2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题 课件-2024-2025学年北师大版（2019）高二上学期数学选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题（第一课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.掌握直线与圆锥曲线的三种位置关系； 2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的相交弦长问题，体会设而不求的简便； 3.加强数形结合思想的训练与应用. 核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象 学习目标 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例1 如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆 +＝1的左焦点，与椭圆相交于两点，求：（1）线段的中点M的坐标； （2）的值. 典例剖析 解：由题意知椭圆的左焦点的坐标为（-1，0），直线的方程为. 解方程组得 因此 ，. （1）设线段的中点M的坐标为，则，. 所以线段的中点的坐标为. （2）＝.   江西省修水县第一中学 修水县第一中学 在解析几何中，代数运算是处理问题的重要方式，因此，“如何算？”成为解析几何中一个非常重要的问题，反思上面例1的求解过程，可否通过优化运算的顺序，实现运算的简化呢？ 思考 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于(　　) A. B.2 C. D.15 解析:令直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2), 由得4x2-8x+1=0,∴x1+x2=2,x1x2=, ∴|AB|==. A 跟踪训练 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例2 已知直线过椭圆 +＝1的中心，且交椭圆于两点，求的取值范围. 典例剖析 解：（1）当直线的斜率不存在时（如图）， 直线，代入椭圆方程解得（0，），（0，-）， 所以＝. （2）当直线l的斜率存在时（如图）， 设直线l的方程为. 将椭圆方程化简、整理，得 将直线和椭圆方程联立，得  将②代入①，得，化简、整理，得. 　 　③　 　 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 显然，无论取何值，方程③都有实数解，. 由两点间的距离公式，可得 　　　　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　　　　＝＝. 为了便于求的取值范围，将④进行变形整理，得|AB|＝. 因为，由不等式的性质可得0<，所以4. 综合（1）和（2）的结果，的取值范围为［，4］ .   江西省修水县第一中学 修水县第一中学 2. 已知直线经过原点且交椭圆+＝1于两点，求的最大值，并求此时的直线的方程. 解析：直线与椭圆的两个交点是关于对称中心即原点对称的， 所以. 因为点在椭圆上，所以＝12，得， 所以＝2. 又，所以|max＝＝4， 此时点的坐标为（2，0）或（-2，0），直线的方程为   跟踪训练 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法: (1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦. (2)不求交点坐标,可利用一元二次方程根与系数的关系求解（设而不求）. 设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|===; 或当k≠0时,|AB|=|y1-y2|=. 当k=0时,直线平行于x轴,∴|AB|=|x1-x2|. 反思感悟 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 课堂练习 已知直线与抛物线交于A，B两点，且AB的弦长为2 答案：=2或-2 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 作业布置 教材83页 A组练习：1，3，4 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 $$ 第二章 圆锥曲线 2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（第二课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.掌握直线与圆锥曲线的三种位置关系; 2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的相关问题,能利用点差法解决 中点弦相关问题,解决相关面积问题; 3.加强数形结合思想的训练与应用. 核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象 学习目标 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例3 已知椭圆=1,求: (1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程; (2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程; 【分析】可利用点差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围. 典例剖析 解：设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2. 又A,B两点均在椭圆上,故有+4=16,+4=16. 两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).故kAB==-=-. (1)由kAB=-,得所求轨迹方程为x-2y-4=0. (2)由kAB=-=2,得所求轨迹方程为x+8y=0(-4≤x≤4). 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 对于中点弦问题,常用的解题方法——点差法,其解题步骤为: (1)设点,即设出弦的两端点坐标; (2)代入,即代入圆锥曲线方程; (3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理. 若为圆锥曲线的弦的中点，则有 （1）椭圆＝1中，； （2）双曲线＝1中，； （3）抛物线中，＝. 反思感悟 重要结论 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 以椭圆为例,椭圆方程， 设直线与椭圆交于中点，则 两式相减，得， 又，所以 ， 即直线的方程为. 类比的方法可以求出双曲线中点弦斜率为，抛物线中点弦斜率为. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(　　) A.3 B.2 C. D. 解析:依题设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2, 又+2=4,+2=4,∴=-2(),此弦的斜率k==-=-, ∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+. 代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,∴x1x2=, ∴|AB|==. C 跟踪训练 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是（ ） 课堂练习 B 2.已知双曲线 与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（ ） A. B. C.2 D.-2 A 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 7 【解析】设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).① 直线方程变形为y=2x+1,② 设抛物线截直线所得弦为AB. 将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,则|AB|=. 解得a=12或a=-4. 所以所求抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x. 3.顶点在原点,焦点在轴上且截直线所得弦长为的抛物线方程为　 .  y2=12x 或 y2= - 4x 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 8 4.如图,椭圆=1的左、右焦点为F1,F2,一条直线l经过F1且与椭圆相交于A,B两点. (1)求△ABF2的周长; (2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积. 【解析】(1)由=1,知a=4,△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16. (2)由椭圆方程=1,可得F1(-3,0),F2(3,0),又l的倾斜角是45°,故斜率k=1,∴l的方程为y=x+3. 将直线方程代入椭圆方程,整理得23x2+96x+32=0, ∴x1+x2=-,x1x2=, |AB|=. 设点F2到直线l的距离为d,则d==3.∴|AB|·d=×3. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 作业布置 教材83页 A组练习:4,B组练习：1,2 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 C. D. $$