精品解析：山西省太原市杏花岭区山西省实验中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

山西省实验中学 2024—2025学年第一学期第二次阶段性测评（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 命题人：杨美娜，牛婷婷 校对人：杨美娜，牛婷婷 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 1 2. 已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 4. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ） A. B. ． C. D. 8. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则B点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值为______． 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 13. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖，某商店七月份销售鸟尊书签600枚，九月份销售鸟尊书签864枚．该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为______． 14. 如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 15. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 阅读解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的过程，解答下列问题： 解：两边同乘以4a，得4a2x2+4abx+4ac＝0．……第一步 移项，得4a2x2+4abx＝﹣4ac．……第二步 配方，得4a2x2+4abx+b2＝b2﹣4ac．……第三步 （2ax+b）2＝b2﹣4ac．……第四步 两边开平方，得……第五步 ．……第六步 所以，．……第七步 （1）第一步变形的依据是 ； （2）从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； （3）采用上述解方程的思路，求3x2﹣4x﹣2＝0的根． 18. 年月日，太原马拉松赛在迎泽大街太原火车站鸣枪开跑，一场城市运动盛会就此拉开帷幕．在志愿者招募阶段，婷婷和娜娜踊跃报名，致力成为太马志愿者一员．他们申请了后勤接待部．综合协调部．宣传推广部．问询志愿者部四种岗位中某一种岗位的志愿者，被随机分配到以上岗位中的任意一种的可能性相同． （1）“婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图法或列表法，求婷婷和娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的概率． 19. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，延长交的延长线于点．连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，四边形的面积是______． 21. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 22. 已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点在同侧且时，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②求出的值； （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点分别位于直线异侧，且的面积等于，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2024—2025学年第一学期第二次阶段性测评（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 命题人：杨美娜，牛婷婷 校对人：杨美娜，牛婷婷 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算．根据一元二次方程的解的定义列出关于的方程，解之即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ， ， 故选：A． 2. 已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的性质，根据线段成比例的性质，由此即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选：B ． 3. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：C． 4. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形． 【详解】 根据题意画出图形如下： 答：AC与BD 的位置关系是互相垂直． 证明：∵四边形EFGH是矩形， ∴∠FEH=90°， 又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点， ∴EF是三角形ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠FEH=∠OMH=90°， 又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点， ∴EH是三角形ACD的中位线， ∴EH∥AC， ∴∠OMH=∠COB=90°， 即AC⊥BD． 故选C． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，原方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的各项系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：， 这里， ∴， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 7. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用表示， ∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下， 共有中等可能结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果有种， ∴恰好选中《周髀算经》的概率为， 故选：A ． 8. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则B点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，进而即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴ ∴B点的坐标为． 故选：D． 10. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可； 【详解】解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得： ， 故选：C． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 由，根据比例的性质，即可求得的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 13. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖，某商店七月份销售鸟尊书签600枚，九月份销售鸟尊书签864枚．该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴设该商店七月至九月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为或， 故答案为： ． 14. 如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，根据题意可得当四边形为正方形时，，设，则有，，根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当四边形为正方形时，， 设，且四边形为矩形， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程的有意义， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K， ∵正方形边长为4， ∴OK=2，KC=2， ∴KC=CE， ∴CH是△OKE的中位线 ∴， 作GM⊥CD，垂足为点M， ∵G点为EF中点， ∴GM是△FCE的中位线， ∴，， ∴， 在Rt△MHG中，， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）提取公因式分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 提取公因式得：， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 【小问4详解】 解： ， ， ， 解得：． 17. 阅读解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的过程，解答下列问题： 解：两边同乘以4a，得4a2x2+4abx+4ac＝0．……第一步 移项，得4a2x2+4abx＝﹣4ac．……第二步 配方，得4a2x2+4abx+b2＝b2﹣4ac．……第三步 （2ax+b）2＝b2﹣4ac．……第四步 两边开平方，得……第五步 ．……第六步 所以，．……第七步 （1）第一步变形的依据是 ； （2）从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； （3）采用上述解方程的思路，求3x2﹣4x﹣2＝0的根． 【答案】（1）等式的基本性质；（2）五，没有考虑b2﹣4ac的符号；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据等式的基本性质即可解答； （2）第五步出现错误，只有b2﹣4ac0，方程才有实数根； （3）采用上述解题思路求解即可． 【详解】解：（1）依据是：等式的基本性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立； 故答案为：等式的基本性质； （2）第五步出现错误，只有b2﹣4ac0，方程才有实数根； 故答案为：五，没有考虑b2﹣4ac的符号； （3）3x2﹣4x﹣2=0， 两边同乘以12，得36x2-48x-24=0． 移项，得36x2-48x=24． 配方，得36x2-48x+42=24+42． （6x-4）2=40>0． 两边开平方，得6x-4=， 6x=4±2， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 18. 年月日，太原马拉松赛在迎泽大街太原火车站鸣枪开跑，一场城市运动盛会就此拉开帷幕．在志愿者招募阶段，婷婷和娜娜踊跃报名，致力成为太马志愿者一员．他们申请了后勤接待部．综合协调部．宣传推广部．问询志愿者部四种岗位中某一种岗位的志愿者，被随机分配到以上岗位中的任意一种的可能性相同． （1）“婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图法或列表法，求婷婷和娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（）根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义即可判定求解； （）列出表格，根据表格即可求解； 本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：列表如下： 娜娜 婷婷 由表可得，共有种等可能的结果，其中婷婷、娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的结果有种， ． 19. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【答案】 证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，延长交的延长线于点．连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，四边形的面积是______． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， 即， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）45 【解析】 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得出，再证明，得出，证出四边形为平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形． （2）根据四边形是矩形，，四边形为平行四边形，结合勾股定理得出，算出，，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，解题关键是熟练运用相关知识． 21. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1） （2） （3）如图： 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的实际应用，设计轴对称图案，理解题意是解题的关键． （1）根据比例尺求出的长，根据中点求出的长即可； （2）设小路的宽为厘米时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）连接，交于点，两部分作为花坛即可． 【小问1详解】 解：由题意得：图纸上画出矩形的宽为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故， ∵H为边的中点， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为时符合设计要求； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，且阴影部分是轴对称图形； ∴第三小组计划设计的花坛部分符合要求． 22. 已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点在同侧且时，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②求出的值； （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点分别位于直线异侧，且的面积等于，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） ，理由：∵是等边三角形， ∴， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴； （2）①，理由： ∵，即，， ∴， 由（1）的证明方法可得， ， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ② （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质可证，由此即可求解； （2）①根据，，可得，结合旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由补角的性质可得，由此即可求解；②根据含角的直角三角形，三角函数值的计算可得，可得，由此即可求解； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在直线上方时，延长交于点，过点作于点，可证，，设，则，则，中，，由，即可求解；第二种情况，如图所示，点在直线下方时，设交于点，过点作于点，同理可得，设，则，，在中，，由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：第一种情况，如图所示，点在直线上方时，延长交于点，过点作于点， 根据题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，或； 第二种情况，如图所示，点在直线下方时，设交于点，过点作于点， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，，（负值不符合题意，舍去）； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角及等角对等边的性质，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用等知识的综合运用，掌握全等三角形的性质，图形旋转的性质，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $