必刷题十三 导数的概念及其意义-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

log2an=log22-n+1=-n+1, ∴数列{log2an}的前n项和: Sn=-(1+2+3+…+n)+n=- n(n+1) 2 +n =-n (n-1) 2 . 【答案】 2-n+1 -n (n-1) 2 14.【解】 (1)因为bn=a2n, 且a1=1,an+1= an+1,n为奇数, an+2,n为偶数, 所以b1=a2=a1+1=2, b2=a4=a3+1=a2+2+1=5. 因为bn=a2n,所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+ 1=a2n+2+1=a2n+3, 所以bn+1-bn=a2n+3-a2n=3, 所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列, bn=2+3(n-1)=3n-1,n∈N*. (2)因为an+1= an+1,n为奇数, an+2,n为偶数, 所以k∈N*时,a2k=a2k-1+1=a2k-1+1, 即a2k=a2k-1+1,① a2k+1=a2k+2,② a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1,即a2k+2=a2k+1+1,③ ①+②得a2k+1=a2k-1+3,即a2k+1-a2k-1=3, 所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等 差数列; ②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2-a2k=3, 又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项,3为 公差的等差数列. 所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+ a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10+ 10×9 2 ×3+20 +10×92 ×3=300. 15.【解】 (1)∵a1=1,an+1=an-2anan+1,∴an≠0, ∴1an = 1an+1 -2⇒ 1an+1 -1an =2,又∵1a1 =1, ∴ 1an 是以1为首项, 2为公差的等差数列, ∴1an =1+2(n-1)=2n-1, ∴an= 1 2n-1 (n∈N*). (2)由(1)知:bn=(2n-1)×3n, ∴Sn=1×3+3×32+5×33+7×34+…+(2n-1) ×3n, 3Sn=1×32+3×33+5×34+7×35+…+(2n-1) ×3n+1, 两式相减得-2Sn=3+2×32+2×33+2×34+…+ 2×3n-(2n-1)×3n+1 =3+2(32+33+34+…+3n)-(2n-1)×3n+1 =3+2×3 2(1-3n-1) 1-3 - (2n-1)×3n+1 =3+3n+1-9-(2n-1)×3n+1 =2(1-n)×3n+1-6, ∴Sn=(n-1)×3n+1+3. 16.B 【解 析】 由 S5 = S10,得 5(a1+a5) 2 = 10(a1+a10) 2 ,所以5a3=5(a3+a8),所以a8=0,公 差d= a8-a5 8-5 =- 1 3 ,所以a1=a5-4d=1-4× -13 =73,故选B. 17.【解析】 解法一(基本量法) 设{an}的公差为d, 由a3+a4=a1+2d+a1+3d=2a1+5d=7,3a2+a5 =3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5,解得a1=-4,d =3,则S10=10a1+45d=95. 解法二(利用下标和性质) 设{an}的公差为d,由a3 +a4=a2+a5=7,3a2+a5=5,得a2=-1,a5=8,故 d= a5-a2 5-2 =3 ,a6=11,则S10= a1+a10 2 ×10=5 (a5 +a6)=5×19=95. 【答案】 95 必刷题十三 1.B 【解析】 根据定义,平均变化率为f (x0+Δx)-f(x0) Δx = (x0+Δx)2-1-x20+1 Δx =2x0+Δx. 故选B. 2.ABC 【解析】 结合定义知D错误,应为t=t0时的 瞬时速度. 3.【解析】 ∵s(t)=3t2,t0=3, ∴s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3·32 =18Δt+3(Δt)2. ∴ s(t0+Δt)-s(t0) Δt =18+3Δt. ∴lim Δt→0 (18+3Δt)=18. 【答案】 18 4.【解析】 v=lim Δt→0 1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32) Δt =lim Δt→0 (Δt+5)=5(米/秒). 【答案】 5 5.C 【解析】 ΔyΔx= f(x0+Δx)-f(x0) Δx =a+b ·Δx, f'(x0)=lim Δx→0 Δy Δx=limΔx→0 (a+b·Δx)=a.故选C. 6.B 【解析】 ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0, ∴f'(x0)=lim Δx→0 f(0+Δx)-f(0) Δx =limΔx→0 f(Δx) Δx =-1. 7.A 【解析】 由y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导 数的几何意义有:f'(xA)>f'(xB). 8.【解析】 ∵lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a) Δx =m , 则lim Δx→0 f(a-Δx)-f(a) -Δx =m. ∴lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a-Δx) Δx 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·37· =lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a)+f(a)-f(a-Δx) Δx =lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a) Δx +limΔx→0 f(a-Δx)-f(a) -Δx =m+m=2m. 【答案】 2m 9.B 【解析】 ∵y'=lim Δx→0 1 3 (x+Δx)3-2 - 13x3-2 Δx =lim Δx→0 x2+xΔx+13 (Δx)2 =x2, ∴切线的斜率k=y'|x=1=1. ∴切线的倾斜角为π4. 故选B. 10.B 【解析】 由x+2y-3=0知斜率k=-12 , ∴f'(x0)=- 1 2<0. 