必刷题一 集合与常用逻辑用语-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

必刷题一 集合与常用逻辑用语 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 集合的基本概念 1.设集合A={1,2,3,4},B={5,6},C={x+y|x∈A, y∈B},则C中元素的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a 的取值范围为 . 集合间的基本关系 3.设 M={α|α=k·90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+45°, k∈Z},N={α|α=k·45°,k∈Z},则 ( ) A.M⊆N B.M⊇N C.M=N D.M∩N=⌀ 4.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}, 若B⊆A,则m 的取值范围为 . 集合的运算 5.(多选)若集合 M={x|-3<x<1},N={x|x≤3},则 集合{x|x≤-3或x≥1}= ( ) A.M∩N B.∁RM C.∁R(M∩N) D.∁R(M∪N) 6.设集合A={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},则 (A∩B)∪C= ( ) A.{0} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4} D.{0,2,3,4} 利用集合的运算求参 7.已知集合A=(1,3),集合B={x|2m<x<1-m}.若 A∩B=⌀,则实数m 的取值范围是 ( ) A.32≤m 或m<13 B.m≥0 C.m≥32 D.0≤m< 1 3 8.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},若A∪B=A,则实数m 的取值范围为 . 类型一 补集思想的运用 【例1】 已知集合A={x|x2 -4mx+2m+6=0,x∈ R},B={x|x<0,x∈R}, 若A∩B≠⌀,求实数m 的 取值范围. 【关键技巧】 “正难则反”策略运用的是补 集思想,即已知全集U,求子 集A,若直接求A困难,可先 求∁UA,再 由∁U(∁UA)=A 求A. 补集的思想作为一种思想方 法,为我们研究问题开辟了 新思路.今后我们要有意识 地去体会并运用补集思想, 在顺向思维受阻时,改用逆 向思维,可能“柳暗花明”.从 这个意义上讲补集思想具有 转换研究对象的功能,这是 转化思想的又一体现. 【解】 当 A=⌀时不符合 题意,∴A≠⌀. 设全集U={m|Δ=(-4m)2 -4(2m+6)≥0} U= m|m≤-1,或m≥32 . 若A∩B=⌀, 则方程x2-4mx+2m+6 =0的两根x1,x2均非负, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· 全称量词命题与存在量词命题 9.(多选)下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是 ( ) A.至少有一个实数x,使得x3=1 B.菱形的对角线互相垂直 C.∀x∈R,x2+x+14>0 的否定 D.∃x∈R,-x2+x-2≥0的否定 10.若“∃x∈[-1,2],x2-m>1”为假命题,则实数m 的 最小值为 . 充分条件与必要条件 11.“0<θ<π3 ”是“0<sinθ< 32 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.下列是“|x-1|<1”成立的必要不充分条件的是 ( ) A.-12<x<1 B.- 1 2<x<4 C.-3<x<12 D.- 1 2<x<0 13.设p:ln(2x-1)≤0,q:(x-a)[x-(a+1)]≤0,若q是p 的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a(a>0)}. (1)若A∪B=B,求a的取值范围. (2)若A∩B=⌀,求a的取值范围. 则有 m∈U, x1+x2=4m≥0, x1x2=2m+6≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得m≥32. 因为m= m|m≥32 关于U 的补 集 为∁UM ={m|m≤ -1}, 所以实数 m 的取值范围为 m≤-1. 类型二 证明充要条件 【例2】 求证:关于x 的方程 ax2+bx+c=0有一个根 为1的充要条件是a+b+c =0. 【关键技巧】 证明充要条件,即证明条件 的充分性和必要性.证明充 要性时一定要注意分类讨 论,要搞清它的叙述格式, 避免在论证时将充分性错 当必要性证,而又将必要性 错当充分性证. 【证明】 必要性: ∵方程ax2+bx+c=0有 一个根为1, ∴x=1满足方程ax2+bx +c=0, a·12+b·1+c=0, 即a+b+c=0. 充分性: ∵a+b+c=0, ∴c=-a-b. 代入方程ax2+bx+c=0 中可 得 ax2 +bx-a-b =0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2· 15.