2.4.1 直线与圆锥曲线的交点(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

4 直线与圆锥曲线的位置关系 1 4.1 直线与圆锥曲线的交点 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 直线与椭圆的交点问题 探究点二 直线与双曲线的交点问题 探究点三 直线与抛物线的交点问题 3 【学习目标】 正确判断直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系. 4 知识点一 直线与椭圆的交点问题 直线与椭圆 的交点个数的判断方法：由 消去得到一个关于的一元二次方程，通过 与0的大小关系判断 直线与椭圆的交点个数. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数（直线与椭圆交点的个数） 及 的取值的关系如下表所示. 位置关系 解的个数 的取值 相交 ___ ______ 相切 ___ ______ 相离 ___ ______ 2 1 0 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知椭圆与点,过点 可作出该椭圆的一条切 线. ( ) × （2）直线与椭圆 的位置关系是相交.( ) √ （3）直线与椭圆的公共点最多有2个.( ) √ 课 前 预 习 6 知识点二 直线与双曲线的交点问题 一般地,设直线的方程为,双曲线 的方程为 ,把①代入②得 . （1）当,即时,直线与双曲线 的渐近线______,直线与双 曲线____________. （2）当,即 时, . 平行 相交于一点 判别式 位置关系 交点情况 直线与双曲线______ __________ 直线与双曲线______ __________ 直线与双曲线______ __________ 相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.( ) × （2）过点作直线，使得直线与双曲线 只有一个公共点,这样 的直线可作2条.( ) × （3）直线与双曲线 有两个公共点.( ) √ （4）过点且与双曲线 只有一个公共点的直线有2条.( ) × （5）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有两个交点.( ) × 课 前 预 习 8 知识点三 直线与抛物线的交点问题 设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方程联立, 整理成关于的方程 . （1）若 ,则有 判别式 位置关系 交点情况 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 （2）若 ,则直线与抛物线有______交点,此时直线与抛物线的对称轴 _____________. 一个 平行或重合 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( ) × （2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.( ) √ （3）直线与抛物线 的位置关系是相交.( ) × （4）若直线与抛物线有两个交点，则直线与抛物线相交.( ) √ （5）若直线与抛物线相交，则直线与抛物线有两个交点.( ) × 课 前 预 习 10 探究点一 直线与椭圆的交点问题 例1（1） 给定三条曲线：；； . 其中与直线 仅有一个交点的曲线是______.（填序号） ②③ 课 中 探 究 11 [解析] ①中，由整理得 ， ，不满足题意； ②中,由 整理得 ， 满足题意； ③中，由 整理得， ，满足题意.故填②③. 课 中 探 究 （2）对不同的实数，讨论直线与椭圆 的位置关系. 解：联立直线与椭圆的方程,得消去 ,整理得, 则 . 当时,,直线与椭圆相交; 当或时, ,直线与椭圆相切; 当或时, ,直线与椭圆相离. 课 中 探 究 13 变式（1） 若直线与椭圆相切,则 的值是( ) C A. B. C. D. [解析] 联立直线与椭圆的方程，得消去 ， 整理得, 由题知,, . 课 中 探 究 14 （2）若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点,则 的取 值范围为______. [解析] 显然直线过定点. 由题意知,点在椭圆 上或其内部, ，，,，且. 又椭圆的焦点在 轴上,,故的取值范围为 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 判断直线和椭圆的位置关系的方法 将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个变量，得到一个一元二次方程.若 ，则直线和椭圆相交；若，则直线和椭圆相切；若 ，则直线和 椭圆相离. 