故选B. 11.【解析】 k=lim Δx→0 3(1+Δx)+(1+Δx)2-3-12 Δx =5. ∵f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1. 【答案】 y=5x-1 12.D 【解析】 Δy=f(x+Δx)-f(x)=12 (x+Δx)2 +2(x+Δx)- 12x 2-2x=x·Δx+ 12 (Δx)2 +2Δx, ∴ΔyΔx=x+ 1 2Δx+2 ,∴f'(x)=lim Δx→0 Δy Δx=x+2. 设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=x0+2. 由已知x0+2=4,∴x0=2.故选D. 13.A 【解析】 ∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上, ∴3=k+1,且3=1+a+b,即k=2,a+b=2. ∵曲线y=x3+ax+b, ∴y'=lim Δx→0 (x+Δx)3+a(x+Δx)+b-x3-ax-b Δx = 3x2+a. ∵直线y=kx+1与曲线相切于点P(1,3),3+a= 2,∴a=-1,b=3.故选A. 14.【解】 (1)从t=2到t=2+Δt内的平均速度为: Δs Δt= s(2+Δt)-s(2) Δt =3 (2+Δt)2+2(2+Δt)+1-3×4-2×2-1 Δt =14Δt+3 (Δt)2 Δt =14+3Δt. 当Δt=1时,平均速度为14+3×1=17; 当Δt=0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3. (2)t=2时的瞬时速度为 v=lim Δt→0 Δs Δt=limΔt→0 (14+3Δt)=14. 15.【解】 设P0(x0,y0), ∵f'(x)=lim Δx→0 (x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2) Δx =lim Δx→0 (3x2+1)Δx+3x(Δx)2+(Δx)3 Δx =3x 2+1. ∴f'(x0)=3x20+1, ∵曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线 y=4x-1,∴3x20+1=4,解得x0=±1. 当x0=1时,y0=0;当x0=-1时,y0=-4. ∴点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4). 16.【解析】 由题,令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1, 所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x 在点(0,1)处的 切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,则g' (x)= 1x+1 ,设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切 于点(x0,y0),则 1 x0+1 =2,得x0=- 1 2 ,则y0=2x0 +1=0,所以0=ln -12+1 +a,所以a=ln2. 【答案】 ln2 第2部分 旗开得胜:预习下学期新课 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 第一课时 基本初等函数的导数 【新课内容学习】 知识点1 0 1 2x 知识点2 0 αxα-1 cosx -sinx axlna ex 【新课随堂演练】 1.D 【解析】 由s=1 t4 得s'= 1t4 '=(t-4)'=-4t-5, s'|t=3=-4×3-5(m/s).故选D. 2.ABC 【解析】 对于A,(cosx)'=-sinx,所以选项 A错误;对于B,(2πx2)'=2×2πx=4πx,所以选项B 错误;对于C,(ex)'=ex,所以选项C错误;对于D, (lgx)'= 1xln10 ,所以选项D正确.故选ABC. 3.D 【解析】 ∵y=1 x =x- 1 2,∴y'=-12x -32, ∴y'|x=4=- 1 2×4 -32=-12×2 -3=-116 ,故选D. 4.A 【解析】 y'=2ax,∴在点(1,a)处切线的斜率k =y'|x=1=2a.由题意可得2a=2,∴a=1.故选A. 5.A 【解析】 ∵(sinx)'=cosx,∴直线l的斜率kl= cosx, ∴-1≤kl≤1,∴ 直 线l 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 0,π4 ∪ 34π,π .故选A. 6.B 【解析】 设切点为(x,y),又f'(x)= 1xlna , 根据题意有 y=13x , y=logax, 1 3= 1 xlna 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得x=e,a=e 3 e. 7.【解析】 因为f'(x)= 1 2 x ,所以f'(16)= 1 2 16 =18. 【答案】 18 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·47· 必刷题十三 导数的概念及其意义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 平均变化率 1.函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为 ( ) A.2x0-1 B.2x0+Δx C.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+1 2.(多选)已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段 时间内,下列说法正确的是 ( ) A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量 B.ΔsΔt= s(t0+Δt)-s(t0) Δt 叫做这段时间内物体的平均 速度 C.ΔsΔt 不一定与Δt有关 D.lim Δt→0 Δs Δt 叫做这段时间内物体的平均速度 求瞬时速度 3.如果质点A 按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时 速度为 . 4.一个物体的运动方程为s=1-t+t2.其中s的单位是 米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度为 米/秒. 求函数在某点处的导数 5.