选择性必修第二册 第5章 第1课时 基本初等函数的导数-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

=lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a)+f(a)-f(a-Δx) Δx =lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a) Δx +limΔx→0 f(a-Δx)-f(a) -Δx =m+m=2m. 【答案】 2m 9.B 【解析】 ∵y'=lim Δx→0 1 3 (x+Δx)3-2 - 13x3-2 Δx =lim Δx→0 x2+xΔx+13 (Δx)2 =x2, ∴切线的斜率k=y'|x=1=1. ∴切线的倾斜角为π4. 故选B. 10.B 【解析】 由x+2y-3=0知斜率k=-12 , ∴f'(x0)=- 1 2<0. 故选B. 11.【解析】 k=lim Δx→0 3(1+Δx)+(1+Δx)2-3-12 Δx =5. ∵f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1. 【答案】 y=5x-1 12.D 【解析】 Δy=f(x+Δx)-f(x)=12 (x+Δx)2 +2(x+Δx)- 12x 2-2x=x·Δx+ 12 (Δx)2 +2Δx, ∴ΔyΔx=x+ 1 2Δx+2 ,∴f'(x)=lim Δx→0 Δy Δx=x+2. 设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=x0+2. 由已知x0+2=4,∴x0=2.故选D. 13.A 【解析】 ∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上, ∴3=k+1,且3=1+a+b,即k=2,a+b=2. ∵曲线y=x3+ax+b, ∴y'=lim Δx→0 (x+Δx)3+a(x+Δx)+b-x3-ax-b Δx = 3x2+a. ∵直线y=kx+1与曲线相切于点P(1,3),3+a= 2,∴a=-1,b=3.故选A. 14.【解】 (1)从t=2到t=2+Δt内的平均速度为: Δs Δt= s(2+Δt)-s(2) Δt =3 (2+Δt)2+2(2+Δt)+1-3×4-2×2-1 Δt =14Δt+3 (Δt)2 Δt =14+3Δt. 当Δt=1时,平均速度为14+3×1=17; 当Δt=0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3. (2)t=2时的瞬时速度为 v=lim Δt→0 Δs Δt=limΔt→0 (14+3Δt)=14. 15.【解】 设P0(x0,y0), ∵f'(x)=lim Δx→0 (x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2) Δx =lim Δx→0 (3x2+1)Δx+3x(Δx)2+(Δx)3 Δx =3x 2+1. ∴f'(x0)=3x20+1, ∵曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线 y=4x-1,∴3x20+1=4,解得x0=±1. 当x0=1时,y0=0;当x0=-1时,y0=-4. ∴点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4). 16.【解析】 由题,令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1, 所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x 在点(0,1)处的 切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,则g' (x)= 1x+1 ,设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切 于点(x0,y0),则 1 x0+1 =2,得x0=- 1 2 ,则y0=2x0 +1=0,所以0=ln -12+1 +a,所以a=ln2. 【答案】 ln2 第2部分 旗开得胜:预习下学期新课 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 第一课时 基本初等函数的导数 【新课内容学习】 知识点1 0 1 2x 知识点2 0 αxα-1 cosx -sinx axlna ex 【新课随堂演练】 1.D 【解析】 由s=1 t4 得s'= 1t4 '=(t-4)'=-4t-5, s'|t=3=-4×3-5(m/s).故选D. 2.ABC 【解析】 对于A,(cosx)'=-sinx,所以选项 A错误;对于B,(2πx2)'=2×2πx=4πx,所以选项B 错误;对于C,(ex)'=ex,所以选项C错误;对于D, (lgx)'= 1xln10 ,所以选项D正确.故选ABC. 3.D 【解析】 ∵y=1 x =x- 1 2,∴y'=-12x -32, ∴y'|x=4=- 1 2×4 -32=-12×2 -3=-116 ,故选D. 4.A 【解析】 y'=2ax,∴在点(1,a)处切线的斜率k =y'|x=1=2a.由题意可得2a=2,∴a=1.故选A. 5.A 【解析】 ∵(sinx)'=cosx,∴直线l的斜率kl= cosx, ∴-1≤kl≤1,∴ 直 线l 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 0,π4 ∪ 34π,π .故选A. 6.B 【解析】 设切点为(x,y),又f'(x)= 1xlna , 根据题意有 y=13x , y=logax, 1 3= 1 xlna 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得x=e,a=e 3 e. 7.