专题突破：数列通项公式的求法（6大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

专题突破：数列通项公式的求法 1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法 （1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． （2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解． 4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解． 5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法． 要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解． 类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 类型二：形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型． 6、取倒数法：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解． 题型一 观察法求数列的通项 【例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）数列，则是数列的第 项. 【变式1-2】（23-24高二上·福建龙岩·月考）数列  的一个通项公式为 . 【变式1-3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数 ． 题型二 公式法求数列的通项 【例2】（23-24高二下·陕西西安·月考）已知数列满足，，则此数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·重庆·月考）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·宁夏银川·月考）在数列{an}中，数列{an}是以3为公比的等比数列，则等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为 . 题型三 累加法求数列的通项 【例3】（22-23高二上·陕西榆林·月考）已知数列的各项均为正数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·江西南昌·月考）在数列中，，则通项公式 ． 【变式3-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）在数列中，，，则数列通项公式 . 题型四 累乘法求数列的通项 【例4】（23-24高二上·天津·月考）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高二下·云南保山·开学考试）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则 . 【变式4-3】（22-23高二上·重庆·月考）在数列中，，则 . 题型五 构造法求数列的通项 【例5】（23-24高二下·四川泸州·期末）数列满足且，则数列的通项公式是 ． 【变式5-1】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【变式5-2】（22-23高二下·山东淄博·月考）若，，则 ； 【变式5-3】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 题型六 取倒数法求数列的通项 【例6】（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【变式6-1】（22-23高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，若，则 ． 【变式6-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和 ． 【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·月考）已知数列满足，则的通项公式为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：数列通项公式的求法 1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法 （1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． （2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解． 4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解． 5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法． 要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解． 类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 类型二：形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型． 6、取倒数法：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ 要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解． 题型一 观察法求数列的通项 【例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：不符合题意； 而选项D中的通项公式满足数列，故选：D 【变式1-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）数列，则是数列的第 项. 【答案】70 【解析】数列， 数列中，分子分母和为2的有一项，和为3的有两项，和为4的有三项…… 且都是按照从小到大的顺序排列， 的分子分母和为13，和为13的有 是分子分母和为13的第4个，前面分子分母和为12的有11项， 故共有项，则是数列的第70项. 【变式1-2】（23-24高二上·福建龙岩·月考）数列  的一个通项公式为 . 【答案】 【解析】可化为， 所以分子部分为，分母部分为， 奇数项为正，偶数项为负，则， 则. 【变式1-3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数 ． 【答案】35 【解析】依题意，， 则， 根据规律，，所以. 题型二 公式法求数列的通项 【例2】（23-24高二下·陕西西安·月考）已知数列满足，，则此数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴数列是首项为2，公差为的等差数列， ∴.故选：A 【变式2-1】（23-24高二上·重庆·月考）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·宁夏银川·月考）在数列{an}中，数列{an}是以3为公比的等比数列，则等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【解析】数列{an}是以3为公比的等比数列，且，所以， 则，故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知数列为等比数列，且，，则的通项公式为 . 【答案】或 【解析】设等比数列的公比为， 则，解得或， 所以或. 故答案为：或. 题型三 累加法求数列的通项 【例3】（22-23高二上·陕西榆林·月考）已知数列的各项均为正数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， ， ， 以上累加有， 则，且也适合上式，则.故选：B. 【变式3-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由数列首项为，且， 则.故选：C. 【变式3-2】（23-24高二下·江西南昌·月考）在数列中，，则通项公式 ． 【答案】 【解析】因为，即 则， ， 所以 ， 即， 又因为，所以. 【变式3-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）在数列中，，，则数列通项公式 . 【答案】 【解析】由，得， 所以，，， ，， 各式相加可得：，已知， . 题型四 累乘法求数列的通项 【例4】（23-24高二上·天津·月考）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以，故选：B 【变式4-1】（22-23高二下·云南保山·开学考试）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，， ∴数列是首项为，公比为4的等比数列， ∴， 当时， ， ∵n＝1时，，∴， ， 故选：D. 【变式4-2】（23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则 . 【答案】6 【解析】因，故有， 即得，所以. 【变式4-3】（22-23高二上·重庆·月考）在数列中，，则 . 【答案】 【解析】依题意，， 即， 所以. 题型五 构造法求数列的通项 【例5】（23-24高二下·四川泸州·期末）数列满足且，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【解析】设，则， 又因为，所以，则， 所以， 因为，所以， 所以为常数， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 【变式5-1】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由可得：， 又,， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 【变式5-2】（22-23高二下·山东淄博·月考）若，，则 ； 【答案】 【解析】设， 所以， ，， 所以， 所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列， 所以， 所以. 【变式5-3】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以，所以. 题型六 取倒数法求数列的通项 【例6】（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【解析】因为，，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以.故选：C 【变式6-1】（22-23高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，若，则 ． 【答案】 【解析】法一：由，可得：， 由,可得:, 又，可得：. 法二：由题得，则等式两边同取倒数得， 则，，则数列为公差为2的等差数列， 则，当，则，则. 【变式6-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和 ． 【答案】502 【解析】由，取倒数得，所以， 因为，所以，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，则， 所以数列的前8项和. 【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·月考）已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】对两边取倒数得，即， 当时，，，，，， 将以上各式累加得， 又，所以，所以， 当时，也满足，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$