广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

1 2024-2025 学年高二上学期期中数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。 1．已知点  3,1,4A ，则点 A关于 x轴对称的点的坐标为（ ） A．  3, 1, 4  B．  1, 3, 4 C．  4, 1,3 D．  3, 1, 4   2．向量    2 ,1,3 , 1, 2 ,9a x b y    ，若 a  ∥ b  ，则（ ） A． 1x y  B． 1 1, 2 2 x y   C． 1 3, 6 2 x y   D． 1 2, 6 3 x y   3．已知直线  1 2: 2 0, : 2 1 2 0l ax y l x a y       ，若 1l ∥ 2l ，则 a （ ） A． 1 或 2 B．1 C．1或 2 D． 2 4．直线 : 2 4 0l x y   被圆    2 2: 3 1 9C x y    截得的弦长为（ ） A．2 B． 2 3 C．4 D． 2 5 5．如图，平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 的底面 ABCD是边长为 1的正方形，且 1 1 60A AD A AB    ， 1 2AA  ，则线段 1AC 的长为（ ） A． 6 B． 10 C． 11 D．2 3 6．若方程 2 2 24 2 4 0x y mx y m m      表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ） A．� <− 1 B．� < 1 C．� >− 1 D．� ≥− 1 7．人教 A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”， 自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契 数 1，1，2，3，5，8，13…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 90°的圆 弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为 1，1，2，3，5， 8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为 1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）． A． 2 2 144x y  B．    2 21 2 144x y    C．    2 24 2 169x y    D．    2 24 2 169x y    8．在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，E F、 分别是棱 AB BC、 上的动点，且 AE BF ，当 1A、 1E F C、 、 共 面时，直线 1C F和平面 1ADE夹角的正弦值为（ ） A． 30 10 B． 30 30 C． 70 10 D． 10 30 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．若 , ,a b c  是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A．� ，2� ，3� B．� + � ，� + �，� + � C．� + 2� ，2� + 3�，3� − 9� D． a b c    ，� ，� 10．已知圆  2 21 : 2 1C x y   ，圆   22 2 9:C x y a   ，则下列结论正确的是（ ） A．若 1C 和 2C 外离，则 2 3a  或 2 3a   B．若 1C 和 2C 外切，则 2 3a   C．当 0a  时，有且仅有一条直线与 1C 和 2C 均相切 D．当 2a  时， 1C 和 2C 内含 2 11．如图，边长为 1的正方形 ABCD所在平面与正方形 ABEF在平面互相垂直，动点 ,M N分别在正方形 对角线 AC和 BF上移动，且  0 2CM BN a a    ，则下列结论中正确的有（ ） A．  0, 2a  ，使 12MN CE   B．线段MN存在最小值，最小值为 2 3 C．直线MN与平面 ABEF所成的角恒为 45° D．∀� ∈ 0, 2 ，都存在过��且与平面���平行的平面 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12．点  3,1P 到直线 3 0x y   的距离为 . 13．直线 1 : 3 4 6 0l x y   与 2 : 3 4 0l x y C   间的距离为 3，则C  . 14．已知圆�1: (� − 2)2 + (� − 3)2 = 1，圆�2: (� − 3)2 + (� − 4)2 = 9，点 M，N分别是圆�1, �2上的动 点，点 P为 x轴上的动点，则 �� + �� 的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知空间三点 ( 2,0, 2), ( 1,1, 2), ( 3,0, 4)A B C   ，设 , .a AB b AC      (1)求a b   ； (2)若向量 ka b   与 2ka b   互相垂直，求实数 k的值. 16．如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是矩形， PB 底面 ABCD， 3AB BC  ， 3BP  ， 1 3 CF CP ， 1 3 DE DA ． (1)证明：��//平面 ABP； (2)求异面直线 EF与 PD所成角的余弦值． 17．在平面直角坐标系 xOy中，已知△ ���的三个顶点 ( , ), (2,1), ( 2,3)A m n B C  . (1)求 BC边所在直线的方程; (2)若△ ���的面积等于 7，且点A的坐标满足 2 3 6 0  m n ，求点A的坐标. 18．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 1 1AD AA  ， 2AB  ，点 E在棱 AB上移动． (1)求证： 1 1D B AD ； (2)当点 E为棱 AB的中点时，求点 B1到平面 ECD1的距离； (3)当 AE为何值时，平面 D1EC与平面 AECD所成角为 π 4 ？ 19．已知圆C过点  2,6A ，E(-1,3)，且圆心在直线� = � + 1上． (1)求圆C的方程； (2)若点D在该圆上运动，点  3,2B ，记M 为过 B、D两点的弦的中点，求M 的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线BD与直线�: � = � − 2交于点�，证明： �� ⋅ �� 恒为定值．