已知“∃x∈{x|-1<x<1},使等式x2-x-m=0成 立”是真命题. (1)求实数m 的取值集合M; (2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为 N,若 x∈N 是x∈M 的必要条件,求实数a的取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024·全国甲卷(理))已知集合A={1,2,3,4,5, 9},B={x|x∈A},则∁A(A∩B)= ( ) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 17.(2024·北京卷)已知集合 M={x|-3<x<1},N= {x|-1≤x<4},则 M∪N= ( ) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 即(x-1)(ax+a+b)=0. 故方程ax2+bx+c=0有 一个根为1. 【学习笔记】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3· 参考答案 第1部分 学而不厌:复习一年半内容 必刷题一 1.C 【解析】 因集合A={1,2,3,4},B={5,6},又x ∈A,y∈B,则当y=5时,x+y的值有6,7,8,9,当y =6时,x+y的值有7,8,9,10,于是得C={6,7,8,9, 10},所以C中元素的个数为5.故选C. 2.【解析】 由 题 意 得 (2-a)2<1, (3-a)2≥1, 解 得 1<a<3,a≤2或a≥4. 所以1<a≤2. 【答案】 (1,2] 3.A 【解析】 ∵N={α|α=k·45°,k∈Z},∴当k为偶 数,即k=2n,n∈Z时,α=k·45°=2n·45°=n·90°, n∈Z,当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,α=k·45°= (2n+1)·45°=n·90°+45°,n∈Z,又 M={α|α=k· 90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+45°,k∈Z},∴M⊆N.故 选A. 4.【解析】 当m≤0时,B=⌀,显然B⊆A.当m>0时, 因为A={x|-1<x<3}.若B⊆A,在数轴上标出两 集合,如图, 所以 -m≥-1, m≤3, -m<m. 所以0<m≤1.综上所述,m 的取值 范围为(-∞,1]. 【答案】 (-∞,1] 5.BC 【解析】 因为集合M={x|-3<x<1},N={x|x≤ 3},所以M∩N={x|-3<x<1},M∪N={x|x≤3}, ∁RM={x|x≤-3或x≥1},所以∁R(M∩N)={x|x≤ -3或x≥1},∁R(M∪N)={x|x>3}.故选BC. 6.C 【解析】 由A={-1,0,1},B={1,3,5},得A∩B ={1},所以(A∩B)∪C={1}∪{0,2,4}={0,1,2, 4},故选C. 7.B 【解析】 由A∩B=⌀,得①若2m≥1-m,即m≥ 1 3 时,B=⌀,符合题意;②若2m<1-m,即 m<13 时,因为A∩B=⌀,则 m<13 , 1-m≤1 或 m< 1 3 , 2m≥3, 解得0≤ m<13 ,所以实数m 的取值范围为m≥0,故选B. 8.【解析】 ∵A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m- 1},由A∪B=A,∴B⊆A,①当B=⌀时,满足B⊆A,此 时m+1>2m-1,∴m<2;②当B≠⌀时,∵B⊆A,则 m+1≤2m-1, m+1≥-2, 2m-1≤5, 解得2≤m≤3.综上m∈(-∞,3]. 【答案】 (-∞,3] 9.AC 【解析】 对于选项A,命题是存在量词命题,当x =1时,x3=1,所以A中命题是真命题;对于选项B,命 题是全称量词命题,不满足题意;对于选项C,∀x∈R, x2+x+14>0 的否定为:∃x∈R,x2+x+14≤0 ,是存 在量词命题,x2+x+14= x+ 1 2 2 ≥0,当x=-12 时,x2+x+14=0 ,所以C中命题是真命题;对于选项 D,∃x∈R,-x2+x-2≥0的否定是:∀x∈R,-x2+ x-2<0,是全称量词命题,不符合题意.故选A、C. 10.【解析】 因为“∃x∈[-1,2],x2-m>1”为假命题, 所以“∀x∈[-1,2],x2-m≤1”为真命题,所以m≥ x2-1对x∈[-1,2]恒成立,即m≥(x2-1)max=3. 【答案】 3 11.A 【解析】 由正弦函数的单调性可知,当0<θ< π 3 时,0<sinθ< 32. 反之,当0<sinθ< 32 时,可能有 θ=5π6> π 3 ,所以“0<θ<π3 ”是“0<sinθ< 32 ”的充 分不必要条件,故选A. 12.B 【解析】 |x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2, 分析各选项,只有B是必要不充分条件.故选B. 13.【解析】 p对应的集合A={x|y=ln(2x-1)≤0}= x|12<x≤1 ,q对应的集合B={x|(x-a)[x- (a+1)]≤0}={x|a≤x≤a+1}.由q是p 的必要不 充分条件,知A⫋B.所以a≤12 且a+1≥1,因此0≤ a≤12. 【答案】 0,12 14.【解】 (1)因为A∪B=B,所以A⊆B, 观察数轴可知,2≥a , 4≤3a, 所以43≤a≤2. (2)A∩B=⌀有两类情况:B在A 的左边和B在A 的 右边,如图.观察数轴可知,a≥4或3a≤2,又a>0, 所以0<a≤23 或a≥4. 15.【解】 (1)由题意,知m=x2-x= x-12 2 -14. 