选择性必修第二册 第5章 第3课时 函数的单调性-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

第三课时 函数的单调性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课内容学习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.会用导数求函数的单调区间,能够根据 函数的单调性求参数. 函数的单调性与导数的关系 1.一般地,函数f(x)的单调性与导函数 f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那 么函数y=f(x)在区间(a,b)上 ; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函 数y=f(x)在区间(a,b)上 . 2.一般地,如果一个函数在某一范围内导 数的绝对值较大,那么函数在这个范围 内变化得较 ,这时函数的图象就比 较“ ”(向上或向下);反之,函数在 这个范围内变化得较慢,这时函数的图 象就比较“ ”. 【例1】 (1)函数y=f(x)的图象如图所示,则 导函数y=f'(x)的图象可能是 ( ) 【解析】 ∵函数f(x)在(0,+∞),(-∞,0) 上都是减函数,∴当x>0时,f'(x)<0,当 x<0时,f'(x)<0. 【答案】 D (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y =f(x)和y=f'(x)的图象画在同一个 直角坐标系中,不可能正确的是 ( ) 【解析】 根据原函数单调递增部分对应 的导函数图象应在x 轴上方,而原函数 单调递减部分对应的导函数图象应在x 轴下方,可知D不符合. 【答案】 D (3)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图 象如图所示,则函数f(x)的图象只可能 是所给选项中的 ( ) 【解析】 ∵导数的正负确定了函数的单 调性,∴ 从 函 数 f'(x)的 图 象 可 知,令 f'(x)=0,得x=0或x=a(a>0),∴函 数在(-∞,0)上单调递减,在(0,a)上单 调递增,在(a,+∞)上单调递减,故选C. 【答案】 C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·94· 利用导数判断函数y=f(x) 的单调性 利用导数判断函数y=f(x)的单调性的基 本步骤: 第一步,确定函数的 ; 第二步,求出导数f'(x)的 ; 第三步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域 划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区 间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定 义域内的单调性. 【例2】 (1)函数y=x4-2x2+5的单调递 减区间为 ( ) A.(-∞,-1)和(0,1) B.[-1,0]和[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]和[1,+∞) 【解析】 y'=4x3-4x,令y'<0,即4x3 -4x<0, 解得x<-1或0<x<1, 所以函数的单调递减区间为(-∞,-1) 和(0,1),故选A. 【答案】 A (2)函数y=xlnx的单调递减区间是 ( ) A.(e-1,+∞) B.(-∞,e-1) C.(0,e-1) D.(e,+∞) 【解析】 由题意,可得f'(x)=lnx+1, (x>0),令f'(x)<0,即lnx+1<0,解 得0<x<e-1,即函数的递减区间为(0, e-1).故选C. 【答案】 C (3)函数f(x)=ex-x 的单调递增区间 为 . 【解析】 ∵f(x)=ex-x, ∴f'(x)=ex-1. 由f'(x)>0得,ex-1>0,即x>0. ∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 【答案】 (0,+∞) 【例3】 (1)已知函数fx =xex ,则fx ( ) A.在 0,1 上递增 B.(1,2)上递增 C.在 -∞,1 上递减 D.在 0,+∞ 上递减 【解析】 依题意,f'(x)=xex =1-x ex , 当x<1时,f'(x)>0,函数fx 单调递 增;当x>1时,f'(x)<0,函数f x 单 调递 减.对 照 选 项 可 知:函 数fx 在 0,1 上递增.故选A. 【答案】 A (2)若 函 数 f x =kx-lnx 在 区 间 1,+∞ 上单调递增,则实数k 的取值 范围是 ( ) A.-∞,-2 B.(-∞,-1] C.2,+∞ D.1,+∞ 【解析】 f'(x)=k-1x ,∵函数f(x)= kx-lnx 在 区 间(1,+∞)单 调 递 增, ∴f'(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立, 则k≥1x ,则k=1x 在区间(1,+∞)上单 调递减,∴k≥1,∴k 的取值范围是[1, +∞).故选D. 【答案】 D (3)定义在R上的函数f(x),若(x-1)· f'(x)<0,则下列各项正确的是 ( ) A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·05· 【解析】 ∵(x-1)f'(x)<0,∴当x>1 时,f'(x)<0,x<1时,f'(x)>0,则 f(x)在(1,+∞)上单调递减,在(-∞, 1)上单调递增,∴f(0)<f(1),f(2)< f(1),则f(0)+f(2)<2f(1). 【答案】 C 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课随堂演练 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.若在区间(a,b)内,f'(x)>0,且f(a)≥ 0,则在(a,b)内有 ( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.不能确定 2.