专题01 数列（4大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湘教版2019选择性必修）

专题01 数列 数列的概念 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列.数列满足，.现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 5．（23-24高二下·吉林松原·期末）设 的个位数为 ，则 （    ） A．269 B．270 C．279 D．286 6．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 等差数列 8．（22-23高二上·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（22-23高二下·四川成都·期末）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 10．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 12．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列中，，则 ． 13．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知数列满足． (1)若是公差为的等差数列的前n项和，求的值； (2)若，，且数列单调递增，数列单调递减，令，求证：． 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，且_________. 在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题： (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，求证：. 等比数列 15．（2020·北京·二模）设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2017高三·江西南昌·专题练习）若等差数列和等比数列满足，则为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的各项均为正数，满足，，且.若在数列中去掉中的项，余下的项组成数列，记数列的前项和为，则 . 20．（22-23高二上·河北保定·期末）已知数列中，，，数列中，，则（） A．数列为等差数列 B．数列的前5项和为 C．数列为等比数列 D．数列为等差数列 21．（22-23高二上·河北保定·期末）已知数列的前项和满足：，数列的前项和满足：，记，则数列的前10项和为 . 22．（22-23高三上·山东滨州·期末）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn 数学归纳法 23．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 24．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）已知数列的通项公式，记，通过计算，归纳出的表达式是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高三上·北京·阶段练习）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时， 27．（9-10高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 28．（18-19高二下·江苏连云港·期中）用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 29．（17-18高二下·河南濮阳·期末）用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 数列求和 30．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 33．（22-23高二上·广东江门·期末）已知数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 34．（22-23高二下·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 35．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 36．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知数列的前项和为，且满足. (1)令，求数列的通项公式； (2)求. 37．（23-24高二上·河北秦皇岛·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：数列的前n项和. 数列求通项 38．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 39．（22-23高二下·四川成都·期末）记为数列的前项和．已知，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D． 40．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 41．（23-24高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 . 42．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 43．（23-24高三上·江苏·期末）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值; (3)设，是数列的前n项和，求证:. 44．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和． 45．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 46．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，对任意的，都有． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 47．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列 数列的概念 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再由此求出. 【详解】在数列中，，则， 因此数列数列的周期为3，所以. 故选：D 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列.数列满足，.现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出数列各项的余数，得到余数数列为周期数列，周期为8，从而得到前2023项中被3除余1的有项，得到概率. 【详解】根据斐波那契数列的定义知，， 被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…， 余数数列为周期数列，周期为8，， 所以数列的前2023项中被3除余1的有项， 故所求概率为. 故选：D. 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用. 【详解】∵，∴若为奇数，则，则舍； 若为偶数，则，. 当时，若为奇数，则，则；若为偶数，则，. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，则；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，则；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 综上，所有可能的取值的集合. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 【答案】． 【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式． 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当 综上，可得． 故答案为：． 5．（23-24高二下·吉林松原·期末）设 的个位数为 ，则 （    ） A．269 B．270 C．279 D．286 【答案】C 【分析】运用列举得出数列周期，然后运用周期性求和解题即可. 【详解】因为 的个位数分别为 ， 所以数列 是周期为4的周期数列， 所以 . 故选：C. 6．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 【答案】ACD 【分析】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【详解】对于A，当时，，所以，A项正确； 对于B，由，得当2时，， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以，由二次函数的性质可知不为递减数列，B项错误； 对于C，因为，所以当或时，取得最小值-20，C项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ACD. 