精品解析：江西省赣州市大余县2024-2025学年九年级上学期10月联考数学试题

九年级阶段检测试卷（一） 数学 上册 21.1～22.1 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分 1. 若方程化为一般式后的二次项为，则一次项的系数为（ ） A B. C. 8 D. 2. 若关于x的方程有一个根是3，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 若函数图象过点与，则 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 已知关于的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 5. 根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度（单位：）为．根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 小球经过约离地面的高度为 B. 小球离地面的高度为时，经过约 C. 小球经过约离地面的高度为，并将继续上升 D. 小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为 6. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线与有公共点，则a 的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为______． 8. 若关于的一元二次方程的两个根分别为与，则的值为_________． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 10. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示． x … 0 2 3 … … 11 5 m 11 … 则m的值为________． 11. “黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为______米．（结果保留根号） 12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，当有两个顶点在抛物线上时，的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 根据所学知识完成以下题目： （1）解方程： （2）在平面直角坐标系中抛物线过点，，求b的值． 14. 解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同除以， 得， 则， 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， （1）解一元二次方程的基本思想是 ．（填“降次”或“消元”） （2）请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 15. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？ 16. 已知关于x的方程 （1）若该方程的一个根为1，求b的值． （2）求证：不论b取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作以为斜边的等腰直角三角形． （2）如图2，，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 去南昌了！国内最高的摩天轮去了！南昌八一起义纪念馆去了！绳金塔去了！拌粉和瓦罐汤吃了！年，南昌成为新晋“网红”旅游城市，今年南昌市某景点6月接待游客5万人，8月接待游客万人． （1）求该景点接待游客6月至8月的月平均增长率； （2）如果每月的增长率相同，预计月接待游客的人数． 19. 如图，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． （1）已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果可能是1吗？请判断并说明你的理由． （2）已知同时抽到甲、乙两张卡片，若计算的结果为0，求x的值． 20. 已知等边的边长为，面积为S． （1）求出S关于a的函数解析式（不需要写出自变量a的取值范围）． （2）当时，求a的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现： （1）若方程的两个根是，，则________，________．（用含a，b，c的代数式表示） 类比探究 （2）已知关于x方程，写出一个一元二次方程，使它两根分别是已知方程两根的倒数． 拓展应用 （3）已知m， n满足，，求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L顶点A坐标是，且过点． （1）求抛物线L的解析式． （2）①若横坐标为t的点P是抛物线L上位于A，B之间的一点，连接，设的面积为S，请求出S关于t的函数解析式； ②将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，每个单位长度表示1m． （1）求水管的长度． （2）如图2，是图中抛物线上一动点，点与点P关于y轴对称，画出点所在的抛物线的草图，并直接写出点所在抛物线的解析式及自变量的取值范围． （3）将水管OA喷水头往上平移m，求水柱落地处离池中心的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级阶段检测试卷（一） 数学 上册 21.1～22.1 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分 1. 若方程化为一般式后的二次项为，则一次项的系数为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项化简一元二次方程，再判断一次项系数即可得到答案； 【详解】解：移项得， ， ∴一次项的系数为：， 故选：D； 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是先移项化简． 2. 若关于x的方程有一个根是3，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程有一个根是3， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 若函数图象过点与，则 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵，∴函数图象的开口向上，故A错误； 二次函数图象顶点坐标是，故B正确； 二次函数对称轴为直线，∵，∴，故C错误； ∵二次函数的对称轴为直线，，∴当时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B 【点睛】本题考查的图象与性质．熟记相关结论即可． 4. 已知关于的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有一个非零实数根，可得，然后移项变形即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个非零实数根， ∴，即 ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解答本题的关键． 5. 根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度（单位：）为．根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 小球经过约离地面的高度为 B. 小球离地面的高度为时，经过约 C. 