B'C'D'的对角线的交点， 所以 (). 又，，-= 所以 例题讲解 江西省修水县第一中学 数学 反思感悟 反思感悟 用基底表示向量的步骤 (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 江西省修水县第一中学 数学 跟踪训练 解　连接BO， 江西省修水县第一中学 数学 1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基的一组向量是（ ） A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2a C.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c C 解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基； 同理可判断B，D中的向量共面.故选C. B 小试牛刀 江西省修水县第一中学 数学 D 解析　取PC的中点E，连接NE， 江西省修水县第一中学 数学 15 BD 4.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是（ ） 因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1, 由上可知，BD满足要求. 江西省修水县第一中学 数学 5.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________. ∴PC＝7. 7 江西省修水县第一中学 数学 6. ［2020·安徽宿州高二期末］如图所示，已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 江西省修水县第一中学 数学 解 设＝，＝，＝.由题可知两两之间的夹角均为， 且||＝||＝1，||＝2. （1）证明：因为·＝·（-）＝·（）＝＝1-1＝0， 所以⊥， 所以⊥. （2）因为＝++＝，又＝-， 所以||＝＝，||＝1. 又·＝-·（）＝-，所以cos 〈，〉＝＝＝-. 又异面直线夹角的取值范围为，所以异面直线夹角的余弦值为. 江西省修水县第一中学 数学 1.知识清单： (1)空间的基.(2)空间向量基本定理.(3)空间向量基本定理的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件. (2)运算错误：利用基表示向量时计算要细心. (3)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义. 课堂小结 江西省修水县第一中学 数学 ▲必做题： 教材第111页 习题1-4 A组题 课后作业 ▲选做题： 教材第118页 B组题 ▲课后训练： 高中同步测控优化设计 江西省修水县第一中学 数学 如图3-25(2),过空间任意一点O作 , , .因为向量 不共面，所以O,A,B,C四点 不共面. 作 . 当点P不在直线OC上时，过点P作与0C平行的直线交平面AOB于点Q ,则 // ,故存在实数Z,使得 . 在平面AOB，由平面向向量基本定理可知： 存在唯一的有序实数对(x,y)，使得 . 从而,存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得 . 当点P在直线OC上，则 ,故存在唯一的实数z,使得 .从而也存在唯一的三元有序实数组(x,y,z) = (0,0,z),使得 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一个基. 例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基. 解　假设，，共面. 则x＝，y＝，z＝， a＋b＋c＝. 令a＝，b＝，c＝， 所以 所以 则＝＝(＋)＝(＋＋) ＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋) ＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋) ＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，. 解析　＝＋＝＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝＋＋＝＋＋， 对比＝x＋y＋z，得x＝y＝z＝1. 2.正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基，＝x＋y＋z，则（ ） A.x＝y＝z＝ B.x＝y＝z＝1 C.x＝y＝z＝ D.x＝y＝z＝2 则＝－＝－(－) ＝－＝－ ＝－－(－＋＋) ＝－－＋， 比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D. 3.点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为（ ） A.－，， B.，－， C.－，，－ D.－，－， 1＋＋＝≠1，＋＋＝1， A.＝2－－ B.＝＋－ C.＝＋＋ D.＝＋＋ 解析　根据“＝x＋y＋z ，若 x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C 共面”， ∴||2＝·＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49. 解析　∵＝＋＋， $$