函数y=12x 2-lnx的单调递减区间为 ( ) A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的 是 ( ) A.y=sinx B.y=xex C.y=x3-x D.y=lnx-x 4.若函数y=a(x3-x)在 - 33 ,3 3 上单 调递减,则a的取值范围是 ( ) A.(0,+∞) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(0,1) 5.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f'(x) >g'(x),则当a<x<b时,有 ( ) A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 6.(多选)已知函数f(x)的定义域为 R,其 导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任 意x1,x2∈R(x1<x2),下列结论正确的 是 ( ) A.f(x)<0恒成立 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 C.f x1+x2 2 >f(x1)+f(x2)2 D.f x1+x2 2 <f(x1)+f(x2)2 7.若函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-4x +3,则函数f(x+1)的单调递减区间是 . 8.函数y=13x 3-ax2+x-2a在R上不是 单调函数,则a的取值范围是 . 9.当x>1时,lnx+1x 与1的大小关系为lnx +1x 1 (填“>”或“<”). 10.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1, 且f(x)的导函数f'(x)>12 ,则不等式 2f(x)<x+1的解集为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·15· 8.【解析】 曲线y=xn 在x=2处的导数y'=nxn-1=n ·2n-1=12,解得n=3. 【答案】 3 9.【解析】 f'(x)+g'(x)=-sinx+1≤0, 所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1, 所以x=π2+2kπ ,k∈Z. 【答案】 x|x=π2+2kπ ,k∈Z 10.【解析】 曲线y=1x 和y=x2在它们的交点坐标是 (1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x- 1,它们与x轴所围成的三角形的面积是34. 【答案】 34 第二课时 导数的四则运算法则与 简单复合函数的导数 【新课内容学习】 知识点1 (1)f'(x)±g'(x) (2)①f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ②cf'(x) 知识点2 f(g(x)) 知识点3 y'u·u'x 乘积 【新课随堂演练】 1.D 【解析】 ∵f(x)=(x+1)2=x2+2x+1 ∴f'(x)=2x+2,故选D. 2.C 【解析】 由已知y'=2(lnx+1)+2x·1x=2lnx +4,则y'|x=1=4,又x=1时,y=2,则切线方程为y =4x-2.故选C. 3.A 【解析】 由y=x4+ax2+1,得y'=4x3+2ax,则 曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处的切线斜率 为-4-2a=8,得a=-6.故选A. 4.D 【解析】 令f(x)=ax-ln(x+1),∴f'(x)=a- 1 x+1. 由题意,得f'(0)=2.解得a=3. 5.D 【解析】 因为f x =lnx-3x+f'(1)x2,则f'(x) =1x-3+2f' (1)x,所以f' 1 =1-3+2f' 1 ,则 f'(1)=2,所以f x =lnx-3x+2x2,所以f 1 = ln1-3+2=-1.故选D. 6.A 【解析】 ∵y'=(-2x)'e-2x =-2e-2x, ∴k=-2e0=-2.因此切线方程 为y-2=-2(x-0), 即y=-2x+2.如图所示. ∵y=-2x+2与y=x的交点为 2 3 ,2 3 ,y=-2x+2与x 轴的 交点坐标为(1,0), ∴S=12×1× 2 3= 1 3. 故选A. 7.【解析】 f(x)=4x2+4ax+a2,因为f'(x)=8x+4a, 所以f'(2)=16+4a=20,所以a=1. 【答案】 1 8.【解析】 y'=(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x,所 以k=y'|x=π=2.又过点(π,0),所以切线方程为y= 2(x-π),即2x-y-2π=0. 【答案】 2x-y-2π=0 9.【解析】 f'(x)=- 3sin(3x+φ), f(x)+f'(x)=cos(3x+φ)- 3sin(3x+φ) =2sin 3x+φ+ 5π 6 . 若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0, 即0=2sinφ+ 5π 6 ,∴φ+5π6=kπ(k∈Z). 又∵φ∈(0,π),∴φ= π 6. 【答案】 π6 10.【解析】 设x>0,则-x<0,因为x≤0时,f(x)= e-x-1-x,所以f(-x)=ex-1+x,又因为f(x)为 偶函数,所以f(x)=ex-1+x,f'(x)=ex-1+1, f'(1)=e1-1+1=2,所以切线方程为y-2=2(x- 1),即2x-y=0. 【答案】 2x-y=0 第三课时 函数的单调性 【新课内容学习】 知识点1 1.单调递增 单调递减 2.快 陡峭 平缓 知识点2 定义域 零点 【新课随堂演练】 1.A 【解析】 因为f'(x)>0,所以f(x)在(a,b)上为 增函数,所以f(x)>f(a)≥0. 2.B 【解析】 函数y=12x 2-lnx的定义域为(0,+∞), y'=x-1x= (x-1)(x+1) x ,令y'≤0,则可得0<x≤1. 3.B 【解析】 B项中,y=xex,y'=ex+xex=ex(1+ x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,∴y=xex在(0,+∞)内 为增函数. 4.A 【解析】 y'=a(3x2-1)=3a x- 33 · x+ 33 , 当- 33<x< 3 3 时,x- 33 x+ 33 <0, 要使y=a(x3-x)在 - 33 ,3 3 上单调递减,只需y' <0,即a>0. 