必刷题五 三角函数-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

必刷题五 三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.平面直角坐标系xOy中,若角α的顶点为坐标原点,始 边与x轴的非负半轴重合,其终边上一点P 绕原点顺 时针旋转π 6 到达点Q(3,4)的位置,则sinα-π6 = ( ) A.-35 B. 3 5 C.- 4 5 D. 4 5 2.(多选)下列条件中,能使α和β 的终边关于y 轴对称 的是 ( ) A.α+β=540° B.α+β=360° C.α+β=180° D.α+β=90° 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 3.若角α的终边在第三象限,则 cosα 1-sin2α + 2sinα 1-cos2α = ( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 4.(多选)下列化简正确的是 ( ) A.tan(π+1)=tan1 B. sin (-α) tan(360°-α)=cosα C.sin (π-α) cos(π+α)=tanα D.cos (π-α)tan(-π-α) sin(2π-α) =1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角 公式 5.已知α满足sinα+π4 = 26,则 tanαtan2α+1= ( ) A.3 B.-3 C.49 D.- 4 9 类型一 给值求值、求角 【例1】 (1)已知cosα=13 ,α ∈ 0,π2 ,sinβ=-35,β是 第三象限角.求sin(α+β), sin(α-β)的值; (2)已知cos(α-β)=- 12 13 , cos(α+β)= 12 13 ,且α-β∈ π 2 ,π ,α+β∈ 3π2,2π ,求 角β的值. 【关键技巧】 解此类问题的关键是把“所 求角”用“已知角”表示出 来.①当“已知角”有两个 时,“所求角”一般表示为两 个“已知角”的和或差的形 式,如本题.②当“已知角” 有一个时,此时应 着 眼 于 “所求角”与“已知角”的关 系,然后应用诱导 公 式 把 “所求角”变 成“已 知 角”. ③角的拆分方法不唯一,可 根据题目合理地选择拆分 方式.如α=(α+β)-β=β -(β-α),α= α+β 2 + α-β 2 , β= α+β 2 - α-β 2 ,2α=(α+ β)+(α-β),2β=(α+β)- (α-β), π 4+α + π4+β = π 2 + (α+β), π 4+α + π 4-β =π2+(α-β). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· 6.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.cos2α=1+cos2α2 B.1-sinα= sinα2-cos α 2 2 C.12sinα+ 3 2cosα=sinα+ π 6 D.1-tan15°1+tan15°= 3 3 简单的三角恒等变换 7.设a=sin246°,b=cos235°-sin235°,c= tan32° 1-tan232° ,则 a,b,c的大小关系为 ( ) A.b<c<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 8.计算cos20°- 3sin20°sin10° = . 三角函数的图象与性质(一) 9.函数f(x)=sin2x+cosxx∈ 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 的最大值为( ) A.1 B.54 C. 3 2 D.2 10.函数f(x)=sin2x+3π2 -3cosx的最小值为 . 11.已知ω>0,函数f(x)=sinωx+π4 的最小正周期为π, 则f(x)在区间 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的单调递减区间是 . 三角函数的图象与性质(二) 12.函数f(x)=2tan2x-π3 的对称中心是 ( ) A.π6 ,0 B.kπ+π6,0 ,k∈Z C.kπ2+ π 6 ,0 ,k∈Z D.kπ4+π6,0 ,k∈Z 13.若函数f(x)=2 3sinπxn (n>0)图象上的相邻一个 最高点和一个最低点恰好都在圆O:x2+y2=n2上,则 f(1)= ( ) A.6 B.2 3 C.-2 3 D.- 6 【解】 (1)∵cosα=13 ,α ∈ 0,π2 , ∴sinα= 1-cos2α=232. ∵sinβ=- 3 5 ,β是第三象 限角, ∴cosβ= - 1-sin2β= -45. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ =23 2× - 4 5 + 13 × -35 =-3+8 215 . sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ =23 2× - 4 5 - 13 × -35 =3-8 215 . (2)由α-β∈ π 2 ,π , 且cos(α-β)=- 12 13 , 得sin(α-β)= 5 13. 