必刷题十一 圆锥曲线的方程-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

必刷题十一 圆锥曲线的方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 椭圆及其标准方程 1.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P 满足条件|PF1| +|PF2|=a+ 9 a (a>0),则点P 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 2.已知F1,F2是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的两个焦 点,P 为椭圆C 上一点,且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面 积为9,则b= . 椭圆的简单几何性质 3.(多选)已知曲线C1: x2 25+ y2 9=1 与曲线C2: x2 25-k+ y2 9-k=1 (k<9),下列说法正确的是 ( ) A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B.焦距相等 C.有相同的焦点 D.离心率相等 4.已知椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶 点和上顶点,F为右焦点,且AB⊥BF,则椭圆的离心率 为 ( ) A.22 B. 3 2 C. 3-1 2 D. 5-1 2 直线与椭圆的位置关系 5.直线y=x+1被椭圆x 2 4+ y2 2=1 所截得的弦的中点坐 标是 ( ) A.23 ,5 3 B.43,73 C.-23,13 D.-132,172 6.已知椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点 为A,点B 在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB 交y 轴于 点P.若AP→=2PB→,则椭圆的离心率是 ( ) A.32 B. 2 2 C. 1 3 D. 1 2 类型一 直线与椭圆的位 置关系 【例1】 设椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a >b>0)的左焦点为F,离 心率为 3 3 ,过点 F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得 的线段长为4 3 3 . (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 分别为椭圆的 左、右顶点,过点F 且斜率 为k的直线与椭圆交于C, D 两点.若AC→·DB→+AD→ ·CB→=8,求k的值. 【关键技巧】 直线与椭圆的位置关系是高 考考查的重点和热点,涉及 的知识面较广,题目综合性 强,出题角度灵活,有一定的 难度.多作为解答题的第二 问出现.解题时应注重与一 元二次方程中根的判别式、 根与系数关系等的结合. 【解】 (1)设F(-c,0),由 c a= 3 3 ,知a= 3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x =-c,代 入 椭 圆 方 程 有 (-c)2 a2 +y 2 b2 =1,解 得y= ± 6b3 ,于 是2 6b 3 = 4 3 3 , 解得b= 2,又a2-c2=b2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·63· 双曲线及其标准方程 7.若双曲线E:x 2 9- y2 16=1 的左,右焦点分别为F1,F2,点 P 在双曲线E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 8.已知双曲线的中心在原点,两个焦点F1,F2分别为(5,0) 和(-5,0),点P 在双曲线上,且PF1⊥PF2,△PF1F2的 面积为1,则双曲线的方程为 ( ) A.x 2 2- y2 3=1 B. x2 3- y2 2=1 C.x 2 4-y 2=1 D.x2-y 2 4=1 双曲线的简单几何性质 9.双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点 到渐近线的距离为 3,则双曲线C的焦距等于 ( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 10.已知双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过 点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有 一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 . 抛物线及其标准方程 11.抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则此 抛物线的方程为 ( ) A.y2=-16x B.y2=8x C.y2=16x或y2=-8x D.y2=-16x或y2=8x 12.已知点P 在抛物线y2=4x 上,那么点P 到点Q(2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最 小值时,点P 的坐标为 ( ) A.14 ,-1 B.14,1 C.(1,2) D.(1,-2) 抛物线的简单几何性质 13.边长为1的等边三角形AOB,O 为坐标原点,AB⊥x 轴,以O为顶点且过A,B 的抛物线方程是 ( ) A.y2= 36x B.y 2=- 33x C.y2=± 36x D.y 2=± 33x 14.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P 为抛物线 上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 - 3,那么|PF|= . 从而a= 3,c=1,所以椭 圆的方程为x 2 3+ y2 2=1. (2)设点C(x1,y1),D(x2, y2),由 F(-1,0)得 直 线 CD 的方程为y=k(x+1). 由方 程 组 y=k(x+1), x2 3+ y2 2=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消 去y, 整理得(2+3k2)x2+6k2x +3k2-6=0, 则x1+x2=- 6k2 2+3k2 , x1x2= 3k2-6 2+3k2 . 因 为 A(- 3,0),B(3, 0),所以AC→·DB→+AD→· CB→=(x1+ 3,y1)·(3- x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· (3-x1,-y1)=6-2x1x2 -2y1y2 =6-2x1x2 - 2k2(x1+1)(x2+1)=6- (2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2) -2k2=6+2k 2+12 2+3k2 . 由已知得6+2k 2+12 2+3k2 =8, 解得k=± 2. 类型二 直线与双曲线的 相交弦问题 【例2】 经过点 M(2,2)作直 线l交双曲线x2-y 2 4=1 于A,B 两点,且 M 为AB 中点. (1)求直线l的方程; (2)求线段AB 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·73· 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 15.已知动点P 与平面上两定点A(- 2,0),B(2,0)连 线的斜率的积为定值-12. (1)试求动点P 的轨迹方程C; (2)设直线l:y=kx+1与曲线C 交于M,N 两点,当 |MN|=4 23 时,求直线l的方程. 16.已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的 焦点为(1,0),线段AB 恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E 的方程; (2)求直线AB 的方程. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 17.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y> 0),从C上任意一点P 向x 轴作垂线段PP',P'为垂 足,则线段PP'的中点M 的轨迹方程为 ( ) A.x 2 16+ y2 4=1 (y>0) B.x 2 16+ y2 8=1 (y>0) C.y 2 16+ x2 4=1 (y>0) D.y 2 16+ x2 8=1 (y>0) 18.(2024·全国甲卷(理))已知双曲线的两个焦点分别 为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双 曲线的离心率为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.2 【关键技巧】 求弦长的两种方法 (1)距离公式法:当弦的两端 点坐标易求时,可直接求出交 点坐标,再利用两点间距离公 式求弦长. (2)弦长公式法:当弦的两端 点坐标不易求时,可利用弦长 公式求解,即若直线l:y=kx +b(k≠0)与双曲线C:x 2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)交 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|= 1+k2|x1-x2|或 |AB|= 1+1k2 |y1-y2|. 