由-1<x<1,得m∈ -14 ,2 ,故 M= -14,2 . (2)由x∈N 是x∈M 的必要条件,知 M⊆N. ①当a>2-a,即a>1时,N=(2-a,a), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·55· 则 2-a<-14 , a≥2, a>1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a> 9 4. ②当a<2-a,即a<1时,N=(a,2-a), 则 a<1, a<-14 , 2-a≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a<- 1 4. ③当a=2-a,即a=1时,N=⌀,不满足 M⊆N. 综上可得a∈ -∞,-14 ∪ 94,+∞ . 16.D 【解析】 B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4, 9},则∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. 17.C 【解析】 由集合的并运算,得 M∪N={x|-3< x<4}.故选C. 必刷题二 1.BC 【解析】 若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错 误;若ab>0,bc-ad>0,则bc-adab >0 ,化简得c a - d b >0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d> b-c,故C正确;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则ad = -1,bc =-1 ,a d = b c =-1 ,故D错误.故选BC. 2.B 【解析】 p-q=b 2 a+ a2 b-a-b= b2-a2 a + a2-b2 b = (b2 -a2)· 1a- 1 b = (b 2-a2)(b-a) ab = (b-a)2(b+a) ab ,∵a<0,b<0,∴a+b<0,ab>0.若a =b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p< q.综上,p≤q.故选B. 3.B 【解析】 不等式(m-x)(n+x)>0可化为(x- m)·(x+n)<0,因为m+n>0,所以m>-n,所以原 不等式的解集为-n<x<m,故选B. 4.B 【解析】 根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x- 2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x ☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集 是{x|-2<x<1}. 5.B 【解析】 原不等式可化为3x-2x+3-2≥0 ,即x-8 x+3≥0 , 即(x-8)(x+3)≥0且x+3≠0,∴x<-3或x≥8. 6.A 【解析】 由题知,不等式等价于 1x-x 1x-x2 <0,即 (x2-1)(x3-1) x2 <0,从而 (x-1)2(x+1)(x2+x+1) x2 <0,解得x<-1,选A. 7.【解析】 因为a+b=1,所以1a+ 1 b= 1 a+ 1 b (a+ b)=2+ ab + a b ≥2+2 ba ·ab =2+2=4.当且 仅当a=b=12 时,取等号. 【答案】 4 8.【解析】 法一:由题意知y≠0,由5x2y2+y4=1得 x2= 1 5y2 -y 2 5 ,则x2+y2= 15y2 +4y 2 5 ≥2 1 5y2 ·4y 2 5 =45 ,当且仅当 1 5y2 =4y 2 5 ,即y2=12 时取等号,则x2 +y2的最小值是45. 法二:4=(5x2+y2)·4y2≤ (5x2+y2)+4y2 2 2 = 25 4 (x2+y2)2,则x2+y2≥45 ,当且仅当5x2+y2= 4y2=2,即x2=310 ,y2=12 时取等号,则x2+y2的最 小值是4 5. 【答案】 45 9.【解析】 因为y=x 2-1+1 x+1 =x-1+ 1 x+1=x+1+ 1 x+1-2 ,因为x>-1,所以x+1>0, 所以y≥2 1-2=0,当且仅当x=0时,等号成立. 【答案】 0 10.【解析】 因为不等式2kx2+kx+38>0 为一元二次不 等式,所以k≠0,又一元二次不等式2kx2+kx+38>0 对一切实数x都成立,所以有 2k>0, Δ=k2-4×2k×38<0 , 解得 k>0, 0<k<3, 即0<k<3,所以实数k的取值范围是 {k|0<k<3}. 【答案】 {k|0<k<3} 11.【解析】 设f(x)=x2+mx+4,要使x∈(1,2)时, 不等式x2+mx+4<0恒成立. 则有 f (1)≤0, f(2)≤0, 即 1+m+4≤0,4+2m+4≤0, 解得m≤-5. 【答案】 (-∞,-5] 12.C 【解析】 由题意知,体积V=4m3,高h=1m,所 以底面积S=4m2,设底面矩形的一条边长是xm, 则另一条边长是4 x m ,又设总造价是y元,则y=20 ×4+10× 2x+8x ≥80+20 2x·8x =160,当且 仅当2x=8x ,即x=2时取得等号. 13.B 【解析】 由 题 意 得,N= 1000v 0.7v+0.3v2+30 = 1000 0.7+0.3v+30v ≤ 1000 0.7+2 0.3×30 ≈149,当 且 仅 当0.3v=30v ,即v=10时取“=”,所以该道路一小时 “道路容量”的最大值约为149.故选B. 14.(1)D 【解析】 由3x+y=5xy,得3x+yxy = 3 y+ 1 x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·65·