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 等差数列 8．（22-23高二上·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：D 9．（22-23高二下·四川成都·期末）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可求出，再利用等差前的性质可以求出，即可求解. 【详解】， ， ， ， ， . 故选：B. 10．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 11．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据的关系即可作差求解. 【详解】由可得， 两式相减可得， 当时，， 故， 故答案为： 12．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列中，，则 ． 【答案】29 【分析】根据累加法求得，即可求得． 【详解】根据题意，， ，满足该式， 所以，则， 故答案为：29． 13．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知数列满足． (1)若是公差为的等差数列的前n项和，求的值； (2)若，，且数列单调递增，数列单调递减，令，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）由，对进行赋值，列出方程组，求解即得； （2）由题设，将分成奇数与偶数两情况，化简得和，消元得，求得和，即得通项，利用裂项相消法，分奇偶求得，即可证明. 【详解】（1）依题意，，， 由对恒成立，且， 则得，，将①②③式两边平方，得：， 由④+⑤-⑥可得：，由④2-⑤可得，， 联立两式，解得：，.(不合题意，舍去)； （2）由题意， 故当时， 当时， 两式相减得，，故有，即为奇数时，, 又当为奇数时，，故，即为偶数时，. 综上可得， 则， 当为奇数时， 当为偶数时， 综上可得，. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，且_________. 在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题： (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差．若选①，根据等差中项求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得； （2）利用裂项相消法求和得，即可求证. 【详解】（1）由，得，得， 所以数列为等差数列，公差． 若选①，因为，所以，得， 所以，， 所以， 若选②，因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以，所以． 若选③，因为，所以， 所以， （2）， 所以， 又因为，所以． 等比数列 15．（2020·北京·二模）设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】充分性：设等比数列的公比为， 若， 情形一：当时，由得， 解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 情形二：当，由得， 解得或，     若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 必要性：反之，若为递增数列，则， 所以“对于任意的”是“为递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 16．（2017高三·江西南昌·专题练习）若等差数列和等比数列满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列为等差数列应用基本量运算得出,应用数列为等比数列应用基本量运算得出,计算即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，所以, 又因为是等比数列，设公比为,所以，所以， 则. 故选：A. 17．（22-23高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】设等比数列的公比为q， 则由，，得， 解得， 故， 故选：B 18．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，根据前n项积与之间的关系分析求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，，可得； 且符合，所以． （2）由（1）可知， 则，可得， 两式相减得， 所以． 19．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的各项均为正数，满足，，且.若在数列中去掉中的项，余下的项组成数列，记数列的前项和为，则 . 【答案】568 【分析】先构造数列得出是首项为，公比为的等比数列，再求出数列,最后应用分组求和结合等差等比求和公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即， 所以，由得， 所以， 所以 故答案为：568. 20．（22-23高二上·河北保定·期末）已知数列中，，，数列中，，则（） A．数列为等差数列 B．数列的前5项和为 C．数列为等比数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】对于A，对式子进行变形得到，根据等差数列的定义可以判断A；对于D，由A可以求出数列的通项，进而判断D；对于B，先求出数列的通项，再分别求出前5项即可计算；对于C，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】对于A，因为，两边同除以得， 所以，则为等差数列，公差为0，首项为，故A正确; 对于D，由A知，所以，所以为等差数列，D正确; 对于C，由B知， 所以 所以正确; 对于C，由D知 所以不为常数， 故数列不为等比数列，C错; 故选：. 21．（22-23高二上·河北保定·期末）已知数列的前项和满足：，数列的前项和满足：，记，则数列的前10项和为 . 【答案】1033 【分析】利用和的关系求出通项公式，然后得出的通项公式，利用分组求和求解即可. 【详解】，故当时，， 两式作差得：，即， 且，故，满足，故. ，故当时，， 两式作差得：，即为等比数列， 且故， ， 则数列的前10项和为：. 故答案为：1033 22．（22-23高三上·山东滨州·期末）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系，利用递推关系可得数列为等比数列，即可得解； （2）根据等差数列通项公式求出，再由错位相减法求出和即可. 【详解】（1）因为，① 所以当时，， 又，所以． 当时，，② ①式减去②式，得， 所以． 又， 所以对，都有， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以． （2）依题设得， 所以，所以． 所以，① 所以，② ①式减去②式，得 ， 所以． 数学归纳法 23．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【详解】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D 24．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 25．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）已知数列的通项公式，记，通过计算，归纳出的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的值，归纳它们的值与序号的关系，即可得答案. 【详解】由题意数列的通项公式， 则，， ， 可看出分子上的值为相应项的序号加2，分母为相应序号加1后的2倍， 故归纳出的表达式是， 故选：C 26．（23-24高三上·北京·阶段练习）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时， 【答案】B 【分析】由，得到，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 当时，则，，设，则，所以是递减数列，当，，故A错误； 当时，，，又，所以，设，则，即，又因为，所以，所以，，故B正确； 当时，，，所以是递减数列，当时，，故不存在，使得时，恒成立，故C错误； 当时，则，，设，则，所以是递增数列，当，，故D错误； 故选：B 27．（9-10高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式． 【详解】解：当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为. 故选：B． 