第二章：平面解析几何初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第二章：平面解析几何初步（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·月考）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·江西·月考）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 4．（24-25高二上·山西阳泉·月考）若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（    ） A．2 B．1或0 C．2或1 D．2或0 5．（24-25高二上·重庆渝中·月考）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南周口·月考）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南郴州·月考）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·陕西西安·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·湖北荆州·月考）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）圆（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 11．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角 ． 13．（24-25高二上·天津河·月考）经过点的圆的标准方程为 . 14．（24-25高二上·山东菏泽·月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·广西梧州·月考）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 16．（15分）（23-24高二上·山东东营·月考）已知在平面直角坐标系中，圆. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)求过点的圆的弦长的最小值. 17．（15分）（23-24高二上·河南·月考）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 18．（17分）（23-24高二上·广东湛江·月考）已知直线l：. (1)求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 19．（17分）（23-24高二上·河南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：平面解析几何初步（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为， 由直线，可得斜率为，即，所以.故选：D. 2．（24-25高一上·重庆·月考）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A. 3．（24-25高二上·江西·月考）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为.故选：C 4．（24-25高二上·山西阳泉·月考）若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（    ） A．2 B．1或0 C．2或1 D．2或0 【答案】C 【解析】由题意可知：， 令，则，解得. 令，则，解得. 因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以. 得到.即.解得或. 故满足题意的实数或.故选：C. 5．（24-25高二上·重庆渝中·月考）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.故选：B 6．（24-25高二上·河南周口·月考）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即.故选:C. 7．（24-25高二上·湖南郴州·月考）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确.故选：B 8．（24-25高二上·陕西西安·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为.故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·湖北荆州·月考）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【解析】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确.故选：ABC. 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）圆（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABC 【解析】由圆的方程为，即， 即圆心的坐标为， A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确； B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确； 故选：ABC. 11．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【解析】A：实数满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆上点， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； B：原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误． C：令，则直线与圆有公共点，所以，，解得， 所以的最大值为．故C正确； D：令，则直线与圆有公共点，所以，解得， 所以的最大值为．故D正确.故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角 ． 【答案】/ 【解析】因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故答案为： 13．（24-25高二上·天津河·月考）经过点的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】设圆的标准方程为. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ①. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ②. 因为圆经过点，将其代入方程可得 ③. 用② - ①可得： 即则. 将代入①和③组成新的方程组： 将展开得，即. 用减去可得： 即解得. 将，代入，可得，即，. 所以圆的标准方程为. 故答案为:. 14．（24-25高二上·山东菏泽·月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，因为点，，， 所以，即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·广西梧州·月考）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 故的方程是，即； （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16．（15分）（23-24高二上·山东东营·月考）已知在平面直角坐标系中，圆. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)求过点的圆的弦长的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 由圆可得：圆心，半径. ， 点在圆上，即点为切点. 直线的斜率为 所求切线斜率为. 切线方程为，即. （2） 点在圆内. 设直线过点，圆心到直线距离为， 圆半径 则. 结合图形可知当时，取得最大值，为，. 过点的圆的弦长的最小值. 17．（15分）（23-24高二上·河南·月考）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）圆：即， 当时，圆：， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为， 圆：的圆心，半径， 圆心到公共弦所在直线的距离， 则两圆的公共弦长为. （2）不存在，理由如下： 圆：可化为， 则圆心，半径， 又圆：的圆心，半径， 假设存在实数a，使得圆和圆内含， 则圆心距， 即，此不等式无解， 故不存在实数a，使得圆和圆内含. 18．（17分）（23-24高二上·广东湛江·月考）已知直线l：. (1)求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】(1)证明见解析；(2)或；(3)S的最小值为4，直线l的方程为 【解析】（1）直线l：可化为，故过定点 ， 所以无论k为何值，直线l：恒过定点； （2）①当直线l过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等， 将原点代入方程，求得； ②当直线l不过原点时，即时， 又因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以， 直线l：中取得，取得， 所以，求得， 综上，k的值为或； （3）因为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，所以， 则中取得，取得， ， 当且仅当时，即时取“=”， 所以S的最小值为4，直线l的方程为. 19．（17分）（23-24高二上·河南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由已知圆的圆心在轴上，经过点， 且被轴截得的弦长为．设圆， 所以，解得， 所以圆的方程为； （2）过点C作CD⊥MN于D，由是中点， 由得到，， 所以，即， 所以 设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符题意） 由圆心到直线距离公式得，， 所以直线l的方程为． （3）设，，，， 直线的方程为，其中． 与联立得， 由韦达定理得， 所以，， 所以，同理， 所以 ， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$