由α+β ∈ 3π2 ,2π , 且cos(α+β)= 12 13 , 得sin(α+β)=- 5 13. cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+ sin(α+β)sin(α-β) =-1213× 12 13+ - 5 13 ×513 =-1. 又α+β∈ 3 2π ,2π , α-β∈ π 2 ,π , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41· 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.已知sin(α+β)= 1 2 ,sin(α-β)= 1 3. (1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ; (2)若已知0<α+β< π 2 ,0<α-β< π 2 ,求cos2α的值. ∴2β∈ π 2 ,3π 2 ,∴2β=π, ∴β= π 2. 类型二 三角函数性质的 综合应用 【例2】 设函数f(x)=tan(ωx +φ)ω>0,0<φ< π 2 ,已知 函数y=f(x)的图象与x轴 相邻两个交点的距离为π 2 ,且 图象关于点M -π8 ,0 对称. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的单调区间; (3)求不等式-1≤f(x)≤ 3的解集. 【解】 (1)由题意知,函数 f(x)的最小正周期T=π2 , 即 π |ω|= π 2. 因为ω>0,所 以ω=2, 所以f(x)=tan(2x+φ). 因为函数y=f(x)的图象 关于点 M -π8 ,0 对称, 所以2× -π8 +φ=kπ2, k∈Z,即φ= kπ 2+ π 4 ,k∈Z. 又0<φ< π 2 ,所以φ= π 4. 故f(x)=tan2x+π4 . (2)令-π2+kπ<2x+ π 4< π 2+kπ ,k∈Z,得-3π8+ kπ 2 <x<π8+ kπ 2 ,k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·51· 15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|< π 2 满足下 列3个条件中的2个条件: ①函数f(x)的周期为π; ②x=π6 是函数f(x)的对称轴; ③f π4 =0且在区间 π6,π2 上单调. (1)请找出这2个条件,并求出函数f(x)的解析式; (2)若x∈ 0,π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,求函数f(x)的值域. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ =2,则cos(α-β)= ( ) A.-3m B.-m3 C. m 3 D.3m 17.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sinx 与y=2sin 3x-π6 的交点个数为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 所以函数f(x)的单调递增区 间 为 -3π8+ kπ 2 ,π 8+ kπ 2 , k∈Z,无单调递减区间. (3)由 (1),知 f(x)= tan2x+π4 . 由-1≤tan2x+π4 ≤ 3, 得-π4+kπ≤2x+ π 4≤ π 3 +kπ,k∈Z,即-π4+ kπ 2≤ x≤π24+ kπ 2 ,k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤ 3的解集为 x|-π4+ kπ 2≤x≤ π 24+ kπ 2 ,k∈Z . 【关键技巧】 探究函数y=Asin(ωx+φ) 或y=Atan(ωx+φ)的性质 (定义域、值域、单调性、对 称性、最值等)的综合应用 时,可利用换元思想(令t= ωx+φ),将ωx+φ 看作一 个整体,结合y=sinx,x∈ R(y=tanx)的性质求解. 对于y=asinx+bcosx型的 函数,首先用辅助角公式将 其转化为y=Asin(ωx+φ)的 形式;若弦切函数并存的函 数式,可将切化弦后再转化 为y=Asin(ωx+φ)的形式. 【学习笔记】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· 16.B 【解析】 逻辑分析法+数形结合法.因为函数 f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2- 2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单 调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex +ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增. 