28．（18-19高二下·江苏连云港·期中）用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【分析】考查等式两侧的特点，写出左侧和的表达式，进行比较，即可推出左边应增加的项． 【详解】当时，等式为， 当时，等式为， 因此，从“”变到“”时， 左边应增加的项是 . 故答案为：. 29．（17-18高二下·河南濮阳·期末）用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 【答案】 【分析】利用数学归纳法的步骤计算即可. 【详解】把和代入等式左边分别可得： ① ② 两式作差得. 故答案为： 数列求和 30．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得. 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 31．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案. 【详解】即 . 故选：A. 32．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 【答案】 . 【分析】利用比例的性质与待定系数法，解方程可得，从而利用构造法求得；再利用裂项相消求和法求得，从而得解. 【详解】依题意，设，，，又， 又，， 所以，解得， 则，即有， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则； 所以， 则数列的前n项和. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第2问解决的关键是观察，发现其可以裂项展开，从而得解. 33．（22-23高二上·广东江门·期末）已知数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可； （3）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）在中， 令，得， 因为， 所以当时，有， 两个式子相减，得，显然适合， 因此； （2）； （3）由（1）（2）可知：， ， ， 两式相减，得 所以 所以. 34．（22-23高二下·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式求出，设的公差为，结合求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，，令得，解得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 化简得， 所以． 35．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 36．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知数列的前项和为，且满足. (1)令，求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2)450 【分析】（1）证明，则数列是等差数列即可求解; （2）利用分组并项求和求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，即，又， 所以数列是首项为，公差为等差数列， 则. （2） 37．（23-24高二上·河北秦皇岛·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，可得数列的通项公式； （2），裂项相消求得，由，可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，，成等差数列知，， 即， 所以，有，即或. ①当时，，不合题意； ②当时，，得， 所以等比数列的通项公式； （2）证明：由（1）知， 所以， 所以数列的前n项和， 由，可得. 数列求通项 38．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 39．（22-23高二下·四川成都·期末）记为数列的前项和．已知，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】令代入已知，求出，判断A；求出，判断B；根据的关系结合等比数列定义判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由于，令，则，A正确； 对于B，令，则，则，B错误； 对于C，当时，，则， 即，则，而， 故数列为首项为，公比为的等比数列，C正确； 对于D，由C可知，即， 故，D正确， 故选：ACD 40．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 【答案】128 【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，，即，又， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以， 当时，， 所以. 故答案为：128 41．（23-24高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 . 【答案】 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果． 【详解】由整理得，即，又， 故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得, 不等式，可化为， 令，当时，； 当时，，， 故当时，单调递减，故， 综上，， 所以，故最小值为． 故答案为： 42．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【分析】根据的关系即可得，进而根据构造法可证明为等差数列，即可求解. 【详解】当时，， 相减可得，所以， 又，所以 故为等差数列，且公差为，首项为2， 故，， 故答案为： 43．（23-24高三上·江苏·期末）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值; (3)设，是数列的前n项和，求证:. 【答案】(1) (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）令得，通过累加的方式即可得解. （2）首先分类讨论结合等差数列求和公式得到表达式，然后对分类讨论列方程求解即可. （3）首先将数列通项公式化简，通过不等式放缩，然后裂项相消即可求解. 【详解】（1）由对任意正整数m，n都有，令，可得， 所以. 当时，， 当时，，符合上式，所以. （2）由（1）得，当n为偶数时， = ; 当n为奇数时，为偶数，. 综上所述，. 若k为偶数，则为奇数，由，即，整理得，解得（舍去）或; 若k为奇数，则为偶数，由，即，整理得，解得或，均不合题意，舍去. 综上，所求k的值为2. （3）由 . 现在我们来证明时，， 令，求导得， 所以单调递增，所以， 结合当时，，有， 所以 .故. 【点睛】关键点睛：第一问的关键是累加法求数列通项，第二问的关键是分类讨论求表达式，然后继续分类讨论解方程，第三问的关键是通过放缩然后裂项相消即可顺利得解. 44．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和． 【答案】(1) (2)135 【分析】（1）利用累加法可得答案； （2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 可得 ， 即； （2）， 当n为偶函数，， ， ，∴， 则，，…，满足题意， ，， ∴，，，，满足题意， ∴A中所有元素和为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是分、求和，再求满足条的. 45．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解； （2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由， 得（）， 两式相减得， 即（）， 所以当时，， 经检验也符合上式， 故； （2）由题意， 记，则数列的前项和， 所以，当时，， 当时，， 综上， 46．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，对任意的，都有． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，然后利用累乘法求通项即得. （2）由，得，利用错位相减法即得. 【详解】（1）由， 得，即， 所以， （2）由，得， 所以， 得 两式相减得：          ， 所以 47．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系可得，即可由等比数列求解， （2）利用等比求和公式即可求解. 【详解】（1） 由，得， 后式减去前式，得，得． 令，得，可得，所以， 即数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以． （2）因为， 故， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$