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)- f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则 ( ) A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 类型一 求物体瞬时速度 【例1】 一做直线运动的物 体,其位移s与时间t的关 系是s(t)=3t-t2. (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在t=2时的 瞬时速度; (3)求t=0到t=2时的平 均速度. 【关键技巧】 求瞬时速度应先求平均速度 v=ΔsΔt ,再用公式v=lim Δt→0 Δs Δt , 求得瞬时速度v.如果物体 的运动方程是s=s(t),那 么函数s=s(t)在t=t0处的 导数,就是物体在t=t0时 的瞬时速度.解答此类问题 首先要理解概念与公式的 内涵,其次在解题过程中要 严格按规定步骤解答,切忌 跨步,以免出错. 【解】 (1)当t=0时的速 度为初速度. 在0时刻取一时间段[0,0 +Δt],即[0,Δt], ∴Δs=s(Δt)-s(0) =[3Δt-(Δt)2]-(3×0-02) =3Δt-(Δt)2, Δs Δt= 3Δt-(Δt)2 Δt =3-Δt , lim Δt→0 Δs Δt=limΔt→0 (3-Δt)=3. ∴物体的初速度为3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·24· 6.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足lim Δx→0 f(Δx) Δx = -1,则f'(0)= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 导数几何意义与函数图象 7.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的 大小关系是 ( ) A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)=f'(xB) C.f'(xA)<f'(xB) D.f'(xA)与f'(xB)大小不能确定 8.若 函 数 f(x)在 x =a 处 的 导 数 为 m,那 么 lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a-Δx) Δx = . 曲线的切线方程 9.曲线y=13x 3-2在点 1,-53 处切线的倾斜角为 ( ) A.1 B.π4 C. 5π 4 D.- π 4 10.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么 ( ) A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 11.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为 . 曲线的切线坐标 12.已知曲线f(x)=12x 2+2x的一条切线斜率是4,则切 点的横坐标为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 13.若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点 P(1,3),则b等于 ( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5 (2)取一时间段[2,2+Δt], ∴Δs=s(2+Δt)-s(2) =[3(2+Δt)-(2+Δt)2] -(3×2-22) =-Δt-(Δt)2, Δs Δt= -Δt-(Δt)2 Δt =-1-Δt , lim Δt→0 Δs Δt=limΔt→0 (-1-Δt)= -1, ∴当t=2时,物体的瞬时 速度为-1. (3)当t∈[0,2]时,Δt=2- 0=2. Δs=s(2)-s(0) =(3×2-22)-(3×0-02) =2,v=ΔsΔt= 2 2=1. ∴在t=0到2之间,物体 的平均速度为1. 类型二 求曲线的切线方程 【例2】 已知曲线C:y=x3. (1)求曲线C在横坐标为x =1的点处的切线方程; (2)求曲线C 过点P(1,1) 的切线方程. 【关键技巧】 利用导数的几何意义求切 线方程的方法 (1)若已知点(x0,y0)在已 知曲线上,求在点(x0,y0) 处的切线方程,先求出函数 y=f(x)在点x0处的导数, 然后根据直线的点斜式方 程,得 切 线 方 程 y-y0= f'(x0)(x-x0). (2)若点(x0,y0)不在曲线 上,求过点(x0,y0)的切线 方程,首先应设出 切 点 坐 标,然后根据导数的几何意 义列出等式,求出 切 点 坐 标,进而求出切线方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·34· 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.设质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数:s= 3t2+2t+1. (1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并求当Δt=1, Δt=0.1时的平均速度; (2)求当t=2时的瞬时速度. 15.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0 处切线平行于直线y=4x-1,求点P0的坐标. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线 也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= . 【解】 (1)将x=1代入曲 线C的方程得y=1, ∴切点P(1,1). y'|x=1=lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 (1+Δx)3-1 Δx =lim Δt→0 [3+3Δx+(Δx)2] =3. ∴k=y'|x=1=3. ∴曲线在点P(1,1)处的切 线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0. (2)设切点为Q(x0,y0),由 (1)可 知y'|x=x0 =3x 2 0,由 题意可知kPQ=y'|x=x0, 即y0-1 x0-1 =3x20,又y0=x30, 所以 x30-1 x0-1 =3x20, 即2x20-x0-1=0, 解得x0=1或x0=- 1 2. ①当x0=1时,切点坐标为 (1,1),相应的切线方程为 3x-y-2=0. ②当x0=- 1 2 时,切点坐标 为 -12 ,-18 ,相应的切线 方程为y+18= 3 4 x+ 1 2 , 即3x-4y+1=0. 【学习笔记】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·44·