选择性必修第二册 第5章 第4课时 函数的极值-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

B正确;C、D左边的式子意义为x1,x2中点对应的函 数值,即图中点B 的纵坐标值,右边式子代表的是函 数值的平均值,即图中点A 的纵坐标值,显然有左边 小于右边,故C不正确,D正确. 7.【解析】 由f'(x)=x2-4x+3, f'(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x, 令f'(x+1)<0,解得0<x<2, 所以f(x+1)的单调递减区间是(0,2). 【答案】 (0,2) 8.【解析】 y'=x2-2ax+1有两个不相等零点,得Δ= (-2a)2-4>0,得a2>1,解得a<-1或a>1. 【答案】 (-∞,-1)∪(1,+∞) 9.【解析】 设f(x)=lnx+1x ,则f'(x)=1x - 1 x2 = x-1 x2 ,∵x>1,∴f'(x)>0, ∴函数f(x)在[1,+∞)内为增函数,故当x>1时, f(x)>f(1)=1.从而lnx+1x>1. 【答案】 > 10.【解析】 令g x =2f x -x-1,因为f'(x)> 1 2 ,所以g' x =2f' x -1>0. 所以g x 为单调增函数.因为f 1 =1, 所以g 1 =2f 1 -1-1=0. 所以当x<1时,g x <0,即2f x <x+1,得 x|x<1 ,解集为 -∞,1 故填 -∞,1 【答案】 -∞,1 . 第四课时 函数的极值 【新课内容学习】 知识点1 1.f'(x)<0 f'(x)>0 2.f'(x)>0 f'(x)<0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 【新课随堂演练】 1.A 【解析】 若f(x)可导,由f'(x)=0有实根,则f(x) 不一定有极值,f(x)有极值,则f'(x)=0一定有解. 2.D 【解析】 f'(x)=1x- 2 x2 ,令f'(x)=0,即1x- 2 x2 =0得x=2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞) 时,f'(x)>0.因此x=2为f(x)的极小值点.故选D. 3.C 【解析】 函数f(x)在区间 12 ,3 上有极值点等 价于f'(x)=0有2个不相等的实根且在 12 ,3 内有 根,由f'(x)=0有2个不相等的实根,得a<-2或a >2.由f'(x)=0在 12 ,3 内有根,得a=x+1x 在 1 2 ,3 内有解,又x+1x∈ 2,103 ,所以2≤a<103. 综上,a的取值范围是 2,103 . 4.A 【解析】 ∵f x =x2-6x+2ex, ∴f'(x)=2x-6+2ex,且函数f'(x)单调递增. 又f'(0)=-6+2e0=-4<0,f'(1)=-4+2e>0, ∴函数f'(x)在区间(0,1)内存在唯一的零点, 即函数f x 的极值点在区间 0,1 内.故选A. 5.AD 【解析】 由图可知,x=-2是导函数f'(x)的 一个变号零点,故当x=-2时,函数f(x)取得极值, 选项A正确; x=1不是导函数f'(x)的一个变号零点,故当x=1 时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误; y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f'(0)>0,选 项C错误; 当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,此时函数y=f(x)单调 递增,选项D正确.故选AD. 6.A 【解析】 由题意, f'(x)=x3+3ax2+9x=x(x2+3ax+9) 要保证函数f(x)仅在x=0处有极值, 必须满足f'(x)在x=0两侧异号, 所以要x2+3ax+9≥0恒成立, 由判别式有:(3a)2-36≤0,∴9a2≤36, ∴-2≤a≤2, ∴a的取值范围是[-2,2], 故选A. 7.【解析】 y'=-3x2+12x=-3x(x-4). 令y'=0得x1=0,x2=4. 列表可知y极大值=f(4)=32+m=13. ∴m=-19. 【答案】 -19 8.【解析】 令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大 值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得 -2<a<2时恰有三个不同的公共点. 【答案】 (-2,2) 9.【解析】 函数f x =ax +x 2, 所以f'(x)=-ax2 +2x, 因为x=1是f x 的极值点, 所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2. 【答案】 2 10.【解析】 因为f x =13x 3-4x2+4x-3, 所以f'(x)=x2-8x+4, 又a13,a4025是函数f x = 1 3x 3-4x2+4x-3的 极值点, 所以a13,a4025是方程x2-8x+4=0的两实根,因此 a13+a4025=8, 因为数列 an 是正项等差数列,所以a13+a4025= 2a2019=8,解得a2019=4,因此log2a2019=4. 【答案】 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·67· 第四课时 函数的极值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课内容学习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.了解极大值、极小值的概念. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件. 3.会用导数求函数的极大值、极小值. 4.会根据函数的极值求参数. 极值点与极值 1.极小值点与极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a) 比它在点x=a附近其他点的函数值都 小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左 侧 ,右侧 ,则把点a叫 做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做 函数y=f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点的函数值都 大,f'(b)=0;而且在点x=b的左侧 ,右侧 .则把点b叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y= f(x)的极大值. 、 统 称为极值点, 和 统称 为极值. 【例1】 (1)函数f(x)的定义域为开区间 (a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如 图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有 极小值点 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 根据极小值的定义,在极小值 点的左右两侧,函数图象分别在x 轴的 下方和上方,对照f'(x)的图象知,选A. 