必刷题四 幂函数、指数函数与对数函数-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

必刷题四 幂函数、指数函数与对数函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 幂函数的图象及性质 1.(多选)已知幂函数f(x)的图像经过点(4,2),则下列 选项正确的有 ( ) A.f(x)为增函数 B.f(x)为偶函数 C.若x≥9,则f(x)≥3 D.若x2>x1>0,则 f(x1)+f(x2) 2 >f x1+x2 2 2.若(a+1)- 1 3<(3-2a)- 1 3,则实数a 的取值范围是 . 指数幂的运算 3.14 -12 · (4ab -1)3 (0.1)-1·(a3·b-3) 1 2 (a>0,b>0)= . 4.设α,β是方程5x 2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= . 指数函数的性质及应用 5.若2x-2y<3-x-3-y,则 ( ) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 6.(多选)已知f(x)=1-2 x 1+2x ,则 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x)在R上单调递减 对数的运算 7.若2a=5b=10,则1a+ 1 b= ( ) A.-1 B.lg7 C.1 D.log710 8.计算:lg25+lg50+lg2·lg500+(lg2)2= . 类型一 指数函数性质的 综合应用 【例1】 已知f(x)=x 1 2x-1 + 1 2 . (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性,并 说明理由; (3)求证:f(x)>0. 【关键技巧】 解决指数函数性质的综合 问题的注意点 (1)注意代数式的变形,如 分式通分、因式分解、配方 法、分母(或分子)有理化等 变形技巧. (2)解答函数问题注意应在 函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与 底数有关,因此要注意是否 需要讨论. (4)形如y=af(x)的函数的 单调性,若a>1,y=af(x) 的单调性与u=f(x)的单 调性相同,若0<a<1,y= af(x)的单调性与u=f(x) 的单调性相反. 【解】 (1)由2x-1≠0,得 2x≠20,故x≠0, ∴函 数 f(x)的 定 义 域 为 {x∈R|x≠0}. (2)函数f(x)是偶函数. 理由如下: 由(1)知函数f(x)的定义 域关于原点对称, ∵f(x)=x 1 2x-1 +12 = x 2 ·2 x+1 2x-1 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01· 对数函数的性质及应用 9.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图 象如图所示,则a,b满足的关系是 ( ) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 10.设a=log0.20.3,b=log23,c=log46,则 ( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 11.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( ) A.是偶函数,且在 12 ,+∞ 单调递增 B.是奇函数,且在 -12 ,1 2 单调递减 C.是偶函数,且在 -∞,-12 单调递增 D.是奇函数,且在 -∞,-12 单调递减 函数与方程 12.函数f(x)=log8x- 1 3x 的一个零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 13.(多选)在数学中,布劳威尔不动点定理可应用到有限 维空间,并构成一般不动点定理的基石,它得名于荷 兰数学家鲁伊兹·布劳威尔,简单的讲就是对于满足 一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得 f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列 为“不动点”函数的是 ( ) A.f(x)=2x+x B.g(x)=x2-x-3 C.f(x)=x 1 2+1 D.f(x)=|log2x|-1 ∴f(-x)=-x2 ·2 -x+1 2-x-1 =-x2 · (2 -x+1)·2x 2(2-x-1)·2x =-x2 ·1+2 x 1-2x =x2 ·2 x+1 2x-1 =f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)证明:由(2)知f(x)= x 2 ·2 x+1 2x-1 . 对于任意x∈R,都有2x+1 >0,若x>0,则2x>20,所 以2x -1>0,于 是 x2 · 2x+1 2x-1 >0,即f(x)>0,若 x<0,则2x<20,所以2x- 1<0,于是x2 ·2 x+1 2x-1 >0,即 f(x)>0,综上知:f(x)>0. 类型二 对数函数的综合问题 【例2】 已 知 函 数 f(x)= ln1-mxx-1 是奇函数. (1)求m 的值; (2)判定f(x)在(1,+∞) 上的单调性,并加以证明. 【关键技巧】 常见的对数函数的综合问 题及解决策略 (1)已知某函数是奇函数或 偶函数,求其中某 参 数 值 时,常用方法有两种: ①由f(-x)=±f(x)直接列 关于参数的方程(组)求解. ②由f(-a)=±f(a)(其 中a是某具体数)得关于参 数的方程(组),求解,但此 时需检验. (2)用定义证明y=logaf(x) 型函数的单调性时,应先比 较与x1,x2对应的两真数间 的大小关系,再利用对数函 数的单调性,比较出两函数 值之间的大小关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·11· 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.已知函数f(x)=a2- 2x 2x+1 (a为常数). (1)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数; (2)若f(x)为奇函数,求a的值. 15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x) =log1 2 (-x+1). (1)求f(0),f(1); (2)求函数f(x)的解析式; (3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024· 新 课 标 Ⅰ 卷)已 知 函 数 为 f(x)= -x2-2ax-a,x<0 ex+ln(x+1),x≥0 ,在R上单调递增,则a的取值 范围是 ( ) A.(-∞,0]B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 17.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+ b).若f(x)≥0,则a2+b2 的最小值为 ( ) A.18 B. 1 4 C. 1 2 D.1 【解】 (1)f(-x)=ln1+mx-x-1 =ln-1-mx1+x , -f(x)= -ln1-mxx-1 = lnx-11-mx , ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即ln-1-mx1+x =ln -1+x 1-mx , ∴-1-mx1+x = -1+x 1-mx ,解得 m=±1. 当m=1时,1-mxx-1 =-1 , 函数无意义,∴m=-1. (2)f(x)在(1,+∞)上是 减函数,证明如下: 由(1)知f(x)=lnx+1x-1= ln1+ 2x-1 . 任取x1,x2满足1<x1<x2,则 1+ 2x1-1 - 1+ 2x2-1 = 2x1-1 - 2x2-1 = 2(x2-x1) (x1-1)(x2-1) ∵x2-x1>0,x1-1>0,x2 -1>0. ∴ 2(x2-x1) (x2-1)(x1-1) >0, ∴1+ 2x1-1 >1+ 2x2-1 , ∴ln1+ 2x1-1 > ln1+ 2x2-1 , 即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(1,+∞)上为减 函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21· 10.【解析】 因为f(x)在定义域上为奇函数,所以f(-x) =-f(x),即 k-2 -x 1+k·2-x = 2 x-k 1+k·2x ,即k·2 x-1 2x+k = 2x-k k·2x+1 ,根据等式恒成立可得,k=±1. 【答案】 ±1 11.【解析】 令g(x)=ax3+bx5,则g(x)为奇函数,当 x∈[-t,t]时,g(x)max+g(x)min=0,又f(x)= g(x)+2,∴M=g(x)max+2,m=g(x)min+2,∴M +m=g(x)max+2+g(x)min+2=4. 【答案】 4 12.【解析】 由 题 意 得,f 32 =f -12 = -4× -12 2 +2=1. 【答案】 1 13.【解析】 因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x.又f(x) 是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,则 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以 f(3)=f(5)=f(1)=0,故函数y=f(x)的图象在区 间[0,6]上与x轴的交点有7个. 【答案】 7 14.【解】 (1)当a=0时, 函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a), 此时,f(x)为非奇非偶函数. (2)当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1= x-12 2 +a+ 3 4 ;∵a≤12 ,故函数f(x)在(-∞,a]上单调递减, 从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1. 当x≥a时, 函数f(x)=x2+x-a+1= x+12 2 -a+34 , ∵a≥-12 ,故函数f(x)在[a,+∞)上单调递增, 从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1. 综上得,当-12≤a≤ 1 2 时,函数f(x)的最小值为a2+1. 15.【解】 (1)任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1-1 x1+2 - x2-1 x2+2 = (x1-1)(x2+2)-(x2-1)(x1+2) (x1+2)(x2+2) = x1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2 (x1+2)(x2+2) = 3(x1-x2) (x1+2)(x2+2) ∵x1,x2∈[3,5]且x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)=x-1x+2 在[3,5]上为增函数. (2)由(1)知,当x=3时,函数f(x)取得最小值,为f(3) =25 ;当x=5时,函数f(x)取得最大值,为f(5)=47. 16.B 【解析】 赋值法 因为当x<3时,f(x)=x,所 以f(1)=1,f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x- 2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令x =4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;依次类推,得 f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;f(6)>f(5)+f(4) >8+5=13;f(7)>f(6)+f(5)>13+8=21;f(8) >f(7)+f(6)>21+13=34;f(9)>f(8)+f(7)> 34+21=55;f(10)>f(9)+f(8)>55+34=89; f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144;f(12)>f(11) +f(10)>144+89=233;f(13)>f(12)+f(11)> 233+144=377;f(14)>f(13)+f(12)>377+233 =610;f(15)>f(14)+f(13)>610+377=987;…. 显然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故选B. 17.【解析】 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即(-x)3+a=-(x3+a),得a=0. 优解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=a=0. 【答案】 0 必刷题四 1.AC 【解析】 本题考查幂函数的性质. 设幂函数f(x)=xα,将点(4,2)的坐标代入函数f(x) =xα得2=4α,则α=12 ,所以f(x)=x 1 2.显然f(x)在 定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确. f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性, 所以B不正确. 当x≥9时,x≥3,即f(x)≥3,所以C正确. 对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,当0<x1< x2时, f(x1)+f(x2) 2 2 - f x1+x2 2 2 = x1+ x2 2 2 - x1+x2 2 2 = x1+x2+2 x1x2 4 - x1+x2 2 = 2 x1x2-x1-x2 4 =- ( x1- x2)2 4 <0 即f (x1)+f(x2) 2 <f x1+x2 2 成立,所以D不正确. 2.【解析】 不等式(a+1)- 1 3<(3-2a)- 1 3 等价于a+1 >3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a, 解得a<-1或23<a< 3 2. 【答案】 (-∞,-1)∪ 23 ,3 2 3.【解析】 原式=2 ·4 3 2a 3 2b- 3 2 10a 3 2b- 3 2 =85. 【答案】 85 4.【解析】 由根与系数的关系得α+β=-2,αβ= 1 5. 则2α·2β=2α+β=2-2=14 ,(2α)β=2αβ=2 1 5. 【答案】 14 2 1 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·85· 5.A 【解析】 由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y -3-y,即2x- 13 x <2y- 13 y .设f(x)=2x- 1 3 x ,则f(x)<f(y).因为函数y=2x在 R上为增 函数,y=- 13 x 在 R上为增函数,所以f(x)=2x - 13 x 在R上为增函数,则由f(x)<f(y),得x< y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1) >0,故选A. 6.AD 【解析】 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,因 为f(-x)=1-2 -x 1+2-x =2 x-1 2x+1 =-1-2 x 1+2x =-f(x),所 以f(x)为奇函数,排除B;因为f(x)=1-2 x 1+2x = 2 1+2x -1,且y=2x在R上单调递增,所以y=1+2x在R上 单调递增,所以y= 21+2x-1 在 R 上 单 调 递 减,即 f(x)在R上单调递减,排除C.故选AD. 7.C 【解析】 ∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510, ∴1a+ 1 b= 1 log210 + 1log510 =lg2+lg5=1,故选C. 8.【解析】 原式=2lg5+lg(5×10)+lg2·lg(5×102) +(lg2)2=2lg5+lg5+1+lg2·(lg5+2)+(lg2)2 =3lg5+1+lg2·lg5+2lg2+(lg2)2=3lg5+ 2lg2+1+lg2(lg5+lg2)=3lg5+2lg2+1+lg2= 3(lg5+lg2)+1=4. 【答案】 4 9.A 【解析】 由函数图象可知,f(x)为增函数,故a> 1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图 象可知-1<logab<0,解得 1 a<b<1. 综上有0<1a <b<1. 10.D 【解析】 因为a=log0.20.3<log0.20.2=1,b= log23=log49,又c=log46,log49>log46>log44= 1,所以b>c>a,故选D. 11.D 【解析】 由 2x+1≠0, 2x-1≠0, 得函数f(x)的定义域为 -∞,-12 ∪ -12,12 ∪ 12,+∞ ,其关于原 点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x) -1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数 f(x)为 奇 函 数,排 除 A、C;当 x∈ -12 ,1 2 时, f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调 递增,排 除 B;当 x∈ -∞,-12 时,f(x)= ln(-2x-1)- ln (1 - 2x)= ln2x+12x-1 = ln1+ 22x-1 ,易知函数f(x)单调递减,故选D. 12.B 【解析】 ∵f(1)=-13<0 ,f(2)=log82- 1 6= 1 6>0 ,∴f(1)f(2)<0,又f(x)在(0,+∞)上单调 递增,∴函数f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,且零 点在(1,2)内. 13.BCD 【解析】 对于 A:2x0+x0=x0无解,所以 A 不满足;对于B:x20-x0-3=x0,解得x0=3或x0= -1,所以B满足题意;对于C:x 1 2 0+1=x0,解得x0= 3± 5 2 >0 ,所以C满足题意;对于D:|log2x0|-1= x0,在同一直角坐标系下画出函数f(x)以及y=x 的图象,可确定两个函数的图象有交点,即方程有 解,所以D满足题意;故选BCD. 14.【解】 (1)证明:在(-∞,+∞)上任取两个值x1,x2 且x1<x2, f(x1)-f(x2)= a 2- 2x1 2x1+1 - a2- 2 x2 2x2+1 = 2 x2 2x2+1 - 2 x1 2x1+1 = 2 x2-2x1 (2x1+1)(2x2+1) ∵2>1且x1<x2,∴2x2-2x1>0. 又(2x1+1)(2x2+1)>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. (2)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义, ∴f(0)=0,即a2- 20 20+1 =0.∴a=1. 15.【解】 (1)因为当x≤0时,f(x)=log1 2 (-x+1),所 以f(0)=0. 又函数f(x)是定义在 R上的偶函数,所以f(1)= f(-1)=log1 2 [-(-1)+1]=log1 2 2=-1,即f(1)=-1. (2)令x>0,则-x<0, 从而f(-x)=log1 2 (x+1)=f(x), ∴x>0时,f(x)=log1 2 (x+1). ∴函数f(x)的解析式为 f(x)= log12(x+1),x>0, log12(-x+1),x≤0. (3)设x1,x2是任意两个值,且x1<x2≤0,则-x1> -x2≥0, ∴1-x1>1-x2>0. ∵f(x2)-f(x1)=log12(-x2+1)-log 1 2 (-x1+1) =log1 2 1-x2 1-x1 >log1 2 1=0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)=log1 2 (-x+1)在(-∞,0]上为增函数. 又f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∵f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1, 解得a>2或a<0. 故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·95· 16.B 【解析】 逻辑分析法+数形结合法.因为函数 f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2- 2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单 调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex +ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增. 若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a ≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B. 17.C 【解析】 等价转化法 由f(x)≥0及y=x+a, y=ln(x+b)单调递增,可得x+a与ln(x+b)同正、 同负或同为零,所以当ln(x+b)=0时,x+a=0,即 x+b=1 x+a=0 ,所以b=a+1,则a2+b2=a2+(a+1)2= 2 a+12 2 +12≥ 1 2 ,故选C. 必刷题五 1.D 【解析】 依题意可知Q(3,4)在角α-π6 的终边 上,所以sinα-π6 = 432+42= 4 5 ,故选D. 2.AC 【解析】 假设α,β为0°~180°内的角,如图所 示,由α和β的终边关于y 轴对称,所以α+β=180°, 又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+ 180°=(2k+1)180°,k∈Z,所以满足条件的为A、C.故 选AC. 3.B 【解析】 由角α的终边在第三象限,得sinα<0, cosα<0,故 原 式 = cosα|cosα|+ 2sinα |sinα|= cosα -cosα+ 2sinα -sinα=-1-2=-3 ,故选B. 4.AB 【解析】 A选项:tan(π+1)=tan1,故正确; B选 项: sin (-α) tan(360°-α)= -sinα -tanα= sinα sinα cosα =cosα,故 正确; C选项:sin (π-α) cos(π+α)= sinα -cosα=-tanα ,故不正确; D选项:cos (π-α)tan(-π-α) sin(2π-α) = -cosα·(-tanα) -sinα = cosα·sinαcosα -sinα =-1 ,故不正确.故选AB. 5.D 【解析】 ∵sinα+π4 = 26= 22(sinα+cosα), 即sinα+cosα=13 ,平方可得1+2sinαcosα=19 , ∴sin2α=-89 ,故 tanα tan2α+1= 1 2× 2sinαcosα sin2α+cos2α = 1 2sin2α=- 4 9 ,故选D. 6.ABD 【解析】 ∵cos2α=2cos2α-1, ∴cos2α=1+cos2α2 ,故A正确; 1-sinα=sin2 α2 +cos 2 α 2 -2sin α 2cos α 2 = sinα2-cos α 2 2 ,故 B正 确;12sinα+ 3 2cosα= sinα+π3 ,故C错误; 1-tan15° 1+tan15°= tan45°-tan15° 1+tan45°·tan15°=tan (45°-15°)= tan30°= 33 ,故D正确.故选ABD. 7.D 【解析】 因为sin45°<sin46°<sin60°,所以有 sin245°<sin246°<sin260°,即 2 2 2 <sin246°< 3 2 2 ,所以1 2<a< 3 4 ;因为cos235°-sin235°=1- 2sin235°,而sin30°<sin35°<sin45°,所以有14< sin235°<12 ,所以0<1-2sin235°<12 ,即0<b< 1 2 ;因为 tan32° 1-tan232° =12× 2tan32° 1-tan232° =12tan64° , 而tan64°>tan60°= 3,所以c> 32 ;显然b<a,而c2 > 3 2 2 =34> 3 4 2 ,所以c>34 ,即c>a,所以b< a<c.故选D. 8.【解析】 cos20°- 3sin20°sin10° =- 3sin20°-cos20° sin10° = -2sin (20°-30°) sin10° =- -2sin10° sin10° =2. 【答案】 2 9.B 【解析】 因为f(x)=sin2x+cosx=-cos2x+cosx +1=- cosx-12 2 +54 ,由x∈ 0,π2 ,得cosx∈ [0,1],所以当cosx=12 时,f(x)max= 5 4. 故选B. 10.【解析】 ∵f(x)=sin2x+3π2 -3cosx=-cos2x -3cosx=-2cos2x-3cosx+1,令t=cosx,则 t∈[-1,1],∴g(t)=-2t2-3t+1=-2t+34 2 +178. 又函数g(t)的图象的对称轴为直线t=-34∈ [-1,1],且开口向下,∴当t=1时,g(t)有最小值 -4.即f(x)有最小值-4. 【答案】 -4 11.【解析】 因为函数f(x)=sinωx+π4 的最小正周 期为π,即2πω=π ,解得ω=2,即f(x)=sin2x+π4 ,令2kπ+π2≤2x+ π 4≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z,解得kπ+ π 8≤x≤kπ+ 5π 8 ,k∈Z,即 函 数f(x)的 减 区 间 为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·06·