课 中 探 究 16 探究点二 直线与双曲线的交点问题 例2 已知双曲线,直线,试确定满足下列条件的实数 的值或取值范围. 解:联立直线与双曲线的方程，得 消去 ,整理得. 当,即 时, . （1）直线 与双曲线有两个不同的公共点; 由得且 ,此时方程（*）有两个不同的实数解, 即直线 与双曲线有两个不同的公共点. 课 中 探 究 17 （2）直线 与双曲线有且只有一个公共点; 解： 由得,此时方程（*）有唯一的实数解, 即直线 与双曲线有且只有一个公共点. 当,即时,直线 与双曲线的渐近线平行,方程（*）可化为, 故方程（*）只有一个实数解,即直线 与双曲线相交且只有一个公共点. 综上，当或时,直线 与双曲线有且只有一个公共点. 课 中 探 究 18 （3）直线 与双曲线没有公共点. 解： 由得或,此时方程（*）无实数解, 即直线 与双曲线无公共点. 课 中 探 究 19 变式 直线过点且与双曲线 仅有一个公共点，则这样的直线 有( ) D A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 课 中 探 究 20 [解析] 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为 ， 由消去并整理，得. 当 ，即时，方程只有一个解， 此时直线 与双曲线只有一个公共点，这样的直线有2条； 当 时，由，解得， 此时方程 有两个相等的实根， 直线与双曲线只有一个公共点，这样的直线 有2条. 综上，满足题意的直线有4条，故选D. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ （1）解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系 数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. （2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论，即直线与双曲 线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 课 中 探 究 22 探究点三 直线与抛物线的交点问题 例3（1） （多选题）已知直线过定点，则与抛物线 有且只有一 个公共点的直线 的方程可以为( ) ABC A. B. C. D. 课 中 探 究 23 [解析] 当过点的直线的斜率存在时，设其方程为 ， 由方程组消去得. 若，则 ，解得，此时直线与抛物线只有一个交点， 直线的方程为； 若 ，令，解得 ，此时直线与抛物线相切， 只有一个交点，直线的方程为，即. 当过点的直线 的斜率不存在时，其方程为，此时直线 与抛物线相切， 只有一个交点. 综上，直线的方程为或或.故选 . 课 中 探 究 24 （2）已知直线,抛物线,分别求的值或范围，使得直线 与抛物线 只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点. 课 中 探 究 25 解： 由消去,整理得. 当 时,（*）式为，解得,, 直线与抛物线只有一个公共点 ,此时直线平行于轴. 当 时,（*）式是一个一元二次方程, . ①当,即且时,直线与抛物线有两个公共点, 此时直线 与抛物线 相交; ②当,即时,直线与抛物线有一个公共点,此时直线与抛物线 相切; ③当,即时,直线与抛物线没有公共点,此时直线与抛物线 相离. 综上所述,当或时,直线与抛物线有一个公共点; 当且 时, 直线与抛物线有两个公共点; 当时,直线与抛物线 没有公共点. 课 中 探 究 26 变式（1） 已知直线与曲线 恰有一个公共点，则实 数 的值为____________. 0或或 [解析] 当时，曲线为直线， 显然直线与直线 有唯一公共点，因此满足题意. 当时，由 消去并整理得， 当时，, ，直线与曲线有唯一公共点， 因此 满足题意； 当且时，方程的判别式 ， 则，此时直线与曲线 相切，有唯一公共点， 因此满足题意. 所以实数的值为0或或 . 课 中 探 究 27 （2）已知抛物线，过点作抛物线的切线, ,切点分别为 ,，则 ___. [解析] 切线过点，且与抛物线切于,两点， 切线的斜率存在，设切线的斜率为,则过点的切线方程为 . 由得，令，得 ， 不妨令切线,的方程分别为，. 由 得，，，同理可知 , ,, . 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组的 解的个数.注意直线斜率不存在和消去一个变量后得到的方程的二次项系数为0 的情况. 课 中 探 究 29 拓展 已知抛物线的方程为，若过点的直线 与抛物线有公共点， 则直线 的斜率的取值范围是________. [解析] 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为 ， 由消去并整理得. 当 时，显然满足题意； 当时， ， 解得或. 因此直线的斜率的取值范围是 . 课 中 探 究 30 $