2.4.1直线与圆锥曲线的交点 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.4.1 直线与圆锥曲线的交点（第1课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.理解直线与圆锥曲线的三种位置关系(相交、相切、相离)； 2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.； 3.加强数形结合思想的训练与应用. 核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象 学习目标 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 前面已经学习了直线以及圆、椭圆、双曲线和抛物线等一系列特殊曲线，通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系. 由此可知，直线与圆锥曲线的交点个数与两者对应方程的公共解的个数是相同的. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例1　如图，求直线与椭圆 的交点坐标. 解：直线与椭圆的交点坐标是方程组的解. 方程组可化为 将①代入②，得， 化简，得.解得. 代入②，得方程组的解为 所以直线l与椭圆C的交点坐标为（0，1），.   典例剖析 O 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例2 已知椭圆 ，若直线 与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 典例剖析 解：如图，由直线的方程特征可知斜率为1，随着的变化，直线平行移动， 若与椭圆有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解. 联立直线与椭圆的方程，得化简可得 将②代入①，并整理，得. ③ 因为方程③是一元二次方程， 所以它有唯一的实数解的充要条件是， 解得或. 所以当直线与椭圆有唯一的公共点时，实数的值为或.   江西省修水县第一中学 修水县第一中学 若仅需要判断直线l与圆锥曲线C的交点个数，在不求出交点坐标的情况下， 如何判断？理由是什么？直线与圆锥曲线的位置关系有哪几种？ 思考　 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程与二次曲线的方程,得到方程组解的情况来判断 设直线l的方程为：Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为：f(x,y)=0. 由消元,如消去y后得：ax2+bx+c=0. ①若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点即相交; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点即相切; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点即相离. ②若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合);椭圆不存在这种情况.这种情况只有一个交点但叫相交. 反思感悟 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.判断正误： (1)已知椭圆=1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.(　　) (2)直线y=k(x-a)与椭圆=1的位置关系是相交.(　　) (3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.(　　) 跟踪训练　 × √ × 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 跟踪训练 2. 由例2的结论，能否从图形的直观分析中判断出直线与椭圆的交点个数？若存在交点，则求出交点坐标；若不存在交点，则求椭圆上的点到直线的最小距离. 解：由例2的结论可知： 当或时，直线l与椭圆C相离，无交点； 当时，直线l与椭圆C相交，有两个交点； 当或时，直线l与椭圆C相切. 本题中，，因此直线l与椭圆C相离，无交点， 椭圆C上的点到直线l的最小距离为直线与之间的距离， 即为＝. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 作业布置 教材79页 练习: 1 教材80页 练习: 1 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 $$ 第二章 圆锥曲线 2.4.1 直线与圆锥曲线的交点（第2课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程与二次曲线的方程,得到方程组解的情况来判断 设直线l的方程为：Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为：f(x,y)=0. 由消元,如消去y后得：ax2+bx+c=0. ①若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点即相交; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点即相切; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点即相离. ②若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合);椭圆不存在这种情况.这种情况只有一个交点但叫相交. 复习直线与圆锥曲线的位置关系 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例3 已知直线经过点，且与抛物线有唯一的公共点，求直线的方程. 解：如图. （1）当直线的斜率不存在时，直线（y轴）与抛物线相切于原点，符合条件. （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由方程组消去并整理，得.　　（*） ①当时，直线的方程为：，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件; ②当时，方程（*）有唯一的实数解的充要条件是.解得. 此时，方程组有唯一的实数解，符合条件. 综上，满足题意的直线有三条其方程分别为：. 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例4 讨论直线与双曲线的公共点的个数. 解：联立方程组消去，整理，得. 当，或 （1）当时，. （2）当时，. （3）当时，. 若，则；若，则；若，则或. 综上，当或时，直线与双曲线没有公共点； 当时，直线与双曲线相切于一点； 当时，直线与双曲线相交于一点； 当或或时，直线与双曲线有两个公共点.如图. 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1. 已知直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 跟踪训练 解：得.∴ . （1）当，即时，方程组有唯一的实数解. （2）当，且，即时，方程组有唯一的实数解.因此，当直线l与双曲线C有且只有一个公共点时，±或±. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 随堂小测 1.直线y=kx-k+1与椭圆=1的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:∵y=kx-k+1,∴y-1=k(x-1),过定点(1,1),定点在椭圆=1内部. A 2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 C 3.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为　　　　.  4.已知点P(k,1),椭圆=1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为　 .  江西省修水县第一中学 修水县第一中学 3.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为　　　　.  解析:设直线4x+3y+c=0与抛物线相切,由得3x2-4x-c=0, 由Δ=16+12c=0,得c=-,所以两平行线的距离为. 4.已知点P(k,1),椭圆=1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为　 .  　　 解析:依题意得,>1,解得k< - 或k>,故实数k取值范围为. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离. (2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴. (3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交. 反思感悟 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 作业布置 教材80页 练习：2, 3 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 $$