5.C 【解析】 设h(x)=f(x)-g(x),∵f'(x)-g'(x)>0, ∴h'(x)>0,∴h(x)在[a,b]上是增函数,∴当a<x< b时,h(x)>h(a),∴f(x)-g(x)>f(a)-g(a),即 f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 6.BD 【解析】 由导函数的图象可知,导函数f'(x)的图 象在x轴下方,即f'(x)<0,故原函数为减函数,并且 递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示: f(x)<0恒成立,没有依据,故 A不正确;B表示(x1 -x2)与[f(x1)-f(x2)]异号,即f(x)为减函数.故 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57· B正确;C、D左边的式子意义为x1,x2中点对应的函 数值,即图中点B 的纵坐标值,右边式子代表的是函 数值的平均值,即图中点A 的纵坐标值,显然有左边 小于右边,故C不正确,D正确. 7.【解析】 由f'(x)=x2-4x+3, f'(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x, 令f'(x+1)<0,解得0<x<2, 所以f(x+1)的单调递减区间是(0,2). 【答案】 (0,2) 8.【解析】 y'=x2-2ax+1有两个不相等零点,得Δ= (-2a)2-4>0,得a2>1,解得a<-1或a>1. 【答案】 (-∞,-1)∪(1,+∞) 9.【解析】 设f(x)=lnx+1x ,则f'(x)=1x - 1 x2 = x-1 x2 ,∵x>1,∴f'(x)>0, ∴函数f(x)在[1,+∞)内为增函数,故当x>1时, f(x)>f(1)=1.从而lnx+1x>1. 【答案】 > 10.【解析】 令g x =2f x -x-1,因为f'(x)> 1 2 ,所以g' x =2f' x -1>0. 所以g x 为单调增函数.因为f 1 =1, 所以g 1 =2f 1 -1-1=0. 所以当x<1时,g x <0,即2f x <x+1,得 x|x<1 ,解集为 -∞,1 故填 -∞,1 【答案】 -∞,1 . 第四课时 函数的极值 【新课内容学习】 知识点1 1.f'(x)<0 f'(x)>0 2.f'(x)>0 f'(x)<0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 【新课随堂演练】 1.A 【解析】 若f(x)可导,由f'(x)=0有实根,则f(x) 不一定有极值,f(x)有极值,则f'(x)=0一定有解. 2.D 【解析】 f'(x)=1x- 2 x2 ,令f'(x)=0,即1x- 2 x2 =0得x=2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞) 时,f'(x)>0.因此x=2为f(x)的极小值点.故选D. 3.C 【解析】 函数f(x)在区间 12 ,3 上有极值点等 价于f'(x)=0有2个不相等的实根且在 12 ,3 内有 根,由f'(x)=0有2个不相等的实根,得a<-2或a >2.由f'(x)=0在 12 ,3 内有根,得a=x+1x 在 1 2 ,3 内有解,又x+1x∈ 2,103 ,所以2≤a<103. 综上,a的取值范围是 2,103 . 4.A 【解析】 ∵f x =x2-6x+2ex, ∴f'(x)=2x-6+2ex,且函数f'(x)单调递增. 又f'(0)=-6+2e0=-4<0,f'(1)=-4+2e>0, ∴函数f'(x)在区间(0,1)内存在唯一的零点, 即函数f x 的极值点在区间 0,1 内.故选A. 5.AD 【解析】 由图可知,x=-2是导函数f'(x)的 一个变号零点,故当x=-2时,函数f(x)取得极值, 选项A正确; x=1不是导函数f'(x)的一个变号零点,故当x=1 时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误; y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f'(0)>0,选 项C错误; 当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,此时函数y=f(x)单调 递增,选项D正确.故选AD. 6.A 【解析】 由题意, f'(x)=x3+3ax2+9x=x(x2+3ax+9) 要保证函数f(x)仅在x=0处有极值, 必须满足f'(x)在x=0两侧异号, 所以要x2+3ax+9≥0恒成立, 由判别式有:(3a)2-36≤0,∴9a2≤36, ∴-2≤a≤2, ∴a的取值范围是[-2,2], 故选A. 7.【解析】 y'=-3x2+12x=-3x(x-4). 令y'=0得x1=0,x2=4. 列表可知y极大值=f(4)=32+m=13. ∴m=-19. 【答案】 -19 8.【解析】 令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大 值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得 -2<a<2时恰有三个不同的公共点. 【答案】 (-2,2) 9.【解析】 函数f x =ax +x 2, 所以f'(x)=-ax2 +2x, 因为x=1是f x 的极值点, 所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2. 【答案】 2 10.【解析】 因为f x =13x 3-4x2+4x-3, 所以f'(x)=x2-8x+4, 又a13,a4025是函数f x = 1 3x 3-4x2+4x-3的 极值点, 所以a13,a4025是方程x2-8x+4=0的两实根,因此 a13+a4025=8, 因为数列 an 是正项等差数列,所以a13+a4025= 2a2019=8,解得a2019=4,因此log2a2019=4. 【答案】 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·67·