若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a ≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B. 17.C 【解析】 等价转化法 由f(x)≥0及y=x+a, y=ln(x+b)单调递增,可得x+a与ln(x+b)同正、 同负或同为零,所以当ln(x+b)=0时,x+a=0,即 x+b=1 x+a=0 ,所以b=a+1,则a2+b2=a2+(a+1)2= 2 a+12 2 +12≥ 1 2 ,故选C. 必刷题五 1.D 【解析】 依题意可知Q(3,4)在角α-π6 的终边 上,所以sinα-π6 = 432+42= 4 5 ,故选D. 2.AC 【解析】 假设α,β为0°~180°内的角,如图所 示,由α和β的终边关于y 轴对称,所以α+β=180°, 又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+ 180°=(2k+1)180°,k∈Z,所以满足条件的为A、C.故 选AC. 3.B 【解析】 由角α的终边在第三象限,得sinα<0, cosα<0,故 原 式 = cosα|cosα|+ 2sinα |sinα|= cosα -cosα+ 2sinα -sinα=-1-2=-3 ,故选B. 4.AB 【解析】 A选项:tan(π+1)=tan1,故正确; B选 项: sin (-α) tan(360°-α)= -sinα -tanα= sinα sinα cosα =cosα,故 正确; C选项:sin (π-α) cos(π+α)= sinα -cosα=-tanα ,故不正确; D选项:cos (π-α)tan(-π-α) sin(2π-α) = -cosα·(-tanα) -sinα = cosα·sinαcosα -sinα =-1 ,故不正确.故选AB. 5.D 【解析】 ∵sinα+π4 = 26= 22(sinα+cosα), 即sinα+cosα=13 ,平方可得1+2sinαcosα=19 , ∴sin2α=-89 ,故 tanα tan2α+1= 1 2× 2sinαcosα sin2α+cos2α = 1 2sin2α=- 4 9 ,故选D. 6.ABD 【解析】 ∵cos2α=2cos2α-1, ∴cos2α=1+cos2α2 ,故A正确; 1-sinα=sin2 α2 +cos 2 α 2 -2sin α 2cos α 2 = sinα2-cos α 2 2 ,故 B正 确;12sinα+ 3 2cosα= sinα+π3 ,故C错误; 1-tan15° 1+tan15°= tan45°-tan15° 1+tan45°·tan15°=tan (45°-15°)= tan30°= 33 ,故D正确.故选ABD. 7.D 【解析】 因为sin45°<sin46°<sin60°,所以有 sin245°<sin246°<sin260°,即 2 2 2 <sin246°< 3 2 2 ,所以1 2<a< 3 4 ;因为cos235°-sin235°=1- 2sin235°,而sin30°<sin35°<sin45°,所以有14< sin235°<12 ,所以0<1-2sin235°<12 ,即0<b< 1 2 ;因为 tan32° 1-tan232° =12× 2tan32° 1-tan232° =12tan64° , 而tan64°>tan60°= 3,所以c> 32 ;显然b<a,而c2 > 3 2 2 =34> 3 4 2 ,所以c>34 ,即c>a,所以b< a<c.故选D. 8.【解析】 cos20°- 3sin20°sin10° =- 3sin20°-cos20° sin10° = -2sin (20°-30°) sin10° =- -2sin10° sin10° =2. 【答案】 2 9.B 【解析】 因为f(x)=sin2x+cosx=-cos2x+cosx +1=- cosx-12 2 +54 ,由x∈ 0,π2 ,得cosx∈ [0,1],所以当cosx=12 时,f(x)max= 5 4. 故选B. 10.【解析】 ∵f(x)=sin2x+3π2 -3cosx=-cos2x -3cosx=-2cos2x-3cosx+1,令t=cosx,则 t∈[-1,1],∴g(t)=-2t2-3t+1=-2t+34 2 +178. 又函数g(t)的图象的对称轴为直线t=-34∈ [-1,1],且开口向下,∴当t=1时,g(t)有最小值 -4.即f(x)有最小值-4. 【答案】 -4 11.【解析】 因为函数f(x)=sinωx+π4 的最小正周 期为π,即2πω=π ,解得ω=2,即f(x)=sin2x+π4 ,令2kπ+π2≤2x+ π 4≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z,解得kπ+ π 8≤x≤kπ+ 5π 8 ,k∈Z,即 函 数f(x)的 减 区 间 为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·06· kπ+π8 ,kπ+5π8 ,k∈Z,又x∈ 0,π2 ,则f(x)在 区间 0,π2 上的单调递减区间是 π8,π2 . 【答案】 π8 ,π 2 12.D 【解析】 令2x-π3= kπ 2 (k∈Z),解得x=π6+ kπ 4 (k∈Z),故函数的对称中心为 kπ4+ π 6 ,0 ,k∈Z. 故选D. 13.A 【解析】 设相邻最高点和最低点坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则y1=2 3,y2=-2 3,又函数 f(x)=2 3sinπxn (n>0)为奇函数,∴x1=-x2,当 πx n = π 2⇒x= n 2 时,函数取得最大值2 3,∴x1= n 2 ,x2=- n 2 ,由题,函数f(x)=2 3sinπxn (n>0) 图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆 O:x2+y2=n2上,∴ n2 2 +(2 3)2=n2⇒n=4, 则f(1)=2 3sinπ4= 6. 故选A. 14.【解】 (1)证明:∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ =12 ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= 1 3 , ∴2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,① 3sinαcosβ-3cosαsinβ=1,② ②-①得sinαcosβ-5cosαsinβ=0, 则sinαcosβ=5cosαsinβ. (2)∵sin(α+β)= 1 2 ,sin(α-β)= 1 3 ,0<α+β< π 2 , 0<α-β< π 2 ,∴cos(α+β)= 3 2 ,cos(α-β)= 2 2 3 , 则cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α- β)-sin(α+β)sin(α-β)= 3 2 × 2 2 3 - 1 2 × 1 3 =2 6-16 . 15.【解】 (1)由①可得2πω=π⇒ω=2 ; 由②得ωπ6+φ=kπ+ π 2⇒φ=kπ+ π 2- πω 6 ,k∈Z; 由③得πω4+φ=mπ⇒φ=mπ- πω 4 ,m∈Z,T2≥ π 2- π 6= π 3⇒ 2π ω≥ 2π 3⇒0<ω≤3 ; 若①②成立,则ω=2,φ= π 6 ,f(x)=sin2x+π6 . 若①③成立,则φ=mπ- πω 4=mπ- π 2 ,m∈Z,不合 题意. 若②③成立,则kπ+π2- πω 6=mπ- πω 4⇒ω=12 (m- k)-6,m,k∈Z,由 ③ 中 的0<ω≤3,得 m-k∈ 1 2 ,3 4 ,与m,k∈Z矛盾,所以②③不成立. 所以只有①②成立,f(x)=sin2x+π6 . (2)由题意得,0≤x≤π3⇒ π 6≤2x+ π 6≤ 5π 6⇒ 1 2≤ f(x)≤1,所以函数f(x)的值域为 12 ,1 . 16.A 【解析】 由cos(α+β)=m 得cosαcosβ-sinα sinβ=m ①.由tanαtanβ=2得 sinαsinβ cosαcosβ =2 ②,由①②得 cosαcosβ=-m sinαsinβ=-2m ,所以cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故选A. 17.C 【解析】 数形结合法 因为函数y=2sin(3x- π 6 )的最小正周期T=2π3 ,所以函数y=2sin(3x- π 6 )在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所以 作出函数y=2sin(3x-π6 )与y=sinx在[0,2π]上 的图象如图所示. 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 必刷题六 1.B 【解析】 对于A,当λ>0时,a与λa 的方向相同, 当λ<0时,a与λa 的方向相反,故A不正确,B正确; 对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定, 故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;对于 D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大 小,故D不正确. 2.C 【解析】 由PA→+PB→+PC→=AB→,得PA→+PB→+PC→= PB→-PA→,即PC→=-2PA→,故点P在线段AC上. 3.D 【解析】 取a=BA→,b=BC→作为基底,则BE→=a+ 1 2b. 因为BF=3FE,所以BF→=34BE →=34 a+ 1 2b =34a+ 3 8b ,所以CF→=BF→-BC→=34a+ 3 8b-b= 3 4a- 5 8b ,故选D. 4.ABD 【解析】 各选项代入验证,若A,B,C 三点不 共线即可构成三角形.因为AB→=OB→-OA→=(2,-1) -(1,-3)=(1,2),AC→=OC→-OA→=(m+1,m-2)- (1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C 三点共线,则1× (m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,A,B,C 三 点就可构成三角形,故选ABD. 5.D 【解析】 由已知可得|a-b|2=a2-2a·b+b2= 2-2a·b=1,则 a·b= 12 ,因 此,|2a+b|= (2a+b)2= 4a2+4a·b+b2= 7.故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·16·