小球经过约离地面的高度为，并将继续上升 D. 小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为 【答案】D 【解析】 【分析】根据小球经过离地面的高度（单位：）为逐项进行判断． 【详解】解：A．小球经过约离地面的高度为，故选项错误，不符合题意； B．小球离地面的高度为时，经过约或，故选项错误，不符合题意； C．小球经过约离地面的高度为，并将继续下降，故选项错误，不符合题意； D．小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了用关系式表示函数，读懂题意是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线与有公共点，则a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分与有交点，与有交点列不等式即可得到答案； 【详解】解：当与有交点时， ， 解得：， 当与有交点时， ， 解得：， 故答案为：， 故选：A； 【点睛】本题考查二次函数与线段交点问题，解题关键是分类讨论． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题，把代入函数解析式计算即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， 故答案为：． 8. 若关于的一元二次方程的两个根分别为与，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解是解题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式，同时还应注意二次项系数不能为． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 10. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示． x … 0 2 3 … … 11 5 m 11 … 则m的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：根据表格数据，二次函数的图象过点，， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答的关键． 11. “黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为______米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点，点是线段的黄金分割点，米， ∴米， 米， ∴米． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，当有两个顶点在抛物线上时，的长为________． 【答案】2或6或 【解析】 【分析】根据已知点和抛物线的相对位置和点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”分情况求解即可． 【详解】解： ∵，，，， ∴要使平移后的三角形有两个顶点在抛物线上，只需将水平向左平移、竖直向上平移， 设将水平向左平移a个单位长度，竖直向上平移b个单位长度， 则，，， 若点、在抛物线上，如图1，则， 解得， 此时； 若点、在抛物线上，如图2，则， 解得， 此时； 若点、在抛物线上，如图3，则， 解得， 此时； 综上，的长为2或6或， 故答案为：2或6或． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形-平移变换，熟知点的坐标平移规律是解答的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 根据所学知识完成以下题目： （1）解方程： （2）在平面直角坐标系中抛物线过点，，求b的值． 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式求出解析式，在将代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：两边除以得， ， 两边开平方得， ， ∴，； 【小问2详解】 解：将点代入解析式求出解析式得， ， 解得：， ∴， ∵点在抛物线上， ∴； 【点睛】本题考查解一元二次方程，求二次函数上的点的坐标，解题的关键是先求出二次函数解析式． 14. 解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同除以， 得， 则， 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， （1）解一元二次方程的基本思想是 ．（填“降次”或“消元”） （2）请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）降次； （2）都错误，解答过程见详解； 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的思想是降次直接选即可得到答案； （2）根据一元二次方程的解法直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：解一元二次方程的思想是降次， 故答案为：降次； 【小问2详解】 解：都错误， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，； 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是解题过程中注意符号的选择． 15. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请7个球队参加比赛． 【解析】 【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解． 【详解】设邀请x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x-1=21， 即=21， ∴x2-x-42=0， ∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）． 答：应邀请7个球队参加比赛． 【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 16. 已知关于x的方程 （1）若该方程的一个根为1，求b的值． （2）求证：不论b取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）把代入中，然后解关于b的方程即可； （2）先进行判别式的值得到，然后根据判别式的意义可得到结论． 【小问1详解】 解：是关于的方程的一个根， ， 解得； 【小问2详解】 证明：， 不论b取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根及根的判别式，熟记根的判别式是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B点A在点B左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作以为斜边的等腰直角三角形． （2）如图2，，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质，作的垂直平分线，交于点E，再截取交于F，连接，，则，即，又，则即为所求作的等腰直角三角形； （2）同（1）方法作的垂直平分线，交于点H，交抛物线于M，延长交于F，连接、、、，根据抛物线与x轴的交点坐标以及坐标与图形性质，结合正方形的判定可求解． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图2，正方形即为所求作： 理由：同（1）方法作的垂直平分线，交于点H，交抛物线于M，延长交于F，连接、、、， 由题意，，，则，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又，， ∴四边形是正方形， 即正方形即为所求作． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的画法和性质、平行四边形和正方形的判定等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 去南昌了！国内最高的摩天轮去了！南昌八一起义纪念馆去了！绳金塔去了！拌粉和瓦罐汤吃了！年，南昌成为新晋“网红”旅游城市，今年南昌市某景点6月接待游客5万人，8月接待游客万人． （1）求该景点接待游客6月至8月的月平均增长率； （2）如果每月的增长率相同，预计月接待游客的人数． 【答案】（1）6月至8月的月平均增长率为； （2）预计月接待游客的人数万人 【解析】 【分析】（1）设6月至8月的月平均增长率为x，根据8月接待游客万人列方程求解即可得到答案； （2）根据平均变化率直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设6月至8月的月平均增长率为x，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：6月至8月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：由题意可得， （万人）， 答：预计月接待游客的人数万人． 【点睛】本题考查一元二次方程解决平均增长率问题，解题的关键是根据题意得到等量关系式． 19. 如图，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． （1）已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果可能是1吗？请判断并说明你的理由． （2）已知同时抽到甲、乙两张卡片，若计算的结果为0，求x的值． 【答案】（1）不可能，理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）假设抽到甲、丙两张卡片，计算结果是1，根据所给规则和整式的加减运算法则列方程，然后根据一元二次方程根的判别式判断即可解答； （2）根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片，计算结果是1， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故抽到甲、丙两张卡片，计算结果不可能是1； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式、整式的加减运算，解答的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法． 20. 已知等边的边长为，面积为S． （1）求出S关于a的函数解析式（不需要写出自变量a的取值范围）． （2）当时，求a的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）作，求出，根据即可求解； （2），求解该一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：如图：作 由题意得： ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴ 解得：（舍去） ∴a值为4 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用．关键是利用三角函数求出三角形的高． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现： （1）若方程的两个根是，，则________，________．（用含a，b，c的代数式表示） 类比探究 （2）已知关于x方程，写出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数． 拓展应用 （3）已知m， n满足，，求的值． 【答案】（1） ①. ； ②. ； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系及新方程根式已知方程两根的倒数直接求解即可得到答案； （3）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设原方程的两根为，，则有， ，， ∵新方程的两根分别是已知方程两根的倒数， ∴，， ∴新方程为：； 【小问3详解】 解：∵m， n满足，， 是方程的两根， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，，． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L顶点A的坐标是，且过点． （1）求抛物线L的解析式． （2）①若横坐标为t的点P是抛物线L上位于A，B之间的一点，连接，设的面积为S，请求出S关于t的函数解析式； ②将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设抛物线L的解析式为：，将点代入即可求解； （2）①作轴交于点，求出直线的解析式，根据即可求解；②将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度相当于向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度． 【小问1详解】 解：设抛物线L的解析式为： 将点代入得： 解得： ∴抛物线L的解析式为： 【小问2详解】 解：①作轴交于点，如图： 设直线的解析式为： 将点代入得： ∴直线的解析式为： ∵ ∴点，则点 ∴ ②∵直线的解析式为： ∴将抛物线L沿着射线平移线段个单位长度相当于向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 ∴抛物线的解析式为： 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、二次函数与面积问题、抛物线的平移等．掌握二次函数顶点式是关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，每个单位长度表示1m． （1）求水管的长度． （2）如图2，是图中抛物线上一动点，点与点P关于y轴对称，画出点所在的抛物线的草图，并直接写出点所在抛物线的解析式及自变量的取值范围． （3）将水管OA喷水头往上平移m，求水柱落地处离池中心的距离． 【答案】（1） （2）图像如图所示， （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据题意可知图象的顶点坐标为，经过点，再设顶点式并求出，令可得答案； 对于（2），先画出图象，再确定点的坐标，进而得出关系式，并求出自变量取值范围； 对于（3），先求出平移后的关系式，再令，可得答案． 【小问1详解】 根据题意可知图象的顶点坐标为，经过点． 设二次函数的关系式为，根据题意，得 ． 又∵图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为． 当时，， ∴m． 【小问2详解】 如图所示． 由（1），得二次函数的关系式为． 则点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点所在抛物线的关系式为（）； 【小问3详解】 将水管喷头往上平移，可得关系式为． 令，得， 解得或（舍）． 所以水柱落地后离中心的距离是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，画二次函数图像，二次函数图像的平移，二次函数的对称性等，选择适当的关系式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$