3.2.2 空间向量的运算 课件-2024-2025学年北师大版（2019）高二上学期数学选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间向量的数量积运算 2023级高二数学集体备课组 修水县第一中学 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中,如何确定 的夹角？ 情景引入 问题1：平面向量夹角如何定义?类比平面向量夹角的概念， 思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义. 一．空间向量的夹角 1.已知两个非零向量a,b,在空间内任取一点O,作 =a, =b, 则 叫作a,b的夹角,记作 . a b A B 新课探究 练习1 如图所示是一个正方体，M、N分别是正方体棱 的中点，求下列各对向量的夹角. 二．空间向量数量积——定义 问题2：类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积 的定义？ 规定:零向量与任意向量的数量积为0. 注意:空间向量的数量积是实数,而不是向量. 思考：请你类比平面向量说出空间向量的数量积a·b有哪些性质？ 与平面向量类似，空间向量的数量积运算也满足如下运算律： 思考：空间向量的数量积运算满足结合律吗？ 练习2 8 三、空间向量的投影 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b, 过点B作直线OA的垂线,垂直点为 ,称向量 为向量b在向量 a方向上的投影向量,其长度等于 问题3：类比平面向量的投影,思考如何定义空间向量的投影. 数量积的几何意义 D A B C A' B' C' D' 例1 应用举例 解 例2 C D A' B' C' D' A B C D A' B' C' D' A B 利用数量积证明垂直问题 例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. 又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD. 应用举例 反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 应用提升 解 17 1.空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义:利用 ,并结合运算律进行计算． (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入 求解. 课堂小结 (1)求两个向量的夹角有两种方法:一种是结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围;另一种是先求 </ \ 3.求空间向量夹角的思路 (2)异面直线的夹角可以转化为向量夹角求解. ,再利用公式 求 ,最后确定 . ▲必做题： 教材第106-107页 习题3-2 A组题7~12 课后作业 ▲选做题： 教材第107页 习题 1-3 B组题 3 ▲课后训练： 高中同步测控优化设计 第30页 1-8题 修水县第一中学 ＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c， ∴·＝·(b－a) ＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a ＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0. 于是⊥，即A1O⊥BD. 同理可证⊥，即A1O⊥OG. 证明　设＝a，＝b，＝c， ∵＝＋＝＋(＋) ＝c＋a＋b， ＝－＝b－a， $$