【答案】 A (2)函 数 f x 的 定 义 域 为 R,导 函 数 f'x 的图象如图所示,则函数fx ( ) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有一个极大值点、两个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 【解析】 设导函数f'x 的图象与x 轴 的交点从左到右依次为x1,x2,x3,x4,所 以函数f(x)的单调增区间为(-∞,x1), (x2,x3),(x4,+∞),单调减区间为(x1, x2),(x3,x4),所以函数有两个极大值点 x1,x3,两个极小值点x2,x4.故选C. 【答案】 C (3)函数y=f'x 的图像如图所示,则关 于函数y=fx 的说法正确的是 ( ) A.函数y=fx 有3个极值点 B.函数y=fx 在区间 -∞,-4 上是 增加的 C.函数y=fx 在区间 -2,+∞ 上是 增加的 D.当x=0时,函数y=fx 取得极大值 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·25· 【解析】 函数有两个极值点:x=-5和 x=-2,但x=3不是函数的极值点,所 以A错误;函数在(-∞,-5)和(-2, +∞)上单调递增,在(-5,-2)上单调 递减,所以B错误,C正确;x=0不是函 数的极值点,所以D错误.故选C. 【答案】 C 函数的极值 【例2】 (1)函数f(x)=x3-3x2-9x+1 有 ( ) A.极大值-1,极小值3 B.极大值6,极小值3 C.极大值6,极小值-26 D.极大值-1,极小值-26 【解析】 根据题意,f'(x)=3x2-6x-9 =3(x+1)(x-3),故当x∈(-∞,-1) 时,f'(x)>0;当x∈(-1,3)时,f'(x)< 0;当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0.故fx 在x=-1处取得极大值,f(-1)=6;在 x=3处取得极小值f(3)=-26,故选C. 【答案】 C (2)函数fx =lnxx ,则 ( ) A.x=e为函数fx 的极大值点 B.x=e为函数fx 的极小值点 C.x=1e 为函数fx 的极大值点 D.x=1e 为函数fx 的极小值点 【解析】 f'x =1-1nxx2 ,故当0<x<e 时函数单调递增,当x>e时,函数单调 递减,故 x=e为 函 数 的 极 大 值 点.故 选A. 【答案】 A (3)(多选)下列函数中,存在极值点的是 ( ) A.y=x-1x B.y=2 |x| C.y=-2x3-x D.y=xlnx 【解析】 对于A,求导得:y'=1+1x2 >0, 函数在(-∞,0)和(0,+∞)上递增,所 以函数无极值点;对于B,x=0是函数的 极小值点;对于C,求导得:y'=-6x2-1 <0恒成立,函数在 R上递减,所以函数 无极值点;对于D,求导得:y'=1+lnx, 当 x ∈ 0,1e 时,y' < 0,当 x ∈ 1 e ,+∞ 时,y'>0,x=1e时,y'=0,所 以x=1e 是函数的极小值点. 【答案】 BD 【例3】 (1)已知函数f(x)=13x 3+ax+b (a,b∈R)在x=2处取得极小值-43 ,则 a,b的值分别为 ( ) A.-4,4 B.4,-4 C.4,4 D.-4,-4 【解析】 ∵f(x)=13x 3+ax+b, ∴f'(x)=x2+a,因为函数f(x)在x=2 处取得极小值-43 , ∴ f'(2)=0 f2 =-43 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即 22+a=0 1 3×2 3+2a+b=-43 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 解得 a=-4 b=4 ,故选A. 【答案】 A (2)若函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰 好有两个不同的零点,则a的值可能为 ( ) A.4 B.6 C.7 D.8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·35· 【解析】 f'(x)=6x2-18x+12 =6(x-1)(x-2). 由f'(x)>0,得x<1或x>2, 由f'(x)<0,得1<x<2, 所以 函 数 f(x)在 区 间(- ∞,1),(2, +∞)上单调递增,在区间(1,2)上单调 递减,从而可知f(x)的极大值和极小值 分别为f(1),f(2). 若函数f(x)恰好有两个不同的零点,则 f(1)=0或f(2)=0,解得a=5或a=4. 【答案】 A (3)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在 x=2处取得极值9,则a+2b= . 【解析】 f'(x)=3ax2+6x-6a, ∵f(x)在x=2处取得极值9, ∴ f'(2)=0, f(2)=9, 即 12a+12-6a=0, 8a+12-12a+b=9. 解得 a=-2, b=-11. ∴a+2b=-24. 【答案】 -24 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课随堂演练 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.若函数y=f(x)可导,则“f'(x)=0有实 根”是“f(x)有极值”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设函数f(x)=2x+lnx ,则 ( ) A.x=12 为f(x)的极大值点 B.x=12 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 3.若函数f(x)=x 3 3- a 2x 2+x+1在区间 1 2 ,3 上有极值点,则实数a的取值范围 是 ( ) A.2,52 B.2,52􀭠􀭡 􀪁 􀪁 C.2,103 D.2,103􀭠􀭡 􀪁 􀪁 4.函数fx =x2-6x+2ex 的极值点所在 的区间为 ( ) A.0,1 B.(-1,0) C.1,2 D.-2,-1 5.(多选)如图是函数y=f(x)的导函数y =f'(x)的图象,则 ( ) A.在x=-2时,函数y=f(x)取得极值 B.在x=1时,函数y=f(x)取得极值 C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率 小于零 D.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调 递增 6.若函数f(x)=14x 4+ax3+92x 2-b,(a, b∈R)仅在x=0处有极值,则a的取值 范围为 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.(-2,2) D.[-1,4] 7.若函数y=-x3+6x2+m 的极大值为 13,则实数m 等于 . 8.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象 有相异的三个公共点,则a 的取值范围 是 . 9.已知x=1是函数fx =ax+x 2 的极值 点,则实数a的值为 . 10.正项等差数列 an 中的a13,a4025是函数 fx =13x 3-4x2+4x-3的极值点,则 log2a2019= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·45·