【解】 (1)设 A(x1,y1),B (x2,y2),代入双曲线方程得 x21- y21 4=1 ,x22- y22 4=1 ,两式 相减得x21-x22- y21 4- y22 4 = 0,(x1+x2)(x1-x2)- 1 4 (y1 +y2)(y1-y2)=0. ∵M 为AB 的中点,∴x1+x2 =4,y1+y2=4, ∴4(x1-x2)-(y1-y2)=0, kl= y1-y2 x1-x2 =4, 经检验k=4符合题意. ∴l的方程为y-2=4(x-2), 即y=4x-6. (2)将y=4x-6代入到x2- y2 4=1 中得3x2-12x+10= 0,故x1+x2=4,x1x2= 10 3 , ∴|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =23 102. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·83· 13.【解析】 根据题意,由相交弦的性质,相交两圆的连 心线垂直平分相交弦,可得AB 与直线x+2y+c=0 垂直,且AB 的中点在直线x+2y+c=0上.由AB 与直线x+2y+c=0垂直,可得3- (-1) 1-t =2 ,解得t =-1,则B(-1,-1),故AB 中点为(0,1),且其在 直线x+2y+c=0上,代入直线方程可得0+2×1+ c=0,可得c=-2,故t+c=(-1)+(-2)=-3. 【答案】 -3 14.【解】 (1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点 (2,0)为圆心,以 3为半径的圆. 设y x =k ,即y=kx,易知圆心(2,0)到y=kx的距离 等于半径时,直线与圆相切,斜率取得最大、最小值. 由|2k-0| k2+1 = 3,解得k2=3, ∴k= 3或k=- 3. ∴yx 的最大值为 3,最小值为- 3. (2)设y-x=b,则y=x+b,由 点 到 直 线 的 距 离 公式, 得|2-0+b| 2 = 3,即b=-2± 6. 故y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (3)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方,由 平面几何知识知,在原点和圆心的连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 (2-0)2+(0-0)2=2,所 以 x2+y2的 最 大 值 是 (2+ 3)2=7+4 3,x2+y2的最小值是(2- 3)2=7 -4 3. 15.【解】 (1)∵直线x-y+2 2=0与圆O:x2+y2= r2相切, ∴圆心O(0,0)到直线的距离等于圆的半径r, 即2 2 2 =r,∴r=2. ∴圆O 的方程为x2+y2=4. (2)设直线l的方程为y- 33=k (x-1), 即kx-y+ 33-k=0. ∵直线l截圆所得弦长为2 3. ∴圆心到直线l的距离d= 4-3=1. ∴ 3 3-k k2+1 =1,解得k=- 33 , ∴直线l的方程为- 33x-y+ 2 3 3 =0 , 即x+ 3y-2=0, 又x=1也适合题意. 故直线l的方程为x+ 3y-2=0或x=1. 16.D 【解析】 化圆的方程为标准方程,得(x-1)2+ (y+3)2=10,所以该圆的圆心(1,-3)到直线x-y +2=0的距离为|1- (-3)+2| 12+(-1)2 =6 2 =3 2. 17.C 【解析】 设直线为l:ax+y+2-a=0,即l:a(x -1)+y+2=0,易知l过定点P(1,-2),圆C 的标 准方程为x2+(y+2)2=5,所以圆心为C(0,-2), 半径为 5,且P 在圆C 内.因为当PC⊥AB 时,圆心 C到直线l的距离最大,此时|AB|取得最小值,易得 |PC|=|xP-xC|=1,所以|AB|=2 (5) 2-12= 4,故选C. 必刷题十一 1.D 【解析】 ∵|PF1|+|PF2|=a+ 9 a≥2 a ·9 a =6=|F1F2|, 当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,P 点的轨迹是椭圆; 当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,P 点的轨迹是线段 F1F2. 2.【解析】 依题意,有 |PF1→|+|PF2→|=2a, |PF1→|·|PF2→|=18, |PF1→|2+|PF2→|2=4c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3. 【答案】 3 3.ABC 【解析】 可知两个方程均表示焦点在x 轴上 的椭圆,故A正确;曲线C1焦距为2c=2 25-9=8, 曲线C2焦距为2c=2 (25-k)-(9-k)=8,故B、C 正确;曲线C1的离心率e= c a = 4 5 ,曲线C2的离心率 e=ca = 4 25-k ,故D不正确. 4.D 【解析】 在Rt△ABF 中,|AB|= a2+b2,|BF| =a,|AF|=a+c,由|AB|2+|BF|2=|AF|2,得a2 +b2+a2=(a+c)2.将b2=a2-c2代入,得a2-ac- c2=0,即e2+e-1=0解得e=-1± 52 ,因为0<e< 1,所以e= 5-12 . 