【解析】 因为f'(x)= 1 2 x ,所以f'(16)= 1 2 16 =18. 【答案】 18 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·47· 8.【解析】 曲线y=xn 在x=2处的导数y'=nxn-1=n ·2n-1=12,解得n=3. 【答案】 3 9.【解析】 f'(x)+g'(x)=-sinx+1≤0, 所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1, 所以x=π2+2kπ ,k∈Z. 【答案】 x|x=π2+2kπ ,k∈Z 10.【解析】 曲线y=1x 和y=x2在它们的交点坐标是 (1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x- 1,它们与x轴所围成的三角形的面积是34. 【答案】 34 第二课时 导数的四则运算法则与 简单复合函数的导数 【新课内容学习】 知识点1 (1)f'(x)±g'(x) (2)①f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ②cf'(x) 知识点2 f(g(x)) 知识点3 y'u·u'x 乘积 【新课随堂演练】 1.D 【解析】 ∵f(x)=(x+1)2=x2+2x+1 ∴f'(x)=2x+2,故选D. 2.C 【解析】 由已知y'=2(lnx+1)+2x·1x=2lnx +4,则y'|x=1=4,又x=1时,y=2,则切线方程为y =4x-2.故选C. 3.A 【解析】 由y=x4+ax2+1,得y'=4x3+2ax,则 曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处的切线斜率 为-4-2a=8,得a=-6.故选A. 4.D 【解析】 令f(x)=ax-ln(x+1),∴f'(x)=a- 1 x+1. 由题意,得f'(0)=2.解得a=3. 5.D 【解析】 因为f x =lnx-3x+f'(1)x2,则f'(x) =1x-3+2f' (1)x,所以f' 1 =1-3+2f' 1 ,则 f'(1)=2,所以f x =lnx-3x+2x2,所以f 1 = ln1-3+2=-1.故选D. 6.A 【解析】 ∵y'=(-2x)'e-2x =-2e-2x, ∴k=-2e0=-2.因此切线方程 为y-2=-2(x-0), 即y=-2x+2.如图所示. ∵y=-2x+2与y=x的交点为 2 3 ,2 3 ,y=-2x+2与x 轴的 交点坐标为(1,0), ∴S=12×1× 2 3= 1 3. 故选A. 7.【解析】 f(x)=4x2+4ax+a2,因为f'(x)=8x+4a, 所以f'(2)=16+4a=20,所以a=1. 【答案】 1 8.【解析】 y'=(sin2x)'=cos2x·(2x)'=2cos2x,所 以k=y'|x=π=2.又过点(π,0),所以切线方程为y= 2(x-π),即2x-y-2π=0. 【答案】 2x-y-2π=0 9.【解析】 f'(x)=- 3sin(3x+φ), f(x)+f'(x)=cos(3x+φ)- 3sin(3x+φ) =2sin 3x+φ+ 5π 6 . 若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0, 即0=2sinφ+ 5π 6 ,∴φ+5π6=kπ(k∈Z). 又∵φ∈(0,π),∴φ= π 6. 【答案】 π6 10.【解析】 设x>0,则-x<0,因为x≤0时,f(x)= e-x-1-x,所以f(-x)=ex-1+x,又因为f(x)为 偶函数,所以f(x)=ex-1+x,f'(x)=ex-1+1, f'(1)=e1-1+1=2,所以切线方程为y-2=2(x- 1),即2x-y=0. 【答案】 2x-y=0 第三课时 函数的单调性 【新课内容学习】 知识点1 1.单调递增 单调递减 2.快 陡峭 平缓 知识点2 定义域 零点 【新课随堂演练】 1.A 【解析】 因为f'(x)>0,所以f(x)在(a,b)上为 增函数,所以f(x)>f(a)≥0. 2.B 【解析】 函数y=12x 2-lnx的定义域为(0,+∞), y'=x-1x= (x-1)(x+1) x ,令y'≤0,则可得0<x≤1. 3.B 【解析】 B项中,y=xex,y'=ex+xex=ex(1+ x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,∴y=xex在(0,+∞)内 为增函数. 4.A 【解析】 y'=a(3x2-1)=3a x- 33 · x+ 33 , 当- 33<x< 3 3 时,x- 33 x+ 33 <0, 要使y=a(x3-x)在 - 33 ,3 3 上单调递减,只需y' <0,即a>0. 5.C 【解析】 设h(x)=f(x)-g(x),∵f'(x)-g'(x)>0, ∴h'(x)>0,∴h(x)在[a,b]上是增函数,∴当a<x< b时,h(x)>h(a),∴f(x)-g(x)>f(a)-g(a),即 f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 6.BD 【解析】 由导函数的图象可知,导函数f'(x)的图 象在x轴下方,即f'(x)<0,故原函数为减函数,并且 递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示: f(x)<0恒成立,没有依据,故 A不正确;B表示(x1 -x2)与[f(x1)-f(x2)]异号,即f(x)为减函数.故 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57· 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 第一课时 基本初等函数的导数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课内容学习 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.