专题突破：数列求和方法及应用（7大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

专题突破：数列求和方法及应用 1、公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2、分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. 3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，． 4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和． 6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求. 题型一 公式法求数列前n项和 【例1】（22-23高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列的前n项和为． (1)求等差数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 因为，则，… ，解得， 所以． （2）， 则． 【变式1-1】（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由（1）知， 所以时，， 因此，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 【变式1-2】（23-24高二上·新疆·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若是等比数列，且，，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，可得， 所以，，所以，. （2）解：设等比数列的公比为，则，， 所以，，， 因此，. 【变式1-3】（23-24高二下·云南昭通·月考）已知等差数列的公差为，数列与数列满足且． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和与数列的前项和． 【答案】(1)，；(2)，. 【解析】（1）由等差数列的公差为，，得，而， 由，得，则，而， 显然数列是等比数列，于是， 所以数列与的通项公式分别为，. （2）由（1）知，，， 所以，. 题型二 分组转化法求数列前n项和 【例2】（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知数列是首项为1的等差数列，数列是等比数列，设，且数列的前三项分别为3，6，11． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前10项和． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 则（舍去）， 所以，． （2）数列的前10项和： ． 【变式2-1】（23-24高二下·四川成都·月考）已知是等差数列，是等比数列，且 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）等比数列的公比， 所以，， 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即， 所以. （2）由（1）知，，. 因此， 从而数列的前项和 . 【变式2-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【答案】 【解析】由可得， 数列的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 前2n项和. 【变式2-3】（23-24高二下·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 因为， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； （2）由（1）可知， 所以 . 题型三 并项求和法求数列前n项和 【例3】（23-24高二下·广东佛山·月考）设为数列的前项和，若，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期， 又，则，，， ，，，，，， 所以，且， 所以. 故选：A 【变式3-1】（23-24高二下·辽宁·期中）数列的通项公式为是其前项和，则 . 【答案】 【解析】由则. 【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 . 【答案】240 【解析】由题意知，， 故数列的前30项和为 ， 故答案为：240 【变式3-3】（23-24高二下·福建莆田·月考）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()， (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得①，且， 当时，，解得或(舍去)， 当时，②· ∴①②得， ∴， ∵，∴， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴. 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得， 则当，且时， ， n为偶数时，， n为奇数时，则为偶数，由上式可知，， 所以. 所以，. 题型四 倒序相加法求数列前n项和 【例4】（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 【答案】 【解析】，① ，② 两式相加，又因为， 故，所以， 所以的前16项的和为 【变式4-1】（23-24高二下·四川成都·月考）已知函数，则 ． 【答案】/ 【解析】， ， 设①， 则②， ①+②得 ，. 【变式4-2】（23-24高二下湖南娄底·月考）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A．2022 B．4044 C．2023 D．4046 【答案】D 【解析】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且， 所以， 又∵函数， ∴， 令，则， ∴， ∴.故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（    ） A． B．2017 C．4034 D．8068 【答案】C 【解析】用倒序相加法：令① 则也有② 由， ，即有， 可得：， 于是由①②两式相加得，所以．故选：C 题型五 错位相减法求数列前n项和 【例5】（23-24高二下·云南保山·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）， 又， 数列是首项､公比均为3的等比数列， ，即 （2）由（1）得， 则， 则， 两式相减得， . 【变式5-1】（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； （2）由（1）得 ， ， 作差可得， . 【变式5-2】（23-24高二上·湖南常德·月考）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求效列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，由可得， 两式相减可得，整理得. 当时，由解得， 故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 故. （2）由（1）知，， ， 于是， 两式相减得， 所以. 【变式5-3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列的首项为，且满足. (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）证明：数列的首项为，且满足， 则有，又， 所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列； 则有，所以. （2）由（1）得，， 所以，① ，② 由①②得， 所以. 题型六 裂项相消法求数列前n项和 【例6】（23-24高二上·湖南·月考）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设的公比为，由的各项均为正数，可得， 因为成等差数列，所以， 又因为，可得，化简得， 解得或（舍去）， 故的通项公式为. （2）由（1）知， 设的前项和为， 则. 【变式6-1】（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，． (1)求与通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，解得，则； ，由于，则， 故解得，则. （2）， 所以. 【变式6-2】（23-24高二下·河北秦皇岛·月考）在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，且易知， 所以，所以，所以． 因为，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）因为， 所以． 【变式6-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由得， 又，所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）知，，所以 所以， . 题型七 数列求和与不等式综合 【例7】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知等差数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若恒成立，求实数m的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设的公差为d， 由题意可得，解得， 所以． （2）由（1）可得， 则， 若恒成立，则，所以实数m的最小值为. 【变式7-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）数列是首项为1，公比为3的等比数列， ， 当时，， 即， ， ，， 又也满足上式， 数列的通项公式为，， （2）由（1），可得， ①， ②， 由①-②，得， ， 不等式可化为， 即对任意的恒成立， 即转化为 令，且易得为递增数列， 又，所以， 综上，的取值范围是. 【变式7-2】（23-24高二下·山东日照·月考）在数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为时，，， . 所以数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以，得， 所以数列的通项公式为. （2）由题意知：， 令① 则② ①-②得， 所以 （3）恒成立. 令，则， 所以数列是递增数列. 若n为偶数，，则恒成立，∴； 若n为奇数，，则恒成立，，， 综上. 【变式7-3】（23-24高二上·江苏常州·月考）已知数列的前项和为，满足：，且． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）因为，所以①，②， ②①得，即③，则④， ④③得，化简得，所以， 所以数列为等差数列， 由，当时，解得， 因为，所以数列以1为首项，2为公差，所以. （2）由（1）可得, 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，， 所以， 由，得，即， 当为偶数时，对一切偶数成立， 当时，有最小值为5，,所以， 当为奇数时，对一切奇数成立，即对一切奇数成立， 当时，有最大值为，所以此时， 综上，对一切恒成立，则的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：数列求和方法及应用 1、公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2、分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. 3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，． 4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和． 6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求. 题型一 公式法求数列前n项和 【例1】（22-23高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列的前n项和为． (1)求等差数列的通项公式； (2)若，求的值． 【变式1-1】（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式1-2】（23-24高二上·新疆·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若是等比数列，且，，求数列的前项和. 【变式1-3】（23-24高二下·云南昭通·月考）已知等差数列的公差为，数列与数列满足且． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和与数列的前项和． 题型二 分组转化法求数列前n项和 【例2】（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知数列是首项为1的等差数列，数列是等比数列，设，且数列的前三项分别为3，6，11． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前10项和． 【变式2-1】（23-24高二下·四川成都·月考）已知是等差数列，是等比数列，且 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【变式2-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【变式2-3】（23-24高二下·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 题型三 并项求和法求数列前n项和 【例3】（23-24高二下·广东佛山·月考）设为数列的前项和，若，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·辽宁·期中）数列的通项公式为是其前项和，则 . 【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 . 【变式3-3】（23-24高二下·福建莆田·月考）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()， (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 题型四 倒序相加法求数列前n项和 【例4】（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 【变式4-1】（23-24高二下·四川成都·月考）已知函数，则 ． 【变式4-2】（23-24高二下湖南娄底·月考）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A．2022 B．4044 C．2023 D．4046 【变式4-3】（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（    ） A． B．2017 C．4034 D．8068 题型五 错位相减法求数列前n项和 【例5】（23-24高二下·云南保山·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式5-1】（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【变式5-2】（23-24高二上·湖南常德·月考）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求效列的前项和． 【变式5-3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列的首项为，且满足. (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 题型六 裂项相消法求数列前n项和 【例6】（23-24高二上·湖南·月考）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-1】（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，． (1)求与通项公式； (2)设，求的前项和． 【变式6-2】（23-24高二下·河北秦皇岛·月考）在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式6-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和． 题型七 数列求和与不等式综合 【例7】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知等差数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若恒成立，求实数m的最小值. 【变式7-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【变式7-2】（23-24高二下·山东日照·月考）在数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【变式7-3】（23-24高二上·江苏常州·月考）已知数列的前项和为，满足：，且． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$