故选D. 5.C 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的 交点,中点 M(x0,y0),由 y=x+1, x2 4+ y2 2=1 , 得3x2+4x-2 =0. x0= x1+x2 2 = 1 2 · -43 =-23,y0=x0+1=13, ∴中点坐标为 -23 ,1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·07· 6.D 【解 析】 由 题 意 知,F(-c,0),A(a,0), B -c,±b 2 a . ∵BF⊥x轴,∴APPB= a c . 又∵AP→=2PB→,∴ac =2即e= c a = 1 2. 7.B 【解析】 由题意知||PF2|-3|=6,即|PF2|-3 =±6,解得|PF2|=9或|PF2|=-3(舍去). 8.C 【解析】 由 |PF1|·|PF2|=2, |PF1|2+|PF2|2=(25)2 ⇒(|PF1|- |PF2|)2=16,即2a=4,解得a=2,又c= 5,所以b= 1,故选C. 9.C 【解析】 由已知得e=ca =2 ,所以a=12c ,故b= c2-a2= 32c ,从而双曲线的渐近线方程为y=±bax= ±3x,由焦点到渐近线的距离为 3,得 32c= 3 ,解得 c=2,故2c=4. 10.【解析】 可得直线的斜率为 3,要使直线l与双曲线 的右支有且只有一个交点,只要b a ≥ 3 ,∴e2=1+ b a 2 ≥4. 【答案】 [2,+∞) 11.D 【解析】 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=-m4 ,则 1+m4 =3 ,m=8或-16. ∴所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.故选D. 12.A 【解析】 点Q(2,-1)在抛物线内部,如图所示. 由抛物线的定义知,抛物线上的点P 到点F 的距离 等于点P 到准线x=-1的距离,过Q 点作x=-1 的垂线,与抛物线交于 K,则 K 为所求,当y=-1 时,x=14 ,∴P 为 14 ,-1 . 13.C 【解析】 设抛物线方程为y2=ax(a≠0).又 A ± 32 ,1 2 (取点A在x轴上方),则有14=± 32a, 解得a=± 36 ,所以抛物线方程为y2=± 36x. 14.【解析】 设准线交x 轴于点B,O 为坐标原点,依题 意kAF=- 3,则∠AFO=60°.又|BF|=4,所 以 |AB|=4 3,则点P 的纵坐标为4 3,所以(4 3)2 =8xP,得xP=6,即点P 的横坐标为6,所以|PF|= |PA|=8. 【答案】 8 15.【解】 (1)设动点P 的坐标是(x,y), 由题意得,kPA·kPB=- 1 2. ∴ y x+ 2 · y x- 2 =-12 ,化简整理得x 2 2+y 2=1. 故P 点的轨迹方程C 是x 2 2+y 2=1(x≠± 2). (2)设直线l与曲线C 的交点M(x1,y1),N(x2,y2), 由 y=kx+1, x2 2+y 2=1, 得(1+2k2)x2+4kx=0. ∴x1+x2= -4k 1+2k2 ,x1·x2=0. |MN|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1·x2= 4 2 3 , 整理得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍). ∴k=±1,经检验符合题意. ∴直线l的方程是y=±x+1,即x-y+1=0或x +y-1=0. 16.【解】 (1)由于抛物线的焦点为(1,0), ∴p2=1 ,p=2,所求抛物线方程为y2=4x. (2)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y21=4x1,① y22=4x2,②且x1+x2=4,y1+y2=2, 由②-①得(y1+y2)(y2-y1)=4(x2-x1), ∴y2 -y1 x2-x1 =2, 所以所求直线AB 的方程为y-1=2(x-2), 即2x-y-3=0. 法二:显然AB 不垂直于x 轴,故可设弦AB 所在的 直线方程为y-1=k(x-2),k≠0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程 y-1=k(x-2), y2=4x, 消去x整理得ky2-4y-8k+4=0, ∴y1+y2= 4 k , 又 M 点是AB 的中点,∴y1+y2=2,∴k=2, 故直线AB 的方程为y-1=2(x-2), 即2x-y-3=0. 17.A 【解析】 通解(代入法) 设 M(x0,y0),则 P (x0,2y0),因为点P 在曲线C 上,所以x20+(2y0)2 =16(y0>0),即 x20 16+ y20 4=1 (y0>0),所以线段PP' 的中点M 的轨迹方程为x 2 16+ y2 4=1 (y>0),故选A. 优解(数形结合法) 由题意可知把曲线C 上所有点 的纵坐标缩短至原来的一半,横坐标不变,即可得到 点 M 的轨迹.曲线C 为半圆,则点 M 的轨迹为椭圆 (x轴上方部分),其中长半轴长为4,短半轴长为2, 故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·17· 18.C 【解析】 解法一(方程组法) 根据焦点坐标可 知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为y 2 a2 -x 2 b2 =1(a>0,b>0),则 16 a2 -36 b2 =1 a2+b2=16 ,得 a=2b=2 3 , 所以离心率e=ca =2. 解法二(定 义 法) 根 据 双 曲 线 的 定 义,得2a=| (-6-0)2+(4-4)2- (-6-0)2+(4+4)2|=| 6-10|=4, 根据焦点坐标可知c=4,所以离心率e=2c2a= 8 4=2. 必刷题十二 1.C 【解析】 根据题意,数列-2,1,-23 ,1 2 ,-25 , …的前5项 可 以 写 成(-1)1× 21 ,(-1)2× 22 , (-1)3×23 ,(-1)4×24 ,(-1)5×25 , 则数列的一个通项公式可以为an=(-1)n 2 n. 2.B 【解析】 ∵an=3n- 14 3 2 -1873 , 又n∈N*,∴当n=5时,an最小, ∴数列{an}各项中最小项是第5项. 3.ACD 【解析】 当n=1时,a1=S1=2, n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-5. 又n=1时不适合an=6n-5, 故写成分段函数形式. 4.【解析】 数列{an}中,a1=3,an+1-an=2n-8(n∈ N*), ∴an-an-1=2n-10, an-1-an-2=2n-12, … a3-a2=-4, a2-a1=-6, ∴an-a1=-6-4-…+(2n-12)+(2n-10) = (n-1)[-6+(2n-10)] 2 =(n-1)(n-8), ∴an=(n-1)(n-8)+3, ∴a8=3. 【答案】 3 5.B 【解析】 公差d=a2-a1=-4, ∴an=a1+(n-1)d=84+(n-1)(-4)=88-4n. 令 an≥0, an+1<0, 即 88-4n≥0 , 88-4(n+1)<0, 即21<n≤22. 又∵n∈N*,∴n=22. 6.A 【解析】 数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N*), 则数列{an}为等差数列, ∵a1+a2+a3=9,a4=8, ∴3a1+3d=9,a1+3d=8, ∴d=52 , ∴a5=a4+d=8+ 5 2= 21 2. 7.C 【解析】 由等差数列{an},易得公差d1=3. 又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.S5= b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+ 5×4 2 ×6=90. 8.ABD 【解析】 根据题意,设等差数列{an}的公差为d, 对于A,若a1+3a2=S6,即4a1+3d=6a1+ 6×5 2 d ,变形 得a1+6d=0,即 a7=0,A 正 确;对 于 B,S13= 13(a1+a13) 2 =13a7=0 ,B正确;对于C,S7= 7(a1+a7) 2 = 7a4,可能大于0,也可能小于0,C不正确;对于D,S5- S8= 5a1+ 5×4 2d - 8a1+8×72d =-3a1-18d= -3a7=0,D正确.故选ABD. 9.B 【解析】 依题意,a1+a2+a3=30,an-2+an-1+ an=90, 所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an) =120, 所以a1+an=40, 所以Sn=200= a1+an 2 ·n=20n, 解得n=10. 10.D 【解析】 由an+1-2an=0,得 an+1 an =2,∴{an}为 等比 数 列,且 公 比q=2,∴ 2a1+a2 2a3+a4 = a1(2+q) a3(2+q) = a1 a1q2 =14. 11.B 【解析】 由等比数列的性质可得a5a6=a4a7, 又a5a6+a4a7=6, ∴2a5a6=6,∴a5a6=3, ∴(a1a2…a10)2=(a5a6)10=310. 又等比数列{an}的各项均为正数, ∴a1a2…a10= 310=35. 12.C 【解析】 根据题意,设等比数列{an}的公比为q, 若a2a4=4,则a3=2, 又由S3= 7 2 ,则a3+ a3 q+ a3 q2 =2+2q+ 2 q2 =72 ,解 可得q=2或-23 (舍), 则a1= a3 q2 =12 , 则S5= a1(1-q5) 1-q = 31 2. 13.【解析】 ∵正项等比数列{an}满足a1=1,a2a6a7= 1 16a1a9 , ∴q·q5·q6=116 ·q8,且q>0, ∴q=12 ,∴an= 1 2 n-1 =2-n+1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·27·