掌握几个常用函数的导数,并能进行简 单的应用. 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进 行简单的应用. 3.通过基本初等函数的导数公式的简单应 用,增强运算求解的数学素养. 几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=x f'(x)= f(x)=x2 f'(x)= f(x)=1x f' (x)=-1 x2 f(x)= x f'(x)= 1 2 x 【例1】 (1) 1 2 '等于 ( ) A.1 2 B.1 C.0 D.1 2 2 【解析】 常数的导数等于0.故选C. 【答案】 C (2)已知函数f(x)=1x ,则f'(-3)等于( ) A.4 B.19 C.- 1 4 D.- 1 9 【解析】 ∵ 1x '=-1x2,∴f'(-3)= - 1(-3)2 =-19. 【答案】 D (3)(多选)过曲线y=1x 上一点P 的切线的 斜率为-4,则P 的坐标可以为 ( ) A.12 ,2 B.-12,2 C.-12 ,-2 D.12,-2 【解析】 因为y'=-1x2 ,令-1 x2 =-4, 得 x = ± 12 ,P 的 坐 标 为 12 ,2 , -12 ,-2 .故选AC. 【答案】 AC 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=xα(α∈Q*) f'(x)= f(x)=sinx f'(x)= f(x)=cosx f'(x)= f(x)=ax f'(x)= f(x)=ex f'(x)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·54· f(x)=logax f'(x)= 1xlna f(x)=lnx f'(x)=1x 【例2】 (1)若f(x)=x3,f'(x0)=3,则x0 的值是 ( ) A.1 B.-1 C.±1 D.3 3 【解析】 由于f'(x0)=3x02=3,∴x0= ±1.故选C. 【答案】 C (2)(多选)下列求导过程正确的选项是 ( ) A.1x '=1x2 B.(x)'= 1 2 x C.(xa)'=axa-1 D.(logax)'= lnx lna '= 1xlna 【解析】 根据题意,依次分析选项: 对于A,1x '=(x-1)'=-1x2,A错误; 对于 B,(x)'= x 1 2 '=12×x -12 = 1 2 x ,B正确;对于C,(xa)'=axa-1,C 正 确;对 于 D,(logax)'= lnx lna '= 1 xlna ,D正确.故选BCD. 【答案】 BCD (3)在曲线y=1x2 上求一点P,使得曲线在 该点处的切线的倾斜角为135°,则P 点 坐标为 . 【解析】 y'= 1 x2 '=-2x-3, 设P(x0,y0),则-2x-30 =tan135°=-1, 解得x0=2 1 3.此时y0=2- 2 3. 故P 点坐标为 2 1 3,2- 2 3 . 【答案】 2 1 3,2- 2 3 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 新课随堂演练 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.质点的运动方程是s=1 t4 (其中s的单位 为m,t的单位为s),则质点在t=3s时 的速度为 ( ) A.-4×3-4m/s B.-3×3-4m/s C.-5×3-5m/s D.-4×3-5m/s 2.(多选)下列求导运算不正确的是 ( ) A.(cosx)'=sinx B.(2πx2)'=4π2x C.(ex)'=xex-1 D.(lgx)'= 1xln10 3.函数y=1 x 在点x=4处的导数是 ( ) A.18 B. 1 8 C. 1 16 D.- 1 16 4.设曲线y=ax2在(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0平行,则a等于 ( ) A.1 B.12 C.- 1 2 D.-1 5.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P 为 切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角 的取值范围是 ( ) A.0,π4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ∪ 34π ,π􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 B.0,π C.π4 ,3 4π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.0,π4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ∪ π2 ,3 4π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 6.若函数f(x)=logax 的图象与直线y= 1 3x 相切,则a的值为 ( ) A.e e 2 B.e 3 e C.5 ee D.e e 4 7.已知f(x)= x,则f'(16)= . 8.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则 n= . 9.已知f(x)=cosx,g(x)=x,则关于x的不 等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为 . 10.曲线y=1x 和y=x2 在它们交点处的两 条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·64·