4.1 直线与圆锥曲线的交点（直线与椭圆的位置关系） 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

直线与椭圆的位置关系 相离 没有公共点 相切 一个公共点 相交 两个公共点 两个 一个 没有 思路引导：先联立直线和椭圆方程→消去y得到关于x的一元二次方程→利用△判断。 解析：联立 得 则△= （1）直线l与椭圆E相交，则△＞0得 （2）直线l与椭圆E相切，则△=0得 (3)直线l与椭圆E相离,则△＜0得 A B O y x 由 得 A 思路分析：方法一（代数法）联立方程组，消去y得到x的二次方程，用△判断； 方法二（几何法）画图，由特殊点的位置来确定直线与椭圆的位置关系。 x y o P 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 拓展延伸：在其他条件不变的情况下，将（2）问 ，求k的值。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 谢 谢 大 家 基 础 知识回顾 直线与椭圆的位置关系 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，设一元二次方程的判别式为Δ，则 方程组有两个不同的根⇔Δ>0⇔有 公共点⇔相交； 方程组有且只有一个根⇔Δ＝0⇔有 公共点⇔相切； 方程组没有根⇔Δ<0⇔ 公共点⇔相离． 弦长公式 设AB为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则 (k为直线AB斜率) 核 心 考点突破 例:已知直线 : ,椭圆E: .试问当 取何值时，直线 与椭圆E： （1）有两个不重合的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点. （4）当 时，直线 与椭圆E相交于A﹑B两点，若点O是坐标原点，则△AOB的面积是多少？ 1．直线y＝2x－1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 突破 自我挑战 2.求椭圆E： 上的点到直线l: 最小距离是多少？ 思路导引：作直线m∥ 且与椭圆E相切， 切点为点P，则点P到直线 的距离d最小； 平行线m与 之间的距离等于d； 设直线m的关系式为： ( ＞0) 解析：作直线 ∥ ，且与椭圆E相切，切点为点P，则点P到直线 的距离d最小；平行线 与 之间的距离等于d； 设直线 的关系式为： ( ＞0) 把 得 ∵△= ∴ （ ＞0） 当 时，直线 的方程为 而直线 的方程为 所以 解法二：设椭圆 上点P的坐标为 则点P到直线 的距离 其中 即椭圆 上的点到直线 的距离 的最小值为 . 3.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为 ，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积 为时，求k的值． [思路引导]　（1）待定系数法求椭圆C的方程（2）(方法一）联立方程组得根与系数的关系→用k表示弦长|MN|及点A与直线的距离→由S△AMN＝eq \f(\r(10),3)求得k.（方法二）拆分法求面积和 [解]　(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，)) 得b＝eq \r(2)，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1. (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－4,1＋2k2)， 所以|MN|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]) ＝eq \f(2\r(1＋k24＋6k2),1＋2k2). 又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))， 所以△AMN的面积S＝eq \f(1,2)|MN|·d＝eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)，由eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq \f(\r(10),3)，得k＝±1. 所以当△AMN的面积为eq \f(\r(10),3)时，k＝±1. 归纳总结 直线与椭圆的位置关系： 1.相切——求直线方程或椭圆方程 2.相交——求弦长及弦长的相关问题 3.相离——求椭圆上的点到直线的距离的最值 升华 2.已知椭圆的焦点在x轴上，离心率 ，若椭圆截直线 所得线段AB的长为 ，求椭圆的方程。 1.若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m>0 C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5 思考 课后训练 3.设椭圆C： 的右焦点为F，过F的直线 与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． (1)当 与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. [思路引导]　(1)解出点A，B的坐标→求出直线AM的方程． (2)设出直线方程及A，B的坐标→联立方程得根与系数的关系→直线MA、MB的斜率之和为0→∠OMA＝∠OMB. [解]　(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1， 由已知可得，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2))). 所以AM的方程为y＝－eq \f(\r(2),2)x＋eq \r(2)或y＝eq \f(\r(2),2)x－eq \r(2). (2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°， 当l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线， 所以∠OMA＝∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时， 设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1<eq \r(2)，x2<eq \r(2)，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝eq \f(y1,x1－2)＋eq \f(y2,x2－2)， 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝eq \f(2kx1x2－3kx1＋x2＋4k,x1－2x2－2). 将y＝k(x－1)代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以，x1＋x2＝eq \f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2k2－2,2k2＋1). 则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝eq \f(4k3－4k－12k3＋8k3＋4k,2k2＋